《随机信号分析》总复习1

1、? ?随机信号分析随机信号分析? ?总复习总复习1 1n概率论的根本术语概率论的根本术语n随机变量的定义及分布随机变量的定义及分布n多维随机变量及分布多维随机变量及分布n随机变量的数字特征随机变量的数字特征n随机变量的函数随机变量的函数n多维正态随机变量多维正态随机变量第第1章章 随机变量根底随机变量根底n1.2 随机变量的定义随机变量的定义( )F xP Xxn1.3 随机变量的分布函数与概率密随机变量的分布函数与概率密度度( )( )dF xf xdx0)(xf1)(dxxf211221()()( )xxP xXxF xF xf x dxn1.3 随机变量的分布函数与概率密随机变量的分布函

2、数与概率密度度221()( )exp22xf x2( ,)XN -4-3-2-10123400.70.8221()( )exp22xXxFxdxn1.4 多维随机变量及分布多维随机变量及分布( , ),F x yP Xx Yyn1.4 多维随机变量及分布多维随机变量及分布2( , )( , )F x yf x yx y 0),(yxfdyyxfxfX),()( )( , )Yfyf x y dx( , )( , )xyF x yf x y dxdy ( , )1f x y dxdy (, )( , )GPX YGf x y dxdy1.5 随机变量的数学特征

3、随机变量的数学特征n 均值均值 数学期望数学期望n随机变量随机变量X的均值的均值n离散型随机变量离散型随机变量n性质性质n线性线性n nX,Y不相关不相关2021-10-118()( )E Xxfx dxNiiipxXE1)()()E cXcE X1212(.)= ()().()nnE XXXE XE XE X)()()(YEXEXYEn方差方差n定义：定义：n反映了随机变量的取值与其均值的偏离程度反映了随机变量的取值与其均值的偏离程度n性质性质n n n独立随机变量独立随机变量 ：1.5 随机变量的数学特征随机变量的数学特征222()() ()()D XEXE XE XEX( )=0D c2

4、()()D cXc D X12,nXXX)()()(11nnXDXDXXD1.5 随机变量的数学特征随机变量的数学特征n假设假设X是随机变量，是随机变量，a,b 是任意确定实数是任意确定实数，令，令 Y=aX+b，那么，那么n n 2021-10-1110bXaEYE)()()()(2XDaYDn1.6 随机变量的函数随机变量的函数( )yg x)(XgY n一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布n假设假设 为单调连续上升函数，为单调连续上升函数，n求导，得求导，得 ，雅可，雅可Jacco比比n对于任意单调函数对于任意单调函数 ：n如果如果 不是单调函数：不是单调函数：n 其中其中 ,1

5、.6 随机变量的函数随机变量的函数)(1ygx( )g x11( )= ()= ( )( )YXFyP YyP g XyP XgyFgy( )( )YXdxfyfxdy( )g x1( )( )( )YXx gyfyfx JdydxJ ( )g x11( )( )()YXXnnfyfxJfxJ)(11yhx )(yhxnn/kkJdxdyn多维随机变量的函数多维随机变量的函数n设有二维随机变量设有二维随机变量 ，其概率密度为，其概率密度为 ，二维随机变量，二维随机变量 ：n 当当 ， 单调时，单调时，1.6 随机变量的函数随机变量的函数),(),(21222111XXgYXXgY12(,)XX

6、1212( ,)X Xfx x12( ,)Y Y1g2gJxxfyyfXXYY),(),(21221121111212221212(,)(,)xxyyxxJxxyyyyn1.6 随机变量的函数随机变量的函数)(XgY dxxfxgdyyyfYEXY)()()()(22( ) ( )( ( ) ( )( )YXD YE g XE g Xg xmfx dxn随机变量的定义随机变量的定义n随机变量的分布函数和概率密度：导数和随机变量的分布函数和概率密度：导数和积分积分n随机变量的数字特征：均值，方差，协方随机变量的数字特征：均值，方差，协方差，相关系数差，相关系数n随机变量的函数：反函数和雅可比随机

