复变函数第4讲x

1、1 本节内容：介绍几类基本初等函数，应注意各类本节内容：介绍几类基本初等函数，应注意各类函数的定义及特性；学习时应该注意与实变函数的函数的定义及特性；学习时应该注意与实变函数的对比对比. 思想：在复平面内，定义一个类似于实函数中的思想：在复平面内，定义一个类似于实函数中的 指数函数指数函数，使它满足一定的条件，使它满足一定的条件.:)sin(cosexp)(:expzxeyiyezzfzziyxz 如如下下的的指指数数函函数数定定义义复复变变数数对对1.11.1指数函数的定义指数函数的定义2.sincos:euler0)2(yiyexziy 公公式式 就就得得时时, ,的的实实部部特特别别当当

2、到到没没有有幂幂的的意意义义. .它它的的定定义义为为仅仅仅仅是是个个符符号号 ，注注)sin(cos,)1(yiyeexz .0)3(xez到到虚虚就就得得时时, ,部部y y的的特特别别当当 ).(2;)4(为为整整数数kkyeargeezxz .,0为为无无零零点点的的指指数数函函数数即即所所以以zzee 3awaaz arg0)20(im0 带形区域角形区域带形区域角形区域xy(z)iazew uv(w)aw arg0arg wa若若需需把把因因此此角角形形域域把把水水平平带带形形域域所所构构成成的的映映射射的的特特点点是是由由,arg0)2()im(0:awaazewz .用用指指数

3、数函函数数带带形形域域映映射射成成角角形形域域常常41.2 指数函数的性质指数函数的性质.)()()1(zzzeeezf 且且在在复复平平面面上上处处处处解解析析，).exp(expexp:)2(2121zzzz 加加法法定定理理).exp()sin()cos()sincoscos(sin)sinsincos(cos)sin(cos)sin(cosexpexp21212121212121221121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzxxxxxx 事实上事实上 , ,设设则则,222111yixzyixz 5指数函数的这些性质容易根据定义进行证明，也指数函数的这

4、些性质容易根据定义进行证明，也可以参见课本第可以参见课本第23页页.另外，我们有另外，我们有.2)3(为为周周期期的的周周期期函函数数是是以以iez 这个性质是实变指数函数所没有的！这个性质是实变指数函数所没有的！.1, 11)sin()(cos(0zzxxzzeeeyyiyyeee 例如例如 求求.ze解解: :.)sin(cosziyxxzeeyiyee 62 2、 对数函数对数函数2.1定义定义 指数函数的反函数称为对数函数指数函数的反函数称为对数函数.即即.,)()0(lnzwzfwzzew 记记作作称称为为对对数数函函数数的的函函数数把把满满足足).(2,ln,为整数为整数那么那么令

5、令kkvrureerezivuwiivui ), 1, 0()2(ln kkirlnzw), 2, 1, 0()2(arglnargln kkzizzizlnz 或或？，如如何何计计算算给给定定一一复复数数lnzz7注注: 负负数数也也有有了了对对数数；对对数数函函数数的的定定义义域域是是, 0)1( z.lnln),20(ln0)3(的的推推广广函函数数是是实实变变数数对对数数函函数数这这正正说说明明了了复复变变数数对对数数时时，特特别别地地，当当xzkixlnzxz 整整数数倍倍；相相差差个个函函数数值值的的无无穷穷多多值值函函数数，每每两两是是）（izlnzw22 .,lnargln,0

6、的的主主值值称称为为的的一一单单值值函函数数为为时时当当记记作作lnzlnzzzizlnzk ).(2ln为整数为整数kkizlnz 故故8例例1 求下列各对数的值及其相应的主值：求下列各对数的值及其相应的主值： ).43()2();1()1(ilnln ，为为整整数数解解：)()12()2(|1|ln)1()1(kikkiln .)1ln()1(iln 的的主主值值为为);()34arctan2(5ln)234arctan(|43|ln)43()2(为为整整数数解解：kikkiiiln .34arctan5ln)43ln()43(iiiln 的的主主值值为为9练习题练习题1 求下列各对数的值

