断裂力学的研究意义

1、1 绪论1.1 断裂力学的研究意义断裂是一种失效模式。 在各种工程领域中， 经常发生起源于断裂或者终结于裂纹 扩展的灾难性破坏事故， 如地震引起的地质构造开裂和结构工程垮塌、 碰撞引起 的交通运载工具损坏、压力管道的 裂纹失稳扩展和机械构件的断裂等，这些事 故对人民的生命和财产造成了重大损失。由于起裂的原因难以量化确定，因此， 起裂后的裂纹能否继续扩展或者发生止裂的断裂力学研究具有十分重要的理论 意义和应用前景。当代断裂力学的繁荣和它在未来的生命力正是缘于它已深深地根植于现代高科 技领域和工程应用之中。 例如，大型计算机的硬件条件使我们有可能对复杂的断 裂过程进行数值模拟， 现代物理学提供的新

2、的实验手段， 如高倍电子显微镜、 表 面分析、高速摄影等观测和测量技术使我们能够更深入地研究宏观、 细观乃至微 观的断裂过程。 正是这种对于断裂基本规律的深入认识， 有助于发挥断裂力学在 工程应用中的理论指导作用。 例如， 材料增韧和新材料的研制、 生物和仿生材料 的开发、建筑和核反应堆等结构的抗震设计和建造、 微电子元器件的研究和制备、 地质力学与地震预报、 油气开采和储运、 航空航天的新飞行器设计等。 断裂力学 与现代科学和高技术成果的有机结合， 使其呈现出崭新的面貌。现实中的裂纹一般都是三维的， 并且具有复杂的形状和任意扩展的路径。 长期以 来，在三维结构中裂纹沿曲线或曲折路径扩展是一个

3、棘手的力学难题， 传统断裂 力学中对裂纹是平直的假设不再成立， 因此理论的研究手段显得束手无策， 对它 的研究更多地是从实验方面展开， 唯象的经验性的结果占据多数， 而且是以平面 裂纹为主。近几十年来， 计算机技术的发展为数值模拟奠定了基础， 有限元等计 算力学方法的提出和发展也为用数值方法解决这一难题提供了条件， 应用计算力 学的方法对裂纹在三维实体和曲面中任意扩展进行模拟分析已成为这个领域的 研究热点。目前常用的断裂力学计算方法有传统有限元自适应网格 (Miehe 和 Gu rses ,2007)、节点力释放方法(Zhua ng和O Do noghue 2000)、单元间内聚 力模型(Xu

4、和Needleman, 1994)及嵌入不连续模型(Belytschko 等，1988)等。 在处理复杂形状裂纹时这些方法都有着一定的局限性， 比如裂纹扩展路径必须预 先给定、裂纹只能沿单元边界扩展、 计算成本偏高等。 为了更好地解决这些问题， 扩展有限单元法应运而生， 成为解决复杂断裂问题的最有效方法之一。1.2 扩展有限元介绍科学家在 20 世纪对人类最伟大的贡献之一是发明了计算机，这一发明极大地推 动了相关科学学科研究和产业的发展。 以力学学科的计算力学为例， 随之诞生和 发展的有限元、 有限体积和有限差分等方法， 使传统的繁杂的力学问题得以进行 数值模拟和计算分析， 更关键的是解决了大

5、量的工程和科学仿真问题。 在现代信 息技术和各种计算科学高度发展的今天，基于仿真的工程与科学( simulation-based engineering and science )已经成为科学家探索科学奥秘 的得力助手， 成为工程师们实施工程创新或产品开发， 并确保其可靠性的有效工 具。而有限元及其计算程序正是我们实现工程与科学仿真的工具之一。自 20 世纪 50 年代中期第一篇有关有限元的文章问世以来， 发表了大量的有限元 文章和出版了许多专著， 其中一些成功的实验报道和专题文章， 对有限元的发展 做出了重要贡献。直到 60 年代，有限元软件的开发和迅速应用，对工程分析造 成了巨大冲击， 顺

6、应了蓬勃兴起的有限元数值计算环境， 满足了基于仿真的工程 与科学的大量需求。 如果把有限元比作一棵大树， 正是它的几个重要分支的兴起 与发展，如杂交元、边界元、无网格、扩展有限元等，才使得有限元这棵参天大 树扶摇直上，枝繁叶茂。传统的有限元方法是将一个物理实体模型离散成为一组有限个、 且按一定方式相 互连接在一起的单元组合体， 但是在剖分单元网格的时候必须考虑物体内部的缺 陷，如界面、裂纹、孔洞和夹杂等，使单元边界与几何界面一致，这就难免形成 局部网格加密， 而其余区域稀疏的非均匀网格分布。 在网格中单元的最小尺寸决 定了显式计算时间增量的临界步长，这无疑增加了计算成本； 再是裂纹扩展路 径必