7、变量的函数：反函数和雅可比n正态正态随机变量：分布，数字特征随机变量：分布，数字特征第一章第一章小结小结n随机过程的根本概念及定义随机过程的根本概念及定义n随机过程的统计描述随机过程的统计描述n平稳随机过程平稳随机过程n随机过程的联合分布和互相关函数随机过程的联合分布和互相关函数n随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度n典型的随机过程高斯典型的随机过程高斯第二章第二章2.1 随机过程的根本概念及定义随机过程的根本概念及定义n随机过程定义随机过程定义n设随机试验设随机试验 的样本空间为的样本空间为 ，对其，对其每一个元素每一个元素 都以某种法那么确都以某种法那么确定一个样本函数定一个样本函数

8、，由全部元素，由全部元素 所所确定的一族样本函数确定的一族样本函数 称为随机过程，称为随机过程，简记为简记为 。n随机过程是一组样本函数的集合。随机过程是一组样本函数的集合。2021-10-1117E Se(1,2,.)ie i ( ,)ix t e e( , )X t e( )X t2.1 随机过程的根本概念及定义随机过程的根本概念及定义n随机过程定义二随机过程定义二n设有一个过程设有一个过程 ，假设对于每一个固定，假设对于每一个固定的时刻的时刻 n ， 是一个随机变量，那么是一个随机变量，那么 称为称为 随机过程。随机过程。 n随机过程是一组随机变量的集合。随机过程是一组随机变量的集合。2

9、021-10-1118( )X t(1,2,.)jtj( )jX t( )X t2.1 随机过程的根本概念及定义随机过程的根本概念及定义n 不同情况的意义：不同情况的意义：n当当 固定，固定， 固定时，固定时， 是一个确定值。是一个确定值。n当当 固定，固定， 可变时，可变时， 是一个随机变量。是一个随机变量。n当当 可变，可变， 固定时，固定时， 是一个确定的时间是一个确定的时间函数。函数。n当当 可变，可变， 可变时，可变时， 是一个随机过程。是一个随机过程。2021-10-1119( , )X t ete( , )X t ete( , )X t ete( , )X t ete( , )X

10、 t e2.2.1 随机过程的概率分布随机过程的概率分布n随机过程的概率分布随机过程的概率分布n一维概率分布：一维概率分布：n假设假设 的一阶导数存在，定义一维概的一阶导数存在，定义一维概率密度：率密度：n随机序列：随机序列：2021-10-1120)(),(xtXPtxFX( , )XFx txtxFtxfXX),(),( , )( )XFx nP X nx( , )( , )XXFx nfx nx2.2.1 随机过程的概率分布随机过程的概率分布n二维概率分布：二维概率分布： 及及 为同一随机过程上的随机变量为同一随机过程上的随机变量n二维概率密度：二维概率密度：2021-10-11211(

11、 )X t2( )X t12121122( , , )( ),( )XFx x t tP X tx X tx21212121212( , , )( , , )XXFx x t tfx x t tx x n随机过程的数字特征随机过程的数字特征n均值：均值：n方差：方差：n随机过程的均值与方差都是时间的函数随机过程的均值与方差都是时间的函数n均值与方差的物理意义均值与方差的物理意义2.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征dxtxxftXEtmXX),()()()()()(22tmtXEtXX)()(22tmtXEX表示消耗在表示消耗在单位电阻上单位电阻上的总的平均的总的平均功率功率平均交平

12、均交流功率流功率平均平均直流直流功率功率222( )( )( )XXE Xttmt n相关函数：相关函数：n反映两个不同时刻状态之间相关程度的数字反映两个不同时刻状态之间相关程度的数字特征特征n举例：两个均值和方差大致相同的随机过程举例：两个均值和方差大致相同的随机过程，相关性差异很大，相关性差异很大2.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 212121212121),()()(),(dxdxttxxfxxtXtXEttRX2.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征n协方差函数协方差函数n也是相关性的描述也是相关性的描述n如果如果 ，那么称，那么称 和和 不相不相关。关。n如果如

13、果 ，那么称，那么称 和和 相互相互正交。正交。n如果如果 ，那么，那么称随机过程在称随机过程在 和和 时刻是独立的。时刻是独立的。2021-10-1124)()()()(),(221121tmtXtmtXEttKXXX0),(21ttKX)(1tX)(2tX12( ,)0XRt t)(1tX)(2tX),(),(),(22112121txftxfttxxfXXX1t2t2021-10-1125n1111( ,)( , ,)XNNXNNfxxtctcfxxtt)(),(xftxfXX对于一维概率密度有：对于一维概率密度有：对于二维概率密度有：对于二维概率密度有：),(),(212121xxft

