回归课本讲义整合

1、回归课本讲义整合一、集合与逻辑1、区分集合中元素的形式：如： x | y lg x 函数的定义域； y | ylg x 函数的值域； ( x, y) | y lg x函数图象上的点集， 如（ 1）设集合 M x | y x3 ，集合 N y | y x 2 1, x M ，则 M I N（答： 1, )（ 2）集合 M x yx2 4x 3 ，集合 Ny y sin x3cos x,x,MIN63（答： 1 ）2、条件为AB ，在讨论的时候不要遗忘了A的情况 （答： 6a9 ）（1）若非空集合 A x|2a1x3a5，B x / ( x3)( x22)0 ，则使得 AAB 成立的 a 的集合是

2、（ 2）集合 M= xx|24xa2x20, 若MN ，则实数 a 的取值范围为 _（ a3 ）0, N = x|x（ 3） A x | ax22x 10 ，如果 AR，求 a 的取值。（答： a 0）3、A Bx | x A且x B ; A B x| x A或x BCUA=x|x U但 xA;ABxA则xB ; 真子集怎定义？含n 个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为 2n 1;（ 1）满足 1,2M1,2,3,4,5 集合 M有_个。（答： 7）4、 CU(A B)=CUACUB; C U(A B)=CU ACUB;5、 AB=AA B=BABCU BCUAACUB=CUAB=U6、

3、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。（ 1）若关于 x 的不等式 | x2| x1|a 的解集是，则 a 的取值范围是 _（答： a3）（ 2）已知函数 f (x)4x22( p 2) x2 p 2 p1在区间 1,1上至少存在一个实数c ，使 f (c)0 ，求实数p 的取值范围。（答： (33,) ）p2p ; 否命题 :pq ；逆否命题 :qp ；互为逆否的7、原命题 :q ; 逆命题 : q两个命题是等价的 .（ 1）“ sinsin”是“”的条件。（答：充分非必要条件）（ 2）设命题 p :“已知函数 f ( x)x2mx1,x0R,y00 ，使得 f (x0 )y0

4、，命题 q ：“不等式 x2 9m2有实数解”，若p 且 q 为真命题，则实数m 的取值范围为 _（答： ( 3,2 U 2,3)）8、若 p q 且 q p ; 则 p 是 q 的充分非必要条件（或q 是 p 的必要非充分条件） ;（ 1）写出“ x 12 成立”的一个必要而不充分条件_（答：比 ( 1,3)范围大即可）9、注意命题 pq 的否定与它的否命题的区别:命题 pq 的否定是 pq ；否命题是pq命题“ p 或 q”的否定是“P 且Q”，“ p 且 q”的否定是“P 或Q”注意：命题：“若 a 和 b 都是偶数， 则 ab 是偶数”否命题：“若 a 和 b 不都是偶数， 则 ab是

5、奇数”命题的否定：“若a 和 b 都是偶数，则 ab 是奇数”二、函数与导数mmm1、指数式、对数式 ： a nn am ，a n1/ a n ，当 n 为奇数时， n a na ；当 n 为偶数时， n an| a |a,a0 .lg2lg51a, a0a01(a0)，a bNloga Nb (a0,a1, N0)，log a abb，logN,a aNlog( a m ) (bn )n log ab,log a (MN )loga Mloga N;log a Mloga MlogaN;mNloga b1logb a如： (1log 281）(lg2)33lg2lg5(lg5)3=（答： 1

6、）)的值为 _（答：6422、一次函数 :y=ax+b(a 0) b=0时奇函数3、二次函数三种形式 : 一般式 f(x)=ax2bb4acb22+bx+c( 对称轴 x,a 0, 顶点 (,) ); 顶点式 f(x)=a(x-h)+k;2a2a4a零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x 2 )(对称轴 xx1x2 );b=0 偶函数 ;2区间最值 : 配方后一看开口方向, 二讨论对称轴与区间的相对位置关系;(答 : a12,510 )(1) 已知函数 fx4x 24axa 22a2 在区间 0,2上有最小值3，求 a 的值（ 2）若函数 y1 x22x4 的定义域、值域都是闭区间2,2 b

