复变函数教学资料第一章5

1、1.5 1.5 独立试验概型独立试验概型 二项概率公式二项概率公式太原理工大学太原理工大学 数学学院数学学院1.5 1.5 独立试验概型独立试验概型 二项概率公式二项概率公式 在随机试验中，经常会碰到这样一类试验，每次试验的可能结果为有限个，且各次试验的就是在相同条件下重复进行 次的试验，n结果互不影响，此 次试验显然是相互独立.n这种概率模型称作 重独立试验。特别地，n当每次试验只有两次结果 和 ，且aapap)( 时，称为 重伯努利试验，) 10(1)(ppapn每次摸出一个，观察摸出球的颜色后再放回回的摸球，而且每次摸到的球或为红色或为努利概型.也可称为 重伯努利概型，它是一种很重要n的

2、具有广泛应用的概率模型.比如从装有 3个红球、 个白球的口袋中有放回的摸球，4口袋重新摸球.如此重复 次，因为是有放n白色，只有两种可能的结果，显然为 重伯n恰好发生 次的概率可归结为以下定理.k 一般地，在 重伯努利试验中，事件 na 定理定理 1 1 在伯努利试验中，事件 在 na次试验中恰好发生 次的概率为k,)1 (),;(knkknppcpnkb., 2 , 1 , 0nk件 发生，而其余 次试验中事件 不发aakn生”， 表示事件“在第 次试验中 发生”，则iaai 证明证明 设 表示事件“在前 次试验中事kb,11nkkaaaab事件 的概率为bknknkkppaaaapbp)1

3、 ()()(11易见， 次试验中“在某 次 发生，而其余kna 次 未发生”的概率与到底在哪 次发knak生无关，都等于 ，而事件 发生knkpp)1 (a在某 次共有 种不同的选择，故 次试验knknc中事件 恰好发生 次的概率为ak,)1 (),;(knkknppcpnkb., 2 , 1 , 0nk该公式正好与 的二项展开式中第 npp)1 ( 发生 次的概率为k 类似可得 重伯努利试验中事件 至少nankiiniinppc)1 ( 项完全相同，故有时又称之为参数为 1kn和 的二项概率公式.p样品中恰好有三件次品及至多有三件次品的重复抽样，共抽取五件样品，分别计算这五件概率.由已知，利

4、用二项概率公式可得恰好有三件中恰好由零件、一件、两件、三件次品事件，次品的概率 解解 设 、 、 、 分别表示五件样品0a1a2a3a 例例1 1 一批产品中有 的次品，现进行%20至多有三件次品的概率为 定理定理2 2（二项分布的poisson逼近）在 ,0512. 0)2 . 01 ()2 . 0()(23353 cap305530,9933. 0)8 . 0()2 . 0(iiiiiicap验中发生的概率，它与 有关，如果n重伯努利试验中，以 代表事件 在一次试anp则)0(limnnnp证明过程用到微积分学中重要极限公式.在.!)1 (limekppckknnknknn 证明证明 记

5、,nnnpknnknknnknknnnkknnnppc1!) 1() 1(1)(knnknnnknk11111!,!ekk.n以利用下面的近似公式： 例例2 2 自某工厂的产品中进行重复抽样检件废品，问能否相信该工厂产品废品率不超实际问题中当 相当小，而 比较大时，可np.!)()1 ()(npkknkkneknpppc查，共取 件样品，检查结果发现其中有2004过 ？005. 0 根据人们在长期实践中总结出来的一条概率的实际不可能原理）.现在，可以认为几乎是不可能发生的（概率论中称之为小原理：概率很小的事件在一次试验中实际上易算得 件产品中出现 件废品的概率为2004 解解 假设该工厂产品废品率为 ，容005. 0.015. 0995. 0005. 0)005. 0 ,200; 4(19644200 cb当工厂产品废品率为 时，抽检 件产200005. 0在一次试验中就发生了，因此有理由怀疑假是不可信的.利用poisson逼近可见与前面计算结果符合的比较好.品出现 件废品是一概率很小的事件，而它4定的正确