7、及其相应的主值：求下列各对数的值及其相应的主值： ).()3();33()2();()1(ielnilniln .0312 iez求求解解方方程程例例).()32(2ln)23(|31|ln)31(31为为整整数数，则则把把方方程程改改写写为为解解：kikkiiilnziez .22iez 解解方方程程练练习习题题102.2 性质性质应当注意，由于对数函数的多值性，对于上述等式的应当注意，由于对数函数的多值性，对于上述等式的理解应与复数的乘积和商中关于辐角的等式一样理解应与复数的乘积和商中关于辐角的等式一样.,)()1(21212121lnzlnzzzlnlnzlnzzzln .ln:)2(处

8、处处处连连续续在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴外外连连续续性性z,arglnln:zizz 主主值值;ln续续除除原原点点外外在在其其它它点点均均连连其其中中z.ln:)3(平平面面内内解解析析在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴的的解解析析性性z.1)(lnzz 且且11是是否否成成立立？，等等式式对对于于思思考考题题lnzlnzz20. 1:2 ?)(,0.2 lnzzeelnz问问对对于于3 3、幂函数、幂函数,0, zb为为复复数数设设定义定义.blnzbezz 的的幂幂函函数数定定义义 一般而言这里定义的幂函数为多值函数一般而言这里定义的幂函数为多值函数. （为什么？（为什么？）

9、.ln的的推推广广显显然然这这一一定定义义是是xyyex 12下面我们讨论几个相关问题：下面我们讨论几个相关问题：3.1当当b = n (正整数正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数在整个复平面上是单值解析函数.为正整数）时，为正整数）时，当当nnb(12 . 3 nkznnnnizikzizlnzeeeez 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkzinkzzn nz ).12 , 1 , 0( nk的的反反函函数数nwz 13.32的的值值和和求求iii例例3,)2()2(ln22 kikiiiilniieeei解解：.为为整整数数其其中中 k)

10、,sin()cos(3434)2()2(ln2322323232kkkiikiilniieeei )2 , 1 , 0( k练习：练习：.)1(22的的值值和和求求iii 14由由欧欧拉拉公公式式定定义义1 .4据此，我们把上述公式推广到据此，我们把上述公式推广到复三角函数复三角函数如下：如下：2cos,2sinizizizizeezieez 定义定义定义定义,sincos,sincosyiyeyiyeiyiy * 复三角函数是由指数函数定义的复三角函数是由指数函数定义的.2cos,2sinyiyiyiyieeyieey 15.2cossin)1周周期期函函数数是是及及 tzz.的的定定义义容

11、容易易推推出出这这一一性性质质可可以以根根据据它它们们.sin)(cos,cos)(sin,)2zzzz 且且在在复复平平面面上上处处处处解解析析.cos)(21)(21)(sinzeeeeiziziziziz 这是因为这是因为4.2 正弦、余弦函数的性质正弦、余弦函数的性质.sin)(2)(21)(coszeeieeziziziziz 而而16.cos,sin)3是是偶偶函函数数是是奇奇函函数数zz.的的定定义义容容易易推推出出这这一一性性质质可可以以根根据据它它们们,0sin,sin)4kzzz 的的根根为为即即方方程程的的零零点点.,2cos为整数为整数的零点为的零点为kkzz 事实上，

12、根据定义，有事实上，根据定义，有, 10102sin22 izizizizeeieez).(212为为整整数数kkziklnz i 17.cos;2sincos,sin)5 chyiyieeiyyzzyy当当的的定定义义知知由由.1sin, 1cos不不再再成成立立在在复复数数范范围围内内 zz正弦、余弦的其它性质以及其余三角函数的正弦、余弦的其它性质以及其余三角函数的定义详见课本第定义详见课本第27页和页和28页页.sin21sincos2cos;cossin22sin;1cossin)522222zzzzzzzz 18.2,2zzzzeechzeeshz 定义定义称为称为双曲正弦双曲正弦和和双曲余弦双曲余弦函数函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质.2)1为为周周期期的的函函数数都都是是以以、ichzshz.,)2奇奇函函数数偶偶函函数数 shzchz.,)(,)()3析析