7、 ，则 b （答： 2）2实根分布 : 先画图再研究开口、0、对称轴与区间关系区间端点函数值符号;4、反比例函数 : yc (x0) 平移yac( 中心为 (b,a)，对勾函数 y xax b是奇函xx数,a0时,在区间 (，0),(0，)上为增函数 ， a0,在(0，a ,a ,0) 递减在(，a ,a,)递增5、幂、指数、对数函数的图象和性质：（ 1）若 a0.5log3， clog22（答： cba ）2 ， bsin, 则 a, b,c 的大小关系为5（ 2）设 a1yxa的定义域为 R 且为奇函数的所有 a 值为 1或 311，3 ，则使函数2（ 3）不等式 lg( x1)1 的解集

8、是方程 9 x6 3x70 的解是log 3 7 ）（ 4）函数 f ( x)4x，x，g(x)log2 x 的图象的交点个数是41的图象和函数yx24 x3，x1B（答： 3 个）（ 5）幂函数 y= xMN，当 取不同的正数时，在区间0 ，1上它们的图像是一族美丽xA的曲线（如图）设点A（1，0），B（ 0，1），连接 AB，线段 AB恰好被其中的两个幂函数y= x ，y= x的图像三等分，即有BM=MN=NA那么，=_（答： 1）x2 y190（ 6）设二元一次不等式组xy 80所表示的平面区域 为M ，若函数 y ax (a 0 , a1) 的图象没有2xy140经过域 M ,则a 的

9、取值范围（答： 0a 1,1 a2,a9 ）6、单调性 定义法 ;导数法 . 复合函数由同增异减判定图像判定作用:比大小 ,解证不等式 .（ 1）设 x1 x2a, b , x1x2 那么(x1x2)f (x1 )f ( x2 )0f ( x1 )f ( x2 )0f (x)在 a, b上是增函数；x1x2( x1x2 )f ( x1 )f ( x2 )f ( x1 )f ( x2)0f ( x) 在 a,b 上是减函数 .0x1x2(2) 函数 y f ( x) 在某个区间内可导，如果f(x)0 则 f ( x) 为增函数；如果 f(x)0则 f ( x) 为减函数 .1）已知函数f ( x

10、)x3ax 在区间 1,) 上是增函数，则a 的取值范围是 _ ( 答： (,3 ) ；2) 函数 f ( x)| x | x a | 在 0,) 上为增函数，则 a 的取值范围为 _（答： a0）注意 ： f (x)0 能推出 f (x) 为增函数，但反之不一定。如函数f ( x)x 3 在 (,) 上单调递增，但f ( x)0 ， f( x)0 是 f (x) 为增函数的充分不必要条件。1m2注意 ：函数单调性与奇偶性的逆用吗 ?（比较大小； 解不等式； 求参数范围） . （答：）23例题： 已知奇函数 f ( x) 是定义在 (2,2)上的减函数 , 若 f (m 1)f (2 m1)0

11、 ，求实数 m 的取值范围。（ 1）函数 ylog1x22 x的单调递增区间是 _(答：（ 1,2 ）) 。 (答： 3,1) )24（ 2）若函数 f ( x)log a ( x3ax)(0a1) 在区间 ( 1 ,0)内单调递增，则 a 的取值范围是 _27、奇偶性： f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点 (f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。（ 1）若函数 f (x)k2xk=（答： k1）1k 2x （a 为常数）在定义域上为奇函数，则（ 2）定义在R上的偶函数f (x

12、) 在 (,0上是减函数，若f ( a1)f (2a) ，则 a 的取值范围是_（答： a3 ）（答： 1, 1) U(0, 1) ）222（ 3）已知函数 y=f ( x), x 1，1的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如图所示） ,则不等式的 f ( x)f ( x)23x 的解集为（ 4）已知函数f ( x) 是定义在 R 上的奇函数， f(1) 0 ， xf (x)f (x)02f ( x)0x2（x0），则不等式 x的解集是（答： ( 1,0) U (1, ) ）8、周期性。（ 1）由周期函数的定义“函数f ( x) 满足 fxfax (a0) ，则 f ( x) 是周期为