14、txxfXX21tt n2021-10-11261212( , )( ),XXRt tRttXXmtm)( 严格平稳严格平稳 广义平稳广义平稳当随机过程是当随机过程是正态分布正态分布时，两者等价。时，两者等价。一定（均值，自相关函数都存在）一定（均值，自相关函数都存在）不一定不一定2021-10-11271相关函数是偶函数相关函数是偶函数2 在在 时有最大值，即时有最大值，即3假设随机过程含有周期分量，那么自相关函假设随机过程含有周期分量，那么自相关函数也含有周期分量，例如数也含有周期分量，例如)()(XXRR)(XR0)()0(XXRR)()cos()(0tNtAtX)(cos2)(02NX

15、RAR2021-10-11284假设随机过程不含周期分量，那么假设随机过程不含周期分量，那么5 2)(limXXmR22)0(XXXmR相关函数示意图相关函数示意图统计平统计平均功率均功率直流功率直流功率交流功率交流功率 2021-10-1129),.,.,(11NNXttxxF设随机过程设随机过程X(t) 的的N维分布函数为维分布函数为),.,.,(11MMYttyyFY(t) 的的M维分布函数为维分布函数为 )(,.)(,)(,.)(),.,.,.,.,(11111111MMNNMMNNXYytYytYxtXxtXPttyyttxxF定义定义X(t) 和和Y(t) 的的N+M维联合概率分布

16、函数为维联合概率分布函数为 2021-10-1130MNMMNNXYMNMMNNXYyyxxttyyttxxFttyyttxxf1111111111.),.,.,.,.,(),.,.,.,.,(定义定义X(t) 和和Y(t) 的的N+M维联合概率密度为维联合概率密度为 ),.,.,(),.,.,(),.,.,.,.,(11111111MMYNNXMMNNXYttyyfttxxfttyyttxxf如果如果 那么称那么称X(t) 和和Y(t) 是相互独立的是相互独立的2021-10-1131),.,.,.,.,(),.,.,.,.,(11111111ctctyyctctxxfttyyttxxfMM

17、NNXYMMNNXY如果如果X(t) 和和Y(t) 的联合统计特性不随时间起的联合统计特性不随时间起点的平移而变化，则称点的平移而变化，则称X(t) 和和Y(t) 是严格联是严格联合平稳的，也称平稳相依。它们的任意合平稳的，也称平稳相依。它们的任意N+M维联合概率密度与时间起点无关维联合概率密度与时间起点无关2021-10-1132dxdytytxxyftYtXEttRXYXY ),()()(),(212121互相关函数互相关函数)()()()(),(221121tmtYtmtXEttKYXXY互协方差函数互协方差函数)()(),(),(212121tmtmttRttKYXXYXY0),(21

18、ttRXYX(t)和和Y(t)相互正交相互正交0),(21ttKXYX(t)和和Y(t)不相关不相关2021-10-11332121 ),(),()()(ttRttRmtmmtmXYXYYYXX如果如果那么称那么称X(t)和和Y(t)是广义联合平稳的。是广义联合平稳的。2021-10-1134)()()()(YXXYYXXYKKRR（1）联合平稳随机过程互相关函数性质联合平稳随机过程互相关函数性质2222|)(|)0()0()(2)0()0(|)(|YXXYYXXYYXXYKRRRRRR（2）2021-10-1135)()()()()(YXXYYXZRRRRR（3）若）若X(t)和和Y(t)是

19、联合平稳的，则是联合平稳的，则 Z(t)=X(t)+Y(t) 也是平稳的，且也是平稳的，且联合平稳随机过程互相关函数性质联合平稳随机过程互相关函数性质YXYXZmmRRR2)()()(如果如果X(t)和和Y(t)不相关，则不相关，则)()()(YXZRRR如果如果X(t)和和Y(t)相互正交，则相互正交，则2021-10-1136dtts)(2信号信号s(t)的能量谱密度简称能谱密度：的能量谱密度简称能谱密度：2| )(|S表示单位频带内信号的能量表示单位频带内信号的能量能谱密度存在的条件能谱密度存在的条件dSdttsE22)(21)(Parseval 定理定理能量型信号能量型信号能量有限的信

