高等数学教学课件汇编12.1

1、12.1 幂级数幂级数一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义: :,120 xxxnn例如级数例如级数2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :如果如果ix 0, ,数项级数数项级数 10)(nnxu收敛收敛, ,则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域. .函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, ,)()(limxsxsnn函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn(x在收

2、敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数: :)()()()(21xuxuxuxsn),(xsn例例 1 1 求级数求级数nnnxn)11()1(1 的收敛域的收敛域.解解由比值判别法由比值判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 11 x, 111)2( x当当, 11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛

3、;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;)., 0)2,( 故级数的收敛域为故级数的收敛域为, 1|1|)3( x当当, 20 xx或或二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数. .,000nnnxax 时时当当其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.2.2.收敛性收敛性: :,120 xxxnn例如级数例如级数;,1收收敛敛时时当当 x;,1发发散散时时当当 x);1 , 1( 收敛域收敛域);, 11,( 发散域发散域定理定理 1 (1 (abelabel 定理定理) )如如果果级级数数 0nnnxa在

4、在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .证明证明, 0lim0 nnnxa,)1(00收敛收敛 nnnxa如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ;), 2 , 1 , 0(0 nmxann使使得得,m nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxm0 ,10时时当当 xx,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxm ,0收收敛敛 nnnxa;0收收敛敛即即级级数数 nnnxa采采用用反反证证法法证证之之. .时时

5、发发散散, ,当当( (2 2) )0 0 xx 则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,这与所设矛盾这与所设矛盾.由由(1)结论结论如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数r存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :由由abel 定理可以看出定理可以看出, 1) 幂级数在幂级数在 (r , r ) 收敛收敛 ;2) 在在r , r 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .rx外发散外发散;3) 定义定义: : 正数正数r称为幂级数的称为幂级数的

6、收敛半径收敛半径.称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间., 0 r规定规定, r收敛区间收敛区间0 x;收收敛敛区区间间),( .问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?),(rr(1) 幂幂级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,( (2 2) ) 幂幂级级数数对对一一切切x都都收收敛敛, ,(r , r ) 加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.定理定理 2 2 如果幂级数如果幂级数 0nnnxa的所有系数的所有系数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1r;(3) 当当 时时,0 r.(2) 当当0 时时, r;

7、证明证明nnnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x 1) 若若 0,则则:当当,x1原级数收敛原级数收敛;当当,1x原级数发散原级数发散.即即1x即即1x;1r, 0)2( 如如果果, 0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa; r收敛半径收敛半径,)3( 如如果果, 0 x.0 nnnxa必必发发散散级级数数. 0 r收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕.0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为说明说明: :据此定理据此定理1limnnnaar例例2 2 求下列幂级数的收敛区间及收敛域求下列幂级数的收敛

8、区间及收敛域:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 r,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnxnnna limnn lim, , r级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,nnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0 r;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx例例3.12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域的收敛域.解解: 令令 ,1 xt级数变为级数变为nnntn121nnnnaarlimlim1nn21) 1(

9、211nnnnnnn2) 1(2lim12当当 t = 2 时时, 级数为级数为,11nn此级数发散此级数发散;当当 t = 2 时时, 级数为级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛此级数条件收敛;因此级数的收敛域为因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为,212x即即.31x例例4.nnxnn202) !(! )2(求幂级数的收敛半径的收敛半径 .解解: 级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,比值判别法求收敛半径比值判别法求收敛半径. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )1

10、2(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 .21r21x即142x当21x即) 1(2nxnx2故直接由故直接由三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质: :(1) 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minrrr )nnnbac rrx, ,2100rrxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc rrx, (其中其中)0110bababacnnnn 2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: : xnnnxdxxadxxs000)()(即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)0)()( nnnxaxs即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)解解1limnnnaar11limnnn,1时时当当 x,1时时当当 x,) 1(11nnn级数为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散, )1(1nn级数为例例 5 5 求级数求级数 11)1(nnnnx的和函数的和函数. ,) 1()(11nnnnxxs, 0)0(s显然两边积分得两边积分得)1ln()( 0 xdttsx21)( xxxs,11x )1