7、须预先给定， 裂纹只能沿单元边界扩展， 难以形成任意裂纹路径。 针对有限 单元法处理裂纹等非连续界面问题存在的弊端， 1999 年，美国西北大学的 Belytschko和Mo s提出了一种新的计算方法扩展有限单元法(Belytschko和Black , 1999; Moe s等，1999)，在传统有限单元法的基础上进行了重要的 改进。近十年来扩展有限单元法不断完善并发展， 逐渐成为了一种处理非连续场、 局部变形和断裂等复杂力学问题的功能强大、 极具应用前景的新方法， 在土木工 程、航天航空、材料科学等诸多领域得到了广泛应用。 扩展有限元的核心思想是用扩充的带有不连续性质的形函数基来代表计算域内

8、 的间断，因此在计算过程中， 不连续场的描述完全独立于网格边界， 这使其在处 理断裂问题上具有得天独厚的优势。 图1-1 所示为三维断裂的扩展有限元模拟结 果(Areias和Belytschko ，2005)。从图中可以看到裂纹面和裂纹前沿完全独立 于网格。利用扩展有限元， 还可以方便地模拟裂纹沿任意路径扩展， 图1-2所示 为应用扩展有限元模拟裂纹分叉扩展 (Belytschko 等， 2003)。图1-1三维断裂XFEM莫拟：位移扩大200倍(Areias 和 Belytschko ， 2005)图 1-2 扩展有限元莫拟分叉裂纹 (Belytschko 等， 2003)扩展有限元不仅可以

9、模拟裂纹，还可以用来模拟含孔洞和夹杂的非均质材料 （Belytschko 等， 2003； Sukumar 等， 2001） 。图 1-3 碳纳米管复合材料模拟（Belytschko 等， 2003）在裂纹两侧间断的是位移， 而在夹杂和两相材料边缘两侧间断的是应变位移 的空间导数。这两种情况分别被定义为强间断（位移场不连续）和弱间断（位移 场导数不连续） ，在扩展有限元计算时只要采用不同形式的扩充形函数即可对它 们进行精确捕捉。图1-3 是应用扩展有限元研究碳纳米管复合材料胞元的有效模 量的算例 （Belytschko 等， 2003），由于网格边界不必与材料界面重合，模拟中 完全使用六面体结

10、构单元对代表体积单元（RVE进行网格划分，极大地提高了 建模效率。扩展有限元的另一个优点是可以充分利用已知解析解答构造形函数基， 在较粗网 格上即能得到较精确解答。 在使用传统有限元方法模拟奇异场时必须局部加密网 格，如裂纹尖端或位错核附近的应力场， 而在扩展有限元中则可以通过把已知的 裂纹或位错的位移场渐进解引入扩充形函数中，使用较粗网格即可得到满意解 答。图 1-4 所示为一边含有裂纹的有限大板， 改变裂纹长度可以得到一组应力强 度因子。XFEM莫拟中无须对裂纹尖端进行网格细化，使用 41 X 41四边形网格即 可得到与解析解吻合较好的结果。图 1-4 有限大板内静止裂纹尖端应力强度因子值

11、得指出的是，边界元法（boundary element method）及无网格法（element free method）也在处理裂纹等不连续问题中有着重要的应用（Biandford等，1981;Belytschko 等， 1994），但是由于这些方法一些固有的缺陷限制了它们的推广， 如： 边界元法不便于处理非线性、 多介质等复杂问题; 无网格法缺少坚实的理 论基础和严格的数学证明， 存在一些未确定的参数如插值域大小、 背景积分域大 小等; 没有成熟的商业软件包。而扩展有限元在标准有限元框架内研究问题， 保留了传统有限元的所有优点，目前一些商业有限元软件如ABAQU、SLS-DYNA等已经初步