20、号能量有限的信号2021-10-11372)(21lim)(TTXXTEGTTtjTdtetXX)()(定义随机过程的功率谱密度为：定义随机过程的功率谱密度为：功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征，功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征，随机过程的功率谱密度表示单位频带内信号的频谱分量随机过程的功率谱密度表示单位频带内信号的频谱分量消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值。消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值。能谱密度：信号的能量按频率分布的情况能谱密度：信号的能量按频率分布的情况功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况2021-1

21、0-1138功率谱密度与相关函数关系功率谱密度与相关函数关系deRGjXX)()(deGRjXX)(21)(维纳维纳-辛钦定理辛钦定理条件条件: : 功率谱密度、自相关函数有意义功率谱密度、自相关函数有意义适用于任意随机过程定义本身不要求必须是平稳过程适用于任意随机过程定义本身不要求必须是平稳过程2021-10-1139性质：性质：对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；21( )lim( ) 02XTTGEXT( )( )jXXGRed ( )cos( )sinXXRdjRd 02( )cosXRd 2021-10-1140性质：性质：

22、相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。平；相关性越强，功率谱越陡窄。1(0)( )2XXRGdP总的平均功率总的平均功率2021-10-11412021-10-1142两个随机过程两个随机过程X(t)，Y(t)的互功率谱的互功率谱)()(21lim)(TTTXYYXTEGTTtjTdtetXX)()(TTtjTdtetYY)()(其中：其中：若若X(t)及及Y(t)联合平稳，联合平稳， 绝对可积，有绝对可积，有)()(XYXYGR)(XYR互功率谱从频域上描述了两个随机过程的互相关特性。互功率谱从频域上描述了两

23、个随机过程的互相关特性。2021-10-1143性质：性质：)()()(*YXYXXYGGG（1）互功率谱并非是非负的实偶函数互功率谱并非是非负的实偶函数)(ReXYG)(ReYXG)(ImXYG)(ImYXG与与是是 的奇函数；的奇函数；是是 的偶函数；的偶函数；与与（2）（3）)()()(2YXXYGGG2021-10-1144平稳白噪声：随机过程平稳白噪声：随机过程X(t)均值为均值为0，自相关函数为，自相关函数为2)(0NGX)(2),(21021ttNttRX平稳白噪声功率谱密度：平稳白噪声功率谱密度：白噪声的功率谱密度和自相关函数白噪声的功率谱密度和自相关函数 2021-10-11

24、45性质：性质：1. 对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价；对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价；2. 对于正态随机过程而言，不相关与独立等价；对于正态随机过程而言，不相关与独立等价；3. 一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的正态过程一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的正态过程。)()()(tStNtX21222( )1( , )exp22XxS tfx t（）4. 若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度，则称此若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度，则称此过程为平稳正态白噪声。满足过程为平稳正态白噪声。满足 iixninnXtxftttxxxf,),(12121n随机过程的根本概念及

25、定义随机过程的根本概念及定义n随机过程的统计描述：概率分布、数字特征随机过程的统计描述：概率分布、数字特征n平稳随机过程平稳随机过程n平稳的概念及判断平稳的概念及判断n平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质n随机过程的联合分布和互相关函数随机过程的联合分布和互相关函数n随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度n定义，维纳定义，维纳- -辛钦定理辛钦定理n功率谱的性质、计算功率谱的性质、计算n白噪声、正态随机过程白噪声、正态随机过程第二第二章小结章小结2021-10-11472021-10-1148习题解答习题解答2021-10-11492021-10-11502021-10-

26、1151)cossin1 (31)(tttXE)cos(1 3/1)coscossinsin1 (31)()(),(1221212121tttttttXtXEttRX不是平稳随机过程不是平稳随机过程2021-10-1152许瓦兹不等式许瓦兹不等式YXYXYXXYmtYEmtXEmtYmtXEK222222 )()( |)()(| )(|) 3(证：2021-10-11532021-10-115412021-10-1155)3()3()(14)(14)(22XG2021-10-1156YXXYmmtYEtXEtYtXEttR)()()()(),(212121)(2)(YXXYmmG),()( )

