河海大学理学院高等数学116函数项级数的一致收敛性

1、一、问题的提出一、问题的提出 有有限限个个连连续续函函数数的的和和仍仍是是连连续续函函数数，有有限限个个函函数数的的和和的的导导数数及及积积分分也也分分别别等等于于他他们们的的导导数数及及积积分分的的和和对对于于无无限限个个函函数数的的和和是是否否具具有有这这些些性性质质呢呢？对对于于幂幂函函数数是是这这样样的的，那那么么对对于于一一般般的的函函数数项项级级数数是是否否如如此此？问题问题: :解解,)(nnxxs 且且得和函数：得和函数：因为该级数每一项都在因为该级数每一项都在0,1是连续的，是连续的， . 1, 1, 10, 0)(lim)(xxxsxsnn.1)(处间断处间断在在和函数和函

2、数 xxs例例1 1 考察函数项级数考察函数项级数 )()()(1232nnxxxxxxx和函数的连续性和函数的连续性 函函数数项项级级数数的的每每一一项项在在,ba上上连连续续，并并且且级级数数在在,ba上上收收敛敛，其其和和函函数数不不一一定定在在,ba上上收收敛敛同同样样函函数数项项级级数数的的每每一一项项的的导导数数及及积积分分所所成成的的级级数数的的和和也也不不一一定定等等于于他他们们和和函函数数的的导导数数及及积积分分结论结论 对对什什么么级级数数，能能从从每每一一项项的的连连续续性性得得出出和和函函数数的的连连续续性性，从从每每一一项项的的导导数数及及积积分分所所成成的的级级数数

3、之之和和得得出出原原来来级级数数的的和和函函数数的的导导数数及及积积分分呢呢？问题问题二、函数项级数的一致收敛性二、函数项级数的一致收敛性 设有函数项级数设有函数项级数 1)(nnxu如果对于任意如果对于任意给定的正数给定的正数 ，都存在着一个只依赖于，都存在着一个只依赖于 的自的自然数然数n，使得当，使得当nn 时，对区间时，对区间i上的一切上的一切x，都有不等式，都有不等式 )()()(xsxsxrnn成立，则成函数项级数成立，则成函数项级数 1)(nnxu在区间在区间i上一致上一致收敛于和收敛于和)(xs，也称函数序列，也称函数序列)(xsn在区间在区间i上上一致收敛于一致收敛于)(xs

4、定义定义 只要只要n充分大充分大)(nn ,在区间在区间i上所有曲上所有曲线线)(xsyn 将位于曲线将位于曲线 )(xsy与与 )(xsy之间之间.xyoi )(xsy )(xsy)(xsy )(xsyn 几何解释几何解释: : 研究级数研究级数 111112111nxnxxxx在区间在区间), 0上的一致收敛性上的一致收敛性.例例2 2解解,1)(nxxsn )0(01lim)(lim)( xnxxsxsnnn余项的绝对值余项的绝对值)0(11)()( xnnxxsxsrnn对于任给对于任给0 ，取自然数，取自然数 1 n，则当则当nn 时，对于区间时，对于区间, 0上的一切上的一切x，有

5、有 )(xrn根根据据定定义义，所所给给级级数数在在区区间间, 0 上上一一致致收收敛敛于于. 0)( xs例例3 3研究例研究例1中的级数中的级数 )()()(1232nnxxxxxxx在区间在区间( 0 , 1内的一致收敛性内的一致收敛性.解解 该级数在区间该级数在区间(0,1)内处处收敛于和内处处收敛于和0)( xs，但并不一致收敛但并不一致收敛对于任意一个自然数对于任意一个自然数,n取取nnx21 ，于是，于是,21)( nnnnxxs, 0)( nxs但但.21)()()( nnnnnxsxsxr从而从而只要取只要取21 ，不论，不论n多么大，在多么大，在(0,1)总存在总存在点点n

6、x，,)( nnxr使得使得因此级数在因此级数在( 0, 1 )内不一致连续内不一致连续说明说明: :从下图可以看出从下图可以看出:但但虽然函数序列虽然函数序列nnxxs )(在在( 0, 1 )内处处内处处,0)( xs)(xsn在在( 0, 1 )内各点处收内各点处收收敛于收敛于敛于零的敛于零的“快慢快慢”程度是不一致的程度是不一致的oxy(1,1)nnxxsy )(1 n2 n4 n10 n30 n1一致收敛一致收敛上上，这级数在，这级数在注意：对于任意正数注意：对于任意正数, 01rr 小结小结一致收敛性与所讨论的区间有关一致收敛性与所讨论的区间有关定理（魏尔斯特拉斯定理（魏尔斯特拉斯

