参数估计-概率论重点内容ppt课件

1、第七章第七章 参数估计参数估计第一节第一节 点估计点估计第二节第二节 估计量的评价规范估计量的评价规范第三节第三节 区间估计区间估计第一节第一节 点估计点估计.),(,),(.),(),(, 1,),( 212121212121121的估计值为称的估计量为称随机变量的估计值作为用它的观察值构造一个统计量样本值为的一个样本是数均为未知参其中的分布函数为设总体nnnnnnkkxxxXXXxxxXXXxxxXXXXkxFX 定义定义1： 点估计是指把总体的未知参数估计为某个确定点估计是指把总体的未知参数估计为某个确定的值或在某个确定的点上的值或在某个确定的点上.上一页上一页下一页下一页前往前往1、矩

2、估计法、矩估计法矩估计法的思想矩估计法的思想:用样本矩作为总体矩的估计。当总用样本矩作为总体矩的估计。当总体体X的分布类型知，但含有未知参数，可以用矩估的分布类型知，但含有未知参数，可以用矩估计法获得未知参数的估计。计法获得未知参数的估计。1212( , ),(,),(1,2, )kkiXF xXkik 设 的分布函数为为待估参数，设总体 的前 阶矩存在,并且它们均是的函数，求待估参数的矩估计的步骤为：上一页上一页下一页下一页前往前往的矩估计。的矩估计。作为作为就以就以时时数数需要估计未知参数的函需要估计未知参数的函的估计量。的估计量。分别作出分别作出用这个解用这个解),(),(,),(,)3

3、(2121212121kkkkkggg ., 2 , 1),()() 1 (21klXEkXkll阶矩的前求出总体.,., 2 , 1,),()2(2121112121nkknklklXXXXXXklA 即是可从中解出令上一页上一页下一页下一页前往前往2222111, 111 () .nnniiiiiiXXXXXXnnn的的估估计计量量。为为来来自自总总体体的的样样本本。求求，的的二二阶阶矩矩存存在在且且未未知知，设设总总体体例例)(),(:1221XDXEXXXXn 2222(),().lE XE X解：由于22221;1.niiXAXn令的矩估计分别为解此方程组得2 ,上一页上一页下一页下

4、一页前往前往的的矩矩估估计计分分别别为为则则均均未未知知，若若总总体体222,),( NX21221)(1 ,SnnXXnXnii上一页上一页下一页下一页前往前往122:e,00,0,.xxnTxf xxntttP Tte例设某种产品的寿命 服从指数分布，其概率密度为（ ， ）为未知参数，现抽得 个这种产品，测得其寿命数据为， ， ，求参数 及产品可靠度的矩估计111:.niiE XTTn解 由于（ ），记1,T令 , t于是得 的矩估计值1 e .ttP TteP Tt的矩估计值为上一页上一页下一页下一页前往前往2、极、极(最最)大似然估计大似然估计. ),( ),(),(),( )()()

5、( ,.,),(,121221122112121niinnnnnnnxpxpxpxpxXPxXPxXPxXxXxXPXXXxxxxpxXPX，的一组观察值为样本假定为待估计的未知参数，其中为离散型总体设总体(1)似然函数似然函数(a)离散型总体离散型总体上一页上一页下一页下一页前往前往; ),()( )(,),(11niiniixpLLxp记为的函数看作是参数将 (b)延续型总体延续型总体 niinnxfxfxfxfXXXxfX12121),(),(),(),( ),.,(),(, 的的联联合合密密度度为为为为待待估估参参数数，则则样样本本，已已知知其其概概率率密密度度为为连连续续型型设设总总

6、体体上一页上一页下一页下一页前往前往),()( ).(,),(11 iniinixfLLxf 记记为为的的函函数数看看作作是是关关于于参参数数将将.),( 称之为似然函数的函数到一个关于参数或密度函数，总可以得布体，只要知道其概率分对于离散型或连续型总结论：L上一页上一页下一页下一页前往前往)(max)(),(.)(,2121LLxxxLxxxnn满足即的极大似然估计，作为大的选取使“似然程度”最看做为未知参数的函数把似然函数值对于已得到的样本观察的极大似然估计。的极大似然估计。为为极大估计量。两者统称极大估计量。两者统称的的）称为）称为，（由此得到的统计量由此得到的统计量的极大似然估计值，的

7、极大似然估计值，）为参数）为参数，（称称 nnXXXxxx2121(2)极大似然估计极大似然估计上一页上一页下一页下一页前往前往极大似然估计。的便是参数，那么的最大值点）求似然函数（)(2L，数数）先先求求出出样样本本的的似似然然函函（)(1 L值值的的基基本本步步骤骤：求求参参数数的的极极大大似似然然估估计计估估计计。采采用用微微分分法法求求极极大大似似然然偏偏导导数数时时或或具具有有连连续续连连续续可可导导关关于于参参数数当当似似然然函函数数)()( L).)(,.,2 , 1(0),.,ln()(0)(ln2121时，个未知参数总体分布中含有或时未知参数总体分布中只含有一个的极大似然估计