27、()()()()()()( )()(),(2121212212121ttRRtYtXEtXtXEtYtXtXEtZtXEttRXYXXZ)(2)()(YXXXZmmGG2021-10-1157第三章第三章 随机过程的线性变换随机过程的线性变换n3.1 变换的根本概念和根本定理变换的根本概念和根本定理n3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析n3.3 限带过程限带过程n3.5 最正确线性滤波器最正确线性滤波器n3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布线性系统输出端随机过程的概率分布583.1 变换的根本概念和根本定理变换的根本概念和根本定理n线性变换线性变换n设有任意两个随机变量

28、设有任意两个随机变量A1和和A2及任意及任意两个随机过程两个随机过程X1(t)和和X2(t)，如果满足，如果满足n那么称那么称L是线性变换。是线性变换。n59 11221122 L A XtA XtA L XtA L Xt3.1 变换的根本概念和根本定理变换的根本概念和根本定理n线性变换的两个根本定理线性变换的两个根本定理n定理定理1 设设Y(t)=LX(t)，其中，其中L是线性是线性变换，那么变换，那么n即随机过程经过线性变换后，其输出的数即随机过程经过线性变换后，其输出的数学期望等于输入的数学期望通过线性变换学期望等于输入的数学期望通过线性变换后的结果。后的结果。60 E Y tL E X

29、 t 3.1 变换的根本概念和根本定理变换的根本概念和根本定理6121212()(), ,XYtXRt tLRt t 112121212, , ()()() ,YtXYttXRt tLRt tLLRt t1tL2tL3.1 变换的根本概念和根本定变换的根本概念和根本定理理n随机过程及其导数相关函数示意图随机过程及其导数相关函数示意图623.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析n冲激响应法冲激响应法n输出输出n均值均值n假设假设X(t)平稳平稳63X(t)Y(t)( )() ( )( )( )Y tX thdh tX t h(t)( )( )( )() ( )YXXmth tmt

30、mthd ( )( )(0)YXXXmm hdmhdm H 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析n随机过程通过线性系统输入输出相关函数随机过程通过线性系统输入输出相关函数的关系的关系64),(21ttRX),(21ttRXY),(21ttRY)(2th)(1th),(21ttRX),(21ttRYX),(21ttRY)(2th)(1th3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析n平稳随机过程通过线性系统输入输出相关平稳随机过程通过线性系统输入输出相关函数之间的关系函数之间的关系653.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析n频谱法频谱法：利用系统

31、的传递函数来分析输出：利用系统的传递函数来分析输出的统计特性的统计特性n n n n n 66( )*( )( )XYXGHG ( )( )( )YXYGHG 2( )*( )( )( ) |( )|( )YXXGHHGHG( )( )( )YXXGHG ( )*( )( )YYXGHG 3.3 限带过程限带过程n低通随机过程低通随机过程：随机过程的功率谱：随机过程的功率谱GX()在在|c 内不为零，而在其外为零内不为零，而在其外为零n低通随机过程的自相关函数为低通随机过程的自相关函数为67图图3-1 低通随机过程的功率谱低通随机过程的功率谱1( )( )2ccjXXRGed 3.3 限带过程

32、限带过程假设低通随机过程在频带内功率谱密度为常数，假设低通随机过程在频带内功率谱密度为常数，即即那么称那么称X(t)为理想低通随机过程或理想低通白噪为理想低通随机过程或理想低通白噪声声其自相关函数为其自相关函数为总的平均功率为总的平均功率为6800/ 2(|,)cNN 为为常常数数( )XG 0()其其他他0(0)2cXNR 0sin( )2ccXcNR 3.3 限带过程限带过程n带通随机过程带通随机过程：随机过程：随机过程X(t)的功率谱的功率谱GX()集中在集中在0为中心的频带内为中心的频带内n理想带通随机过程理想带通随机过程：在频带内，功率谱密度为：在频带内，功率谱密度为常数常数69b理

33、想带通随机过程理想带通随机过程a一般带通随机过程一般带通随机过程3.3 限带过程限带过程噪声等效通能带噪声等效矩形带宽：把白噪噪声等效通能带噪声等效矩形带宽：把白噪声通过线性系统后的非均匀物理谱密度等效成在声通过线性系统后的非均匀物理谱密度等效成在一定频带内均匀的的物理谱密度，这个频带称为一定频带内均匀的的物理谱密度，这个频带称为等效通能带，记为等效通能带，记为fefe70图图3-4 噪声等效通能带噪声噪声等效通能带噪声等效矩形带宽示意图等效矩形带宽示意图00()( )YeYFFd 200200( )|( )|12()2|()|YeYFdHdfFH3.5.2 匹配滤波器匹配滤波器(3.5.13