7、(weierstrass)(weierstrass)判别法）判别法）如如果果函函数数项项级级数数 1)(nnxu在在区区间间i上上满满足足条条件件: :(1)(1) )3 , 2 , 1()( naxunn; ;(2) (2) 正项级数正项级数 1nna收敛收敛, ,则函数项级数则函数项级数 1)(nnxu在区间在区间i上一致收敛上一致收敛. .一致收敛性简便的判别法：一致收敛性简便的判别法：证证 由由条条件件(2)，对对任任意意给给定定的的0 ，根根据据柯柯西西审审敛敛原原理理存存在在自自然然数数n，使使得得当当nn 时时，对对于于任任意意的的自自然然数数p都都有有.221 pnnnaaa由

8、由条条件件(1)，对对任任何何ix ，都都有有)()()(21xuxuxupnnn )()()(21xuxuxupnnn ,221 pnnnaaa令令 p,则则由由上上式式得得 2)(xrn.因因此此函函数数项项级级数数 1)(nnxu在在区区间间i上上一一致致收收敛敛.例例4 4证明级数证明级数 22222sin22sin1sinnxnxx在在),( 上一致收敛上一致收敛.证证在在),(内内), 3 , 2 , 1(1sin222 nnnxn 级级数数 121nn收收敛敛，由由魏魏尔尔斯斯特特拉拉斯斯判判别别法法，所给级数在所给级数在),( 内一致收敛内一致收敛三、一致收敛级数的基本性质三、

9、一致收敛级数的基本性质定理定理1 1 如果级数如果级数 1)(nnxu的各项的各项)(xun在区间在区间 ba, 上都连续上都连续, ,且且 1)(nnxu在区间在区间 ba, 上一上一致收敛于致收敛于)(xs, ,则则)(xs在在 ba, 上也连续上也连续. .证证 设设xx ,0为为 ba,上任意点由上任意点由)()()(),()()(000 xrxsxsxrxsxsnnnn )()()()(00 xrxrxsxsnnnn (1)()()()()()(000 xrxrxsxsxsxsnnnn 级数级数 1)(nnxu一致收敛于一致收敛于)(xs，对对0 ，必必 自自然然数数)( nn ，使

10、使得得当当nn 时时,对对 ba,上上的的一一切切x都都有有3)( xrn(2).3)(0 xrn同样有同样有故故)(xsn(nn )在在点点0 x连连续续，(3)0 当当 0 xx时总有时总有 3)()(0 xsxsnn由由(1)、(2)、(3)可见可见,对任给对任给0 ，必有，必有0 ，当当 0 xx时，有时，有.)()(0 xsxs)(xsn是是有有限限项项连连续续函函数数之之和和，所以所以)(xs在点在点0 x处连续，处连续，而而0 x在在ba,上上是是任任意意的的，因因此此)(xs在在ba,上上连连续续定理定理2 2 如果级数如果级数 1)(nnxu的各项的各项)(xun在区间在区间

11、 ba, 上都连续上都连续, ,且且 1)(nnxu在区间在区间 ba, 上一上一致收敛于致收敛于)(xs, ,则则)(xs在在 ba, 上可以逐项积分上可以逐项积分, ,即即 xxxxxxdxxudxxudxxs000)()()(21 xxndxxu0)(其其 中中bxxa 0, , 并并 且且上上 式式 右右 端端的的 级级 数数 在在 ba, 上上也也一一致致收收敛敛. .(4)证证 级数级数 1)(nnxu在在ba,一致收敛于一致收敛于)(xs, 由定理由定理 1, )(xs，)(xrn都在都在ba,上连续，上连续，所以积分所以积分 xxdxxs0)(， xxndxxr0)(存在存在,

