河海大学几何与代数33

1、, 111 aaaa,11eaaaa 则矩阵则矩阵 称为称为 的可逆矩阵或逆阵的可逆矩阵或逆阵.a1 a一、概念的引入一、概念的引入在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，0 a有有aa11 a其中其中 为为 的倒数，的倒数，a （或称（或称 的逆）；的逆）； 在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，e单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1，a那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，1 a如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是是可逆可逆

2、的，并把矩阵的，并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.nab,ebaab bana, ,使得使得.1 aa的逆矩阵记作的逆矩阵记作例例 设设,21212121,1111 ba,ebaab .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是ab说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.aa若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，bca则有则有,ecaacebaab 可得可得ebb bca abc .cce 所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即a.1 acb例例 设设,0112 a.的逆阵的逆阵求求a解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵, dcbaba则则 dcba

3、ab0112 1001 100122badbca利用待定系数法利用待定系数法 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因为又因为 0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101 aabab定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 ,11 aaaa0 a证明证明若若 可逆，可逆，a.eaaa 11使使即有即有, 11 eaa故故. 0 a所所以以.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中aa ,0时时当当 a,0时时当当 a nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2122212121

4、11212222111211aaaaaaann 1112121111aaaaaaannnnnnnn 2211, aaaaooeaaaaa ,eaaaaaa .1aaa 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕证毕.,0,0非非奇奇异异矩矩阵阵称称为为时时当当称称为为奇奇异异矩矩阵阵时时当当aaaa 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义.为为非非奇奇异异矩矩阵阵是是可可逆逆阵阵的的充充要要条条件件是是由由此此可可得得aa, 1 eba, 0 a故故,1存存在在因因而而 a于是于是ebb baa1 aba1 证毕证毕 .,1 abebaeab则则或或若若推论推论证明证明 .,1111a

5、aaa 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质ea1 1 a 且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若, 0,2aa 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,3abba 1111 abbaabab1 aea,1eaa .111 abab证明证明 1abb1 1 a .111 aa tttaaaa11 te ,e .11ttaa .,0,10kkaaeaa 定义定义时时当当另外另外证明证明 为正整数为正整数k .1212 aa推推广广1ama1 ma1 1a .,4aaaat 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若tt1 1 .aa,a115 则有则有可逆可逆若

6、若证明证明eaa 111 aa.aa11 因此因此有有为整数时为整数时当当, 0 a, aaa . aa 例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. . 343122321a解解343122321 a, 02 .1存在存在 a, 2341211 a, 3331212 a三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法同理可得同理可得, 2, 6, 6, 223222113 aaaa, 2, 5, 4333231 aaa,222563462 a得得故故 aaa11 22256346221.11125323231 0.1 bcadadcbaa其其中中求求已已知知 例例2 2, 0! 3 a因因由由伴伴随随矩矩阵

7、阵法法得得,1aaa 解解.1存在存在故故 a.3000200011 aa求求已已知知 例例3 3 210003100032! 31.31000210001 ,130231,3512,343122321 cba例例4 4 设设.caxbx 使满足使满足求矩阵求矩阵解解, 02343122321 a, 013512 b.,11都存在都存在 ba,111253232311 a且且,25131 bcaxb 又由又由1111 cbaaxbba.11 cbax于是于是11 cbax 251313023111125323231e证证明明, 022 eaa由由 eeaa2 得得, 0 aeeaa 212 e

8、aa.,2,:, 022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵eaaeaaa 例例5 5 2513202011.41041012 .可可逆逆故故a1 a022 eaa又由又由 0432 eeaea eeaea 3412.ea可可逆逆故故2 eaea34121 且且.43ae .211eaa 12 ea , 13412 eaea 714121,61abaabaa且且oo.b求求ababaa61 abaea61 ebea61 .611 eab解解:,满满足足关关系系设设三三阶阶矩矩阵阵ba例例6 611000100017000400026 16000300016 16000300016 610003100016.100020006 116 eab均可逆均可逆，babad,00111 bad00（a）（b） 00bad均可逆均可逆，baabd,00111 （c） bcadnm0均可逆均可逆，babcabad,011111 四四 分块矩阵的逆分块矩阵的逆(高阶矩阵的逆可化为低阶来算)五、小结五、小结逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质. 0 a逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法 ;21aaa 利用公式利用公式逆矩阵逆矩阵