34、)(3.5.14)(3.5.15)当当c=1时时， 与与 关于关于 呈呈偶对称关系。偶对称关系。0*( )( )j tHcSe*0( )()h tcs tt0( )()h tcs tt( )h t( )s t0/ 2tn性质和性质和特点特点-1:-1:输出的输出的最大信噪比与输入信最大信噪比与输入信号的波形无关号的波形无关n由于白噪声的功率谱为一个常数，由由于白噪声的功率谱为一个常数，由(3.5.9)式可得式可得n其中其中E代表信号的能量，代表信号的能量，n由由(3.5.16)式可以看出，最大信噪比只与信号式可以看出，最大信噪比只与信号的能量和噪声的强度有关，与信号的波形无关的能量和噪声的强度

35、有关，与信号的波形无关。(3.5.16)3.5.2 匹配滤波器匹配滤波器200( )122/ 2mSdEdNN3.5.2 匹配滤波器匹配滤波器n性质和特点性质和特点-2： 应该选在信号应该选在信号 结束结束之后。之后。n由由(3.5.15)式可以看出，如果要求系统是式可以看出，如果要求系统是物理可实现的，那么物理可实现的，那么 必须选择在信号必须选择在信号结束之后才能满足结束之后才能满足 。n对于物理可实现系统，因为只有对于物理可实现系统，因为只有 选在选在信号结束之后，才能把信号的能量全部利信号结束之后，才能把信号的能量全部利用上，信噪比才能到达最大。用上，信噪比才能到达最大。730t0t(

36、 )s t( )0,0h tt0t3.5.2 匹配滤波器匹配滤波器n性质和特点性质和特点-3：匹配滤波器对信号幅度和匹配滤波器对信号幅度和时延具有适应时延具有适应性性n如果发射信号为如果发射信号为 ，那么接收信号那么接收信号为为 ， 的的频谱为频谱为 n对对 的匹配滤波器的传递函数的匹配滤波器的传递函数 为为 74( )s t1( )()s tas t1( )s t1( )( )jwSaSe1( )S t1( )H1101010()*11()()*( )( )( )( )( )j tjtj tjttjttHcSecaSecaSeeaHe 3.6.1 正态随机过程通过线性系统正态随机过程通过线性

37、系统n当当X(t)是正态随机过程时，是正态随机过程时，XN是是N维正态随机矢量，其维正态随机矢量，其通过线性系统后仍然服从正态分布。通过线性系统后仍然服从正态分布。n随机过程的正态化随机过程的正态化指的是非正态随机过程通过线性系统指的是非正态随机过程通过线性系统后，变换为正态过程。后，变换为正态过程。n就随机变量而言，根据中心极限定理，大量独立同分布就随机变量而言，根据中心极限定理，大量独立同分布的随机变量之和，其分布是趋于正态的的随机变量之和，其分布是趋于正态的。n可以证明，白噪声通过有限带宽的线性系统，输出服从可以证明，白噪声通过有限带宽的线性系统，输出服从正态分布。宽带噪声通过窄带系统，

38、输出也近似服从正正态分布。宽带噪声通过窄带系统，输出也近似服从正态分布。态分布。第三第三章小结章小结n线性变换概述线性变换概述n随机过程线性变换的冲激响应法和频随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法谱法n限带过程、白噪声通过线性系统限带过程、白噪声通过线性系统n最正确线性滤波器、匹配滤波器最正确线性滤波器、匹配滤波器n随机过程线性变换后的概率分布随机过程线性变换后的概率分布76 2021-10-11773.3 一个平稳随机过程输入到低通滤波器如图，X(t)的自相关函数为 ，求输出的自相关函数)()(),(2121ttttRXX(t)Y(t)RC( )Hj 1RC 1)(XG2222| )(| )

39、()(HGGXY|2)(eRX 2021-10-11783.7 线性时不变系统传递函数为线性时不变系统传递函数为 ，输入平稳随机过，输入平稳随机过程程X(t)的自相关函数为的自相关函数为 ，求输入输出之，求输入输出之间的互相关函数间的互相关函数jjH)()0()(|veRvX解：解：jjjH-1)()()()()(tuetthtdueueduuhuRRhRuuvXXXY)()()()()()()(0|0vvXYeveR)(0eveevedueuedueueRvvuuvuuvXY)()()()()()()(0)( 2021-10-11793.30 线性滤波器输入为线性滤波器输入为X(t)=s(t