12、从而有从而有 xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(.)(0 xxndxxr又又 由由 级级 数数的的 一一 致致收收 敛敛 性性 ,对对 任任 给给 正正 数数 必必 有有)( nn 使使得得当当nn 时时,对对ba,上上的的一一切切x,都都有有.)(abxrn xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(.)(0 xxqb根据极限定义，有根据极限定义，有 nixxnnxxnnxxdxxudxxsdxxs1000)(lim)(lim)(即即 100)()(ixxixxdxxudxxs由于由于n只依赖于只依赖于 而于而于xx ,0无关，无关，所以级数所以级

13、数 10)(ixxidxxu在在ba,上一致收敛上一致收敛.于于是是，当当nn 时时有有定理定理3 3 如果级数如果级数 1)(nnxu在区间在区间 ba, 上收敛上收敛于和于和)(xs，它的各项，它的各项)(xun都具有连续导数都具有连续导数)(xun ，并且级数，并且级数 1)(nnxu在在 ba, 上一致收敛，上一致收敛，则级数则级数 1)(nnxu在在 ba, 上也一致收敛，且可逐上也一致收敛，且可逐项求导，即项求导，即 )()()()(21xuxuxuxsn(5)注意注意: :级数一致收敛并不能保证可以逐项求导级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数例如，级数 22222sin

14、22sin1sinnxnxx在任何区间在任何区间,ba上都是一致收敛的上都是一致收敛的.逐项求导后得级数逐项求导后得级数,cos2coscos22 xnxx.,发散的发散的都是都是所以对于任意值所以对于任意值因其一般项不趋于零因其一般项不趋于零x所以原级数不可以逐项求导所以原级数不可以逐项求导定理定理4 4 如如果果幂幂级级数数 1nnnxa的的收收敛敛半半径径为为0 r, ,则则其其级级数数在在),(rr 内内的的任任意意闭闭区区间间 ba, 上上一一致致收收敛敛. .进一步还可以证明，如果幂级数进一步还可以证明，如果幂级数 1nnnxa在收敛在收敛区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包

15、区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包含端点含端点幂级数的一致收敛性幂级数的一致收敛性定理定理5 5 如 果 幂 级 数如 果 幂 级 数 1nnnxa的 收 敛 半 径 为的 收 敛 半 径 为0 r，则其和函数，则其和函数)(xs在在),(rr 内可导，且内可导，且有逐项求导公式有逐项求导公式 111)(nnnnnnxnaxaxs, ,逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径敛半径证证在在),(rr 内任意取定内任意取定x，在限定，在限定1x，使得，使得rxx 1记记11 xxq，则，则先先证证级级数数 11nnnxna在在),(rr

16、内内收收敛敛,1111111111nnnnnnnnxaxnqxaxxxnxna 由比值审敛法可知级数由比值审敛法可知级数 11nnnq收敛，收敛，),(01 nnqn于是于是故数列故数列1 nnq有界，必有有界，必有0 m，使得，使得), 2 , 1(111 nmxnqn又又rx 10，级数，级数 11nnnxa收敛，收敛，由由比比较较审审敛敛法法即即得得级级数数 11nnnxna收收敛敛 由由定定理理 4，级级数数 11nnnxna在在),(rr 内内的的任任意意闭闭区区间间ba,上上一一致致连连续续，故幂级数故幂级数 1nnnxa在在ba,上适合定理上适合定理 3 条件，从条件，从而可以逐

17、项求导而可以逐项求导即得幂级数即得幂级数 1nnnxa在在),(rr 内可逐项求导内可逐项求导.设设幂幂级级数数 11nnnxna的的收收敛敛半半径径为为r ,rr 由由ba,在在),(rr 内的任意性，内的任意性， 将将此此幂幂级级数数 11nnnxna在在x, 0)(rx 上上逐逐项项积积分分即即得得,1 nnnxa因因逐逐项项积积分分所所得得级级数数的的收收敛敛半半径径不不会会缩缩小小，,rr 所以所以.rr 于是于是即即 11nnnxna与与 1nnnxa的收敛半径相同的收敛半径相同四、小结四、小结1 1、函数项级数一致收敛的定义；、函数项级数一致收敛的定义；2 2、一致收敛级数的判别法、一致收敛级数的判别法魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯判别法；判别法；4 4、幂级数的一致收敛性、幂级数的一致收敛性3 3、一致收敛级数的基本性质；、一致收敛级数的基本性质；练练 习习 题题上一致收敛上一致收敛在任一有限区间在任一有限区间证明证明之差的绝对值小于正数之差的绝对值小于正数与其极限与其极限时时能使当能使当取多