13、 a 的周期函数”得：函数 f (x) 满足fxf ax ，则 f ( x) 是周期为2a 的周期函数；若 f ( xa)10) 恒成立，则 T2a ；若 f (xa)1(a0) 恒成立，则 T2a .(af ( x)f ( x)例： 已知定义在 R 上的函数 f (x) 是以 2 为周期的奇函数，则方程f (x)0 在 2,2上至少有 _个实数根（答： 5）(答：0.5)；（答： f (x 4)f ( x) ）(1) 设 f ( x) 是 (,) 上的奇函数，f (x2)f (x) ，当 0 x1时， f ( x) x ，则 f (47.5) 等 _（ 2）若 f ( x) 是 R 上的偶函

14、数，f (x 1) 是 R上的奇函数，则f ( x4) 与 f (x) 的大小关系为 _（ 3）定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x2)f (x) ，且在 3,2 上是减函数， 若 ,是锐角三角形的两个内角，则 f (sin ), f (cos) 的大小关系为 _(答： f (sin )f (cos) )9、常见的图象变换的图象沿 x 轴向左 (a y fx a 的图象是把函数yf x0) 或向右 (a0) 平移 a 个单位得到的。（ 1）要得到 ylg(3x ) 的图像，只需作y lg x 关于 _ 轴对称的图像，再向_平移 3 个单位而得到（ 2）函数 f (x)x lg(

15、x2)1 的图象与 x 轴的交点个数有 _个 ( 答： 2) 函数 yfx+ a 的图象是把函数 yfx助图象沿 y 轴向上 (a 0)或向下 ( a0) 平移 a 个单位得到的； 函数 yfax(a0) 的图象是把函数yfx 的图象沿 x 轴伸缩为原来的1 得到的。a（ 1）将函数 yf ( x) 的图像上所有点的横坐标变为原来的1 （纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向3左平移 2个单位，所得图像对应的函数为_(答： f (3x6)；（ 2）如若函数 yf (2 x1) 是偶函数，则函数yf (2 x) 的对称轴方程是 _( 答： x1) 2x 的图象沿 y 轴伸缩为原来的a 倍得到的

16、.函数 yafx(a0) 的图象是把函数yf10、函数的对称性满足条件 fxafbx 的函数的图象关于直线xab对称。(答：12x ) ；2x2例：已知二次函数f (x) ax2bx(a 0) 满足条件 f (5x)f (x3) 且方程 f (x)x 有等根， 则 f ( x) _点 (x, y) 关于 y 轴的对称点为(x, y) ；函数 yfx关于 y 轴的对称曲线方程为yfx ；点 (x, y) 关于 x 轴的对称点为(x, y) ；函数 yfx关于 x 轴的对称曲线方程为yfx；点 (x, y) 关于原点的对称点为( x, y) ；函数 yfx关于原点的对称曲线方程为yfx ；点 (x

17、, y) 关于直线 yxa (x, y) 的对称点为 (ya),xa) ；曲线 f (x, y)0 关于直线 yxa 的对称曲线的方程为f ( y a), x a)0 。特别地，点 ( x, y) 关于直线 yx 的对称点为 (y, x) ；曲线 f (x, y)0 关于直线 yx 的对称曲线的方程为f ( y, x) 0 ；点 (x, y) 关于直线 yx 的对称点为 (y,x) ；曲线 f (x, y) 0 关于直线 yx 的对称曲线的方程为 f ( y, x)0 。例：己知函数 f ( x)x3,( x3) , 若 yf (x1) 的图像是 C, 它关于直线 yx 对称图像是C,C关于原

18、2 x32122点对称的图像为C ,C3对应的函数解析式是_ （答： yx2 ）；32 x1若 f(a x) f(b+x),则f(x)图像关于直线x= ab 对称 ; 两函数 y=f(a+x) 与 y=f(b-x) 图像关于直线2x= ba 对称。2提醒 ：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；例： 已知函数 f ( x)x1a (aR) 。求证：函数 f ( x) 的图像关于点 M (a, 1) 成中心对称图形。ax曲线 f ( x, y)0 关于点 (a, b) 的对称曲线的方程为 f (2ax,2by) 0 。例： 若函数 yx 2x 与 yg