12、具备了 XFEM勺断裂分析模块。综上所述，XFEM勺优越性可以归结为以下几点：（ 1） 允许裂纹在单元内部和穿过单元，可以在规则网格上计算复杂形状裂纹， 模拟裂纹扩展时， 不需要对网格进行重新剖分， 节省了计算成本;（ 2） 在裂纹面和裂纹尖端采用增强函数构造非连续性，对裂纹面和裂纹尖端附近的单元节点增加附加自由度， 通过满足适当性质的形函数来捕捉裂纹尖端奇异 场，可以在粗网格上获得精确解答;3) 与连续剖分的有限元比较，在不同的剖分单元之间不需要那么多的映射； ( 4) 与边界元相比， 它适用于各种材料性质和多介质问题， 更适用于几何和接 触非线性问题；( 5) 可以用于大型有限元并行计算技

13、术，其程序可以写入商用有限元软件。这些优势是其能够得到成功推广和应用的重要原因。1.3 扩展有限元研究现状和发展 扩展有限元自 1999 年诞生，已经历经十多年的成长和发展。我们把其发展大体 归结为以下两个方面： 一是其自身相关理论的完善，如混合单元( blending element )的处理、不连续场的分区域积分、显式积分稳定性、扩充形函数基的 拓展等，后面章节将陆续分别予以详细介绍； 二是单元类型的发展，从二维单 元逐步发展到三维实体单元和壳体单元，这部分至今仍是XFEM研究的重点方向之一。1.3.1 扩展有限元理论的发展Belyschko 和 Black(1999) 首次提出用独立于网

14、格剖分的有限元思想来解决裂纹 扩展问题，在传统有限单元法的基础上对裂纹尖端或裂纹面附近的单元节点采用 裂纹近场位移解进行增强，解释裂纹的出现。随后，Mo s等(1999)引入阶跃函数和裂尖函数两种扩充形函数( enrichment shape function )分别对裂纹面和 裂尖进行描述，并把该方法称为“扩展有限单元法” (XFEM。通过在裂纹尖端 所在单元加入多个扩充形函数，Daux等(2000)又实现了裂纹分叉的XFEM模拟。 然后 Belytschko 等( 2003)在扩展有限元中引入了一种新的开裂判据双曲 性缺失判据： 用介质中双曲性质的缺失情况来判断裂纹的扩展路径和速度。当对裂

15、尖或裂纹面所在单元进行 XFEM曾强后，其相邻单元一部分节点同时具有 扩展有限元自由度和标准有限元自由度，一部分节点则只具有标准有限元自由 度，这种单元被称为混合单元( blending element )。混合单元的出现会影响计 算的收敛性。Chessa等(2003)通过扩展应变法改善混合单元的性能，Legay等 (2005) 发现混合单元的收敛性能随着单元阶次的增加而提高， 即在高阶单元中无 须对混合单元进行特殊处理。 早期的扩展有限元只对最靠近裂尖的单元节点进行 强化， Ventura 等(2005) 研究了裂纹尖端强化区域的大小对收敛速度的影响，发 现扩大强化区域或固定强化区域而细化网

16、格都能提高收敛效率。扩展有限单元法对整体位移求解是精确的， 但是对于裂纹尖端的应力强度因子的 计算则需要通过一个后处理程序用主域形式的等值线积分或者最小二乘法实现。Liu 等(2004) 为了不通过后处理程序直接获得精度较高的裂纹尖端应力强度因 子，不仅使用裂纹近场解的一阶项还使用高阶项对裂纹尖端节点进行增强 (在扩 展有限单元法只使用一阶项) 。其采用减缩积分方法的数值模拟结果表明， 该方 法不需要后处理程序就可以直接提高应力强度因子的精度。Song等(2006)通过重新安排XFEM基函数和节点自由度，实现了用叠加单元和虚 拟节点来描述含裂纹单元。 该方法不引入多余自由度， 便于在已有的有限

17、元程序 中实现扩展有限元功能； 另一方面，该方法采用一点减缩积分，在精度允许的 范围内避免了分区域积分的使用。 但该方法只适用于对裂纹进行阶跃函数增强的 情况。Menouillard 等(2006) 对扩展有限元的显式积分稳定性进行了系统研究，给出了显式分析中质量阵的对角化方法。 Fries 和 Belytschko(2006) 把扩展有限元与无 网格方法结合起来，这样可以避免增加额外的未知量。 Ribeaucourt(2007) 在其 工作中引入了裂纹面之间的接触。 金峰等提出了基于扩展有限元法的粘聚裂纹模 型(方修君， 2007) ，并将其应用于模拟重力坝地震开裂过程 ( 方修君， 200

