吉林大学线性代数线性代数15课xm33

1、第三章 第三节线性方程组的解线性方程组v有解：相容的v无解：不相容11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxbaxb增广矩阵的秩v定理3：v无解的充要条件v有唯一解的充要条件：v有无限多解的充要条件：( , )baba xb( )( , )( )( , )( )( , )r ar ar ar anr ar anbbb无解的情况111,11212,2,1,( )10001000100000000000000000n rn rrr n rrrr arbbdbbdbbddb1()()101rr ar bd方程中会化简成无解

2、行消元列满秩12( )100010001000000nr ardddb 1( )( )0rr ar brnd唯一解1122nnxdxdxd无限多解情况111,11212,2,1,( )10001000100000000000000000n rn rrr n rrrr arbbdbbdbbddb1( )( )0rr ar brnd11111,122112,211,rn rnrn rnrrrr n rnrxb xbxdxb xbxdxb xbxd 11111,122112,211,11111 11,11 1,11,rn rnrn rnrrrr n rnrrnn rn rn rrrr n rn rr

3、rnn rxb xbxdxb xbxdxb xbxdxcxcxb cbcdxb cbcdxcxc 1,2,11121,1111121,1111000100010000010000000000000rrn rrnrrn rn rr n rn rrdddbbbbbdbbxxccxbbbx,10100rrn rbdd解方程的步骤v对增广矩阵b做行消元，变成行阶梯形式。v如果r(a)r(b),方程组无解。v否则，化成行最简形式。vr=r(a)，r个非零行首元素做非自由未知数v其他未知数作为自由未知数，改写成v写出n-r个参数的通解。1,n rcc齐次线性方程组只需对a消元123412341234134

4、2342202220430122112212122 0364114303641012214 012 0130000002005202534334203xxxxxxxxxxxxaxxxxxx13423431421122123142121212123142523423,5234232210534352342130 xxxxxxxc xcxccxccxcxcccxxccccxcxc 12341234123423135322223123111231131532 05401212230540112311 054010000( )2, ( )23xxxxxxxxxxxxbr ar br(a)r(b)：无解

5、无限多解情况123412341234313344598011311313441598011311 046710467111311371 012440000010 0132353441007000442xxxxxxxxxxxxb1342343344121212343232103474054335244371244,( ,0r1)140 xxxxxxxxxxxxccc cxx判断是否有解123123123(1)0(1)3(1)( , )11101113111111 030(2)(1)xxxxxxxxxbabb(1)(111 030(2)(1)111 03000,3, ( )( )30, ( )1,

6、 ( )23, ( )( )3)2(3),r ar br ar br ar b 132312331123 033600001011 01120000121112 ,()10bxxxxxxccrx 使用克拉默准则求解1231231232(1)0(1)3(1)| |0111111|111(3)1 11111111111(3) 00(3)000,3xxxxxxxxxaa ，唯一解在不是唯一解的情况下，和之前做法一致12301 1 1011101 1 13 00011 1 100000( )1, ( )23,2110101213 01112111110012100020,()br ar bbxxccr

7、x 关于“有解”的结论v n元齐次线性方程组 有非零解v线性方程组 有解v矩阵方程 有解ax = 0( )r ana xb( )( , )r ar abaxb( )( , )rrbaa1231161456111517891024112316456115789124123114561178901 12361456151789241x12364561578924123145617891xx11121222(,)(,)aaaxbx xb bxb12233*, ( ,)*, ( ,)*, ( ,)*, *aaaaaaaxb1xbbxbbxbb* ( , )*a b行变换多个方程组的合并()(),(1,2, )( )( , )( ,) ( ,)( ,) ( ,),(1,2, )xbaxbailr araamra baaaailaxba12l12lii12l12liiiix ,x ,xb ,b ,bx = bb ,b ,bb bbbbx = b 的行最简形式 ，最后的行都是零行。有解有解,(1,2, )( ,)( ),(1,2, )0( , )( )axbailr ar ailmrr a brr aiiiix = bbb有解的最后个元素为秩的性质( )min