19、(x) 的图象关于点（ -2 ，3）对称，则 g (x) _（答：x2 7 x 6 ）形如 yaxb (c0,adbc) 的图像是双曲线，对称中心是点( d , a ) 。cxdc c例： 已知函数图象 C 与 C : y(xa 1) ax a2 1 关于直线 y x 对称，且图象 C 关于点（ 2， 3）对称，则 a 的值为 _（答： 2）（ 1） yf (x) 的图象先保留f (x) 原来在 x 轴上方的图象，作出 x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；（ 2） yf ( x ) 的图象先保留f ( x) 在 y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y

20、 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到。例： （1）作出函数 y | log2 ( x1) | 及 y log 2 | x 1| 的图象；（ 2）若函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，则函数 F( x)f (x)f ( x) 的图象关于 _对称 （ y 轴）11、求解抽象函数问题的常用方法是：（ 1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：正比例函数型：f ( x) kx(k0)-幂函数型：f ( x)x2-f (xy)指数函数型：f ( x)a x -f (x y)对数函数型：f ( x)loga x-f ( xy)三角函数型：f ( x)tan x -f (xf ( xy)

21、f ( x)f (y) ；f (x) f (y) ， f ( x )f (x) ；yf (y)f (x) f (y) ， f ( xf ( x)；y)f ( y)f ( x)f ( y) ， f (xf ( y) ；) f (x)yy)f (x)f (y)。1 f ( x) f (y)如： 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则 f ( T )_（答： 0）212、反函数 : 互为反函数的两函数图像关于y=x 对称 . 互为反函数的两函数具相同单调性原函数定义域是反函数的值域, 原函数值域是反函数的定义域。例：已知函数 yf (x) 的图象过点 (

22、1,1), 那么 f 4x 的反函数的图象一定经过点 _（答：（ 1,3）；13、题型方法总结（） 判定相同函数 : 定义域相同且对应法则相同（） 求函数解析式的常用方法：（ 1）待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：f ( x)ax2bxc ；顶点式： f ( x) a(xm)2 n ；零点式： f (x)a( x x1 )(xx2 ) ）例：已知 f ( x) 为二次函数， 且 f ( x2) f (x2) ，且 f(0)=1, 图象在 x 轴上截得的线段长为22 , 求 f (x)的解析式 。（答： f (x)122 x1 ）x2（ 2）代换（配凑）法已知形如f

23、 (g (x) 的表达式，求f (x) 的表达式。例： 1. 已知 f (1cos x) sin 2x, 求 fx2的解析式（答： f ( x2 ) x42x2, x 2,2 ）；2.11（答： x22x3 ）；若 f ( x x)x22 ，则函数 f (x 1) =_x3.若函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数，且当x(0, ) 时， f ( x)x(1 3 x) ，那么当 x( ,0) 时，f ( x) =_（答： x(13 x ) ） .（ 3）方程的思想对已知等式进行赋值，从而得到关于f ( x) 及另外一个函数的方程组。例： 1. 已知 f ( x)2 f ( x) 3x2 ，求

24、的解析式（答： f ( x)3x 2）；32.已知 f ( x) 是偶函数， g( x) 是奇函数，且 f (x) + f (x) g (x) = 1, 则 f ( x) =（答：2）。x1x21（）求定义域 : 使函数 解析式有意义 ( 如: 分母 ?; 偶次根式被开方数 ?; 对数真数 ?，底数 ?; 零指数幂的底数 ?); 实际问题有意义 ; 若 f(x) 定义域为 a,b, 复合函数 fg(x) 定义域由 ag(x) b 解出；若 fg(x) 定义域为 a,b, 则 f(x) 定义域相当于 x a,b 时 g(x) 的值域；例： （1）若函数 yf (x) 的定义域为1，则 f (lo