18、8) 。裂 纹尖端特别是动态裂纹的模拟方面的精度很难达到， Menouillard 引入 Zhuang 和Cheng(2011)应用XFEMT展了双材料亚界面裂纹扩展路径的研究。Liu等(2011) 把谱单元和扩展有限元相结合， 有效地改善了动态裂纹扩展模拟中的数值扰动问 题。除了在断裂力学方面外， 扩展有限元与其他力学领域相结合后也结出了丰硕的果 实。Chessa和Belytschko把在空间上扩充形函数的思想推广到了时间尺度上 (Chessa 和 Belytschko ，2004； Belytschko 和 Chessa, 2006)，这种方法被称 为时空扩展有限元(STX-FEM。在处理

19、时间间断问题时，时空扩展有限元表现 出得天独厚的优势。Re thor 和 Gravouil(2005)采用了一种类似的时空扩展有限 元格式，取得了显著成效。Sukumar等(2001)通过构造新的扩充形函数基用 XFEM 成功模拟了含孔洞和夹杂的非均质材料，在复合材料数值模拟领域具有重要意 义。基于 Volterra 位错模型， Gracie 等(2008) 应用扩展有限单元法在细观尺度 上模拟了二维和三维固体材料中的位错，首次实现了位错的有限元模拟。此外， 扩展有限元在剪切带演化 (Samaniego 和 Belytschko ， 2 005) 、多相流 (Chessa 和 Belytsch

20、ko ， 2003)、纳米界面力学 (Farsad 等， 2010)、多尺度模拟 (Belytschko 和 Gracie ， 2009)等研究领域也方兴未艾，展示了其广阔的应用前景和蓬勃的生 命力。1.3.2 三维扩展有限元的发展 扩展有限元早期的研究主要集中在解决二维断裂问题， 随其应用的迅速推广， 平 面单元已经不能满足科学研究和工程应用需求， 一些复杂断裂问题如地震引起的 道路开裂和房屋桥梁垮塌， 碰撞引起的车辆、 飞机和船舶损坏， 压力管道的裂纹 失稳扩展和机械构件的断裂等迫切需要三维扩展有限元的出现。Sukumar等人(2000)首次将扩展有限元拓展到三维，当研究平面I型裂纹问题

21、时，在垂直裂纹尖端的平面内建立极坐标系表示裂尖扩充形函数， 其函数形式与 二维问题相同。三维动态断裂模拟中的难点是如何保持裂纹面和裂纹扩展方向的 连续性和光滑性。 Areias 和 Belytschko(2005) 通过调整裂纹面法线使该条件得 到近似满足。Duan等(2009)通过引入单元水平集描述裂纹面，采用最小二乘法 进一步改进了裂纹面方向和由开裂准则预测的扩展方向的连续性。三维裂纹分 叉、应力强度因子求解及裂纹扩展准则等仍是该研究方向的热点问题。Areias 和 Belytschko (2005) 首次将扩展有限元引入壳单元，他们的工作基于 4 节点 Belytschko-Lin-Ts

22、ay 壳单元。通过引入扩展有限元， 垂直于壳中面的穿透 裂纹可以在壳单元内任意扩展。 由于强制引入了纤维不可伸长条件， 因此壳体变 形时不考虑厚度的变化。为了便于编制程序，Areias和Belytschko (2006)还使用另一种方法成对单元叠加来处理 Kirchhoff-Love 四边形壳单元上的裂 纹。所谓成对单元叠加方法是指在同一个位置铺设两层单元， 壳的位移场由这两 层单元的节点自由度组合而成。在这些工作中，有如下三点假设： 壳上没有 裂纹的区域满足一般本构方程， 有裂纹的区域满足内聚力法则， 两区域互相独立；连续体应力仅与变形梯度的有界项有关； 假设变形场与协调变形梯度的无 界项无

23、关。 在模拟中判断裂纹扩展用到的准则是内聚力模型， 应力强度因子的计 算借用了平面薄膜应力强度因子 Km和平板弯曲应力强度因子Kb分开计算的概 念。借助这些方法，薄壳中任意形状裂纹扩展得以实现。此后 Song 和 Belytschko(2009) 利用这种方法对管道开裂进行了模拟，结果如图 1-5 所示。图1-5管道开裂的XFEM莫拟结果(Song和Belytschko ,2009)最近，Zhuang和 Cheng(2011)基于连续体的壳单元(continuum-based shell , CB壳)建立了新的壳体扩展有限元格式，其优势是：在壳体变形时，允许厚度发生变化，以改进现有的 TB 壳