8、求解下面方程组可求得kikkkidLd上一页上一页下一页下一页前往前往例例 3 设某工厂消费的产品不合格率为设某工厂消费的产品不合格率为p，抽，抽n个产品个产品做检验，发现有做检验，发现有m个不合格，求个不合格，求p的极大似然估计的极大似然估计.1212:1,.,10.nnXXpBpnXXXx xxmnm解 设=0,1分别表示抽样调查一个产品为合格品，不合格品，则服从参数为 的二点分布（， ），抽查个产品得样本， ，其观察值，其中有 个取值为 ，个取值为1写出似然函数写出似然函数,)1()1()(1111 niiniiiixnxxnixpppppL上一页上一页下一页下一页前往前往2对对L(p)

9、取对数，得对数似然函数取对数，得对数似然函数),1ln()(ln)()(ln11pxnpxpLniinii , 01)(ln311pxnpxdppLdniinii）令（4解此方程得解此方程得p的极大似然估计为的极大似然估计为.11nmxxnpnii上一页上一页下一页下一页前往前往第二节第二节 估计量的评价规范估计量的评价规范1、 无偏性无偏性.,)( ),( 21的的无无偏偏估估计计是是则则称称，即即未未知知参参数数的的数数学学期期望望等等于于若若 EXXXn定义定义2：本节讨论衡量估计量好坏的规范问题。本节讨论衡量估计量好坏的规范问题。的一个估计量为未知参数设),( 21nXXX上一页上一页

10、下一页下一页前往前往无偏估计。的阶矩是总体阶矩样本证明的样本。为来自总体，（存在，阶矩的设总体例knikiknkkkXnAkXXXXXEkX1211：)(1，）（因为因为证证kkiXE :,1)(1knikikXEnAE）（所以.一个无偏估计量是所以kkA上一页上一页下一页下一页前往前往2、有效性、有效性.),()( , 212121有效比则称有若对于任意的的无偏估计都是未知参数与设DD定义定义3上一页上一页下一页下一页前往前往有有效效。较较时时，故故当当样样本本容容量量，的的无无偏偏估估计计，但但都都是是，则则，且且的的样样本本，是是取取自自总总体体，、设设例例2122212212211)(

11、)()()(2 nDnDXXXDXEXXXXn最最具具有有效效性性。均均值值线线性性无无偏偏估估计计中中，样样本本的的在在形形如如可可以以证证明明XXniiniii)1(:11 上一页上一页下一页下一页前往前往3、一致性、一致性 ,0, lim 1.nnnP 如果依概率收敛于即对有则称 是 的一致估计量定义定义4上一页上一页下一页下一页前往前往第三节第三节 区间估计区间估计 .1.,),(1 )10(1,),(),( 212121212211为为置置信信度度或或置置信信概概率率称称信信上上限限分分别别称称为为置置信信下下限限与与置置的的的的置置信信区区间间，为为参参数数则则称称随随机机区区间间

12、有有如如果果对对于于给给定定的的概概率率是是两两个个统统计计量量及及设设 PXXXXXXnn定义定义5：1. 区间估计的概念区间估计的概念上一页上一页下一页下一页前往前往.1,),(12122的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为求求的的样样本本是是来来自自设设为为未未知知参参数数已已知知设设总总体体、例例 XXXXNXn:,(0,1)./XXNn解是 的无偏估计 且有,1/,2 unXP有有分分位位数数的的定定义义按按标标准准正正态态分分布布的的上上,)1 , 0(/不不依依赖赖于于任任何何未未知知参参数数所所服服从从的的分分布布NnX 上一页上一页下一页下一页前往前往),(122unXu

13、nX 的置信区间的一个置信度为得到了).(2unX 通常写成 122unXunXP即即上一页上一页下一页下一页前往前往2. 正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计.1),10(,),(,2221的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为和和分分别别求求参参数数给给定定的的对对于于的的一一个个样样本本是是来来自自总总体体设设 NXXXn的的置置信信区区间间均均值值 )1();( 1,)(22unXa的置信区间为的置信度为已知时当),1(/,)(2 ntnSXTXb 由由于于的的点点估估计计仍仍为为样样本本均均值值取取未未知知当当上一页上一页下一页下一页前往前往).1(),1(),1(1222

14、 ntnSXntnSXntnSX 简简记记为为的的置置信信区区间间为为的的置置信信度度为为于于是是得得,1)1() 1( ,1)1(/) 1(,2222ntnSXntnSXPntnSXntPt即分位点的定义知分布上由对于给定上一页上一页下一页下一页前往前往的的置置信信区区间间方方差差2)2( .1) 1() 1() 1() 1(,1)1() 1() 1(,2122222222122222nSnnSnPnSnnP即有分位点的定义分布的上由)1()1(,222222 nSnS 的的点点估估计计为为取取上一页上一页下一页下一页前往前往,) 1() 1(,) 1() 1(121222222nSnnSn的置信区间为的置信度为得.) 1(1,) 1(11,21222nSnnSn的置信区间为的置信度为得到同时上一页上一页下一页下一页前往前往.95. 0).:(5 .99 , 5 .100 , 1 .102 , 7 .99 , 3 .98 , 2 .101 , 5 .100 , 7 .98 , 3 .99:9,).,(,222的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为方方差差及及分分别别求求总总体体均均值值千千克克单单位位下下包包糖糖的的重重量量如如测测得得某某日日开开工工后后每每包包糖糖的的质质量量糖糖某某厂厂用用自自动动包包装装机机包包装装例例 NX,212. 1,978.99,3060. 2