25、g2x) 的定义域为 _（答： x |2x 4 ）；, 22（ 2）若函数 f (x2 1) 的定义域为 2,1)，则函数 f (x) 的定义域为 _ （答： 1,5）（）求值域 :配方法： 如：求函数 y x22x5,x 1,2 的值域（答： 4,8）；逆求法（反求法）：例： y3x，用 y 来表示3x ，再由 3x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围（答： （0,1）3x1换元法：例： （1） y2sin2 x 3cos x1 的值域为 _（答： 4,17 ）；8（ 2） y2x1x 1 的值域为 _（答： 3,）（令 x1 t ， t0 。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范

26、围 ；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；例： y2sin1 的值域（答： (,3）；1cos2不等式法利用基本不等式ab 2ab (a, bR ) 求函数的最值。例： 设 x, a1 , a2 , y 成等差数列， x,b1 ,b2 , y成等比数列，则(a1a2 )2) ）。的取值范围是 _（答： ( ,0 U 4,b1 b2 单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。例：求 yx1 (1x9) ，ysin2x9 2x，y2 x 2log 3 5x 的值域为 _（答：(0, 80) 、11,9、 0,）；x1 sin92 数形结合：根据函数的几何图

27、形，利用数型结合的方法来求值域。例： （1）已知点 P(x, y) 在圆 x2y21 上，求y及 y 2x 的取值范围（答：3,3 、 5,5 ）；x233（ 2）求函数 y( x 2) 2( x8) 2的值域（答： 10,) ）； 判别式法：例： （1）求 yx的值域（答：1 , 1 ）； （2）求 yx2x 1 的值域（答： (, 3U1,) ）1x222x1 导数法 ; 分离参数法 ;例： 求函数 f ( x)2 x34 x240x ， x 3,3 的最小值。（答：48）用 2 种方法求值域：y32 x ( x 1,1) yx2x 3 , x(,0) ； yx2x3 , x(,0)32

28、xxx 1（ V）解应用题 : 审题 ( 理顺数量关系 ) 、建模、求模、验证 .(VI) 恒成立问题 : 分离参数法 ; 最值法 ; 化为一次或二次方程根的分布问题 .a f(x) 恒成立af(x)max, ;af(x)恒成立af(x) min;例： （1）若不等式 (a2) x22(a2) x40 对 x R 恒成立，则 a 的取值范围是 _（答： (2,2 ）(2) 对任意 a 1,1， f (x) x2(a4)x42a 的值恒大于零，那么x 的取值范围是（ (,1) U (3,) ）（3）已知：不等式x 2log m x0. 在0x1 上恒成立，则实数m 的取值范围是 _（答： 1 ,

29、1) ）216(4) 设函数 f (x)x3x ，若 0时， f (mcos) f (1 m)0 恒成立，则 m的范围是（答 ;m1）2(5) 已知函数 f(x)=| xt1|1 ,( x0) , 若 f (x)2在(0,) 上恒成立， t 的范围是（答 : t1）x存在性问题 :xD ，使得 a f(x)成立a f(x)min,;xD ，使得 af(x) 成立a f(x)max;例：(1) f (x) 3ax2a1 ，a 为常数若存在 x0(0,1) ，使得 f (x0 )0 ，则 a 的取值范围是(a1或a1 )22（ ( ,2)）（ 2）若存在 a1 ，3 ，使得不等式 ax +( a2

30、)x 20 成立，则实数 x 的取值范围是1)U (,3（ 3）已知只有一个实数x 满足关于 x 的不等式x 22ax3a 2 ，则满足条件的实数a 的个数（2 个）（ 4）已知函数 f ( x)2x3， x1,8 ，函数 g(x)ax2 ， x1,8若对任意 x11,8，总存在 x21,8，使 f ( x1 ) g(x2 ) 成立则实数 a 的取值范围是（答： (, 2U 2,) ）(VII) 利用一些方法（如赋值法（令x 0 或 1，求出 f (0) 或 f(1) 、令 yx 或 yx 等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。例（ 1）若 x R ， f (x) 满足 f ( xy)f (x)f ( y) ，则 f (x) 的奇偶性是 _（答：奇函数）；（ 2）若 x R ， f ( x) 满足 f (xy)f ( x)f ( y) ，则 f (x) 的奇偶性是 _（答：偶函数）；（ 3）已知 f (x) 是定义在 (3,3) 上的奇函数，当0 x 3 时， f (x) 的图像