24、扩展有限元不考虑壳厚度的变化因而只适用于 薄壳的局限； 统一了含裂纹壳体扩展有限元的理论模型，以改进在裂纹尖端 附近采用 Mindlin-Reissner 理论、在远离裂纹尖端采用 Kirchhoff-Love 理论的 复杂计算模型；新的壳体扩展有限元格式对裂纹面的构造进行创新，允许裂纹面不垂直于壳中面，这样可以模拟更复杂的断裂模式； 在新的壳体扩展有 限元格式中包含三维应力强度因子的计算及其裂纹扩展准则。 由此基于三维断裂 的概念建立了一套全新的壳体扩展有限元格式， 并且自主完成了程序编制， 目前 约有一万条程序。该方法将在第 6 章进行详细介绍。1.4 本书章节安排 本书第 2 章和第 3

25、 章为断裂力学简述， 分别介绍静态线弹性和动态断裂力学的基 本内容，如裂纹扩展准则和计算应力强度因子的相互作用积分方法等， 以及应用 传统有限元模拟扩展裂纹的节点力释放技术。 这两章为后续章节准备了所需要的 断裂力学基础知识， 熟悉断裂力学的读者可以跳过这两章。 第 4 章和第 5 章为扩 展有限元的基本内容。 第 4 章介绍扩展有限元的理论基础、 水平集方法扩充形函 数的数学描述、 弱形式及有限元离散格式等。 第 5 章以二维扩展有限元计算格式 为依据，通过自编程序将其应用于各类简单平面间断问题， 以讨论扩展有限元的 控制方程、 应用技巧和计算精度， 并验证公式和程序。 第 6 章至第 9

26、章为若干应 用举例，介绍本书作者的科研成果。 第 6 章描述了基于连续体的壳单元的扩展有 限元格式， 以模拟曲面壳体上任意形状裂纹扩展， 以及三维扩展有限元程序中所 用到的数值方法、 扩展准则和应力强度因子的计算方法、 动态问题的隐式和显式 积分算法， 及其在三维曲面壳体上任意扩展裂纹的算例等。 第 7 章对平面复杂形 状裂纹扩展问题进行深入研究， 作为案例， 重点研究了在非均匀的材料 (如双材 料)中裂纹扩展的机理， 描述了二维扩展有限元程序在双材料亚界面裂纹扩展问 题中的实际应用， 模拟了双材料亚界面裂纹扩展的实验， 讨论了双材料试件的材 料非均匀性、载荷非对称性和初始裂纹位置与长度对亚界

27、面裂纹I型扩展平衡态 的影响。第 8 章为扩展有限元在非均质材料及复合材料模拟中的应用， 研究了聚 合物基复合材料的力学性能，以及超声波在三维颗粒 / 短纤维夹杂复合材料中的 传播，并与实验及理论结果进行比较， 验证了该方法在复合材料模拟中的有效性。 第9章描述了 XFEM在二维两相流模拟中的应用，展示了 XFEM计算多场多相问题 的应用前景。第 10 章结合作者课题组的科研工作介绍了扩展有限元在微纳米力 学、多尺度计算等新领域的应用。1.5 练习1-1说明发展XFEM勺科学意义及其基本思想。1-2针对计算裂纹扩展和非连续界面问题，比较 XFEMf传统有限元、边界元、 无网格等方法勺优势和不足

28、。1-3举例说明XFEM勺潜在应用。2 线弹性断裂力学基础2.1 引言 在固体中发生勺断裂几乎都是源于在材料中形成位移勺间断面。 一般将裂纹问题 划分为三种基本类型：类型I为张开型(opening mode)，其裂纹表面位移彼此相反，方向均垂直于裂纹勺扩展方向， 这是工程上常见勺裂纹形式， 如图 2-1(a) 所示；类型U为滑开型(slidingmode)，裂纹上下表面位移也彼此相反，一个沿着裂纹扩展方向，另一个背离扩展方向，如图2-1(b)所示；类型川为撕开型(anti-plane shear mode)，裂纹上下表面产生方向相反的离面位移，如图2-1(c)所示。图 2-1 断裂模型(a) 张开型； (b) 滑开型； (c) 撕开型在断裂勺过程中， 裂纹尖端处要释放出一定勺能量。 因此， 裂纹尖端附近勺应力 - 应变场必然与此裂纹尖端处勺能量释放率有关。 若裂纹尖端附近应力 -应变场勺 强度足够大， 断裂即可发生 ; 反之不发生断裂。 因此， 必须寻求裂纹尖端附近应 力-应变场勺解答。近代断裂力学是用弹性力学勺解析方法得到了一些解答。在实际工程问题中， 一