40、)+n(t)，其中信号为指数形式脉冲，其中信号为指数形式脉冲， ，n(t)为平稳白噪声，且与为平稳白噪声，且与s(t)统计独立。求匹配滤波器传输函数统计独立。求匹配滤波器传输函数)( 0)( )()(TtTtAetsTt0jwTejAS)(00)()(jwtjwTtjeejcAecSHTttTttcAettcsthTtt00)(0 0 )()(0)-0)(TtjwejcAH（频域频域时域时域Tt 0 2021-10-11803.31 单个射频脉冲信号的匹配滤波：信号单个射频脉冲信号的匹配滤波：信号s(t)是矩形包络射频脉冲，是矩形包络射频脉冲，脉冲宽度为脉冲宽度为 ，角频率为，角频率为 ，表示

41、式为，表示式为其中其中求匹配滤波器传递函数，输出信号波形，输出信噪比求匹配滤波器传递函数，输出信号波形，输出信噪比0ttarectts0cos)()(elsettrect001)(解：解：11112cos)(0)(00)(00000jjtjeejadtteaS11211112)()(000)(00)(000jjjjjjeejcaeeejaecSH022000220022cos22/NaaNtdtaNNEdm)()()()()(00ttcststhtsts第四章第四章 随机过程的非线性变换随机过程的非线性变换n直接分析法直接分析法2021-10-11811. 概率密度概率密度),(|),(txf

42、JtyfXY( )yg x1122( , ) |( , ) |(, )YXXfy tJfx tJfx t11/Jdxdy22/Jdxdy单调单调 ( )yg x不单调不单调 其中：其中： Y=g(x)X(t)Y(t)非线性变换的直接分析法非线性变换的直接分析法2. 均值和自相关函数均值和自相关函数( ) ( )( )( , )XE Y tE g X tg x fx t dx121212121212( ) ( ) ( ) ( )( ) ()( , , )XE Y t Y tE g X tg X tg x g xfx x t t dx dx X(t)的一维概率密度的一维概率密度 X(t)的二维概率

43、密度的二维概率密度 假设输入假设输入)(tX二阶严平稳二阶严平稳)(xfX),(21xxfX那么输出广义平稳的。那么输出广义平稳的。Y=g(x)X(t)Y(t)非线性变换的直接分析法非线性变换的直接分析法 84)()()(yFytXPytYPX2021-10-1185第第5章章 窄带随机过程窄带随机过程 Narrow-band Random Processn希尔伯特变换希尔伯特变换n信号的复信号表示信号的复信号表示n窄带随机过程的统计特性窄带随机过程的统计特性n窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布2021-10-1186希尔伯特变换希尔伯特变换 (Hilbert T

44、ransform)正变换定义：正变换定义：1( ) ( )( )xH x tx tdt1( )( )x tx tt反变换：反变换：11( ) ( )( )xHx tx tdt 11 ( )( )Hx tx tt 1.定义定义( )x t( )x t1t ( )x t( )x t1t 2021-10-1187希尔伯特变换器实际上是一个希尔伯特变换器实际上是一个9090的相移器的相移器理想宽带相移网络理想宽带相移网络频率特性为：频率特性为：0()sgn()0jHjj 幅频特性为：幅频特性为：()1H这是一个全这是一个全通滤波器通滤波器相频特性相频特性/20( )/20 0( )cos2,x tf

45、t 例例. . 0 ( )cos 22x tf t 0sin2f t 2021-10-11882021-10-1188 Hilbert变换的根本性质变换的根本性质 ( )( )H H x tx t 22( )( )xt dtxt dt ( )( )0 x t x t dt n性质性质n重变换：重变换：n等能量等能量：n正交性：正交性：n奇偶性奇偶性：( ) ( ) x tx t偶偶 函函 数数奇奇 函函 数数( ) ( ) x tx t奇奇 函函 数数偶偶 函函 数数( )( )XXXRR ( )( )XXXRR )()(XXXXRR相关函数不变，功相关函数不变，功率谱不变，平均功率谱不变，平

46、均功率不变率不变2021-10-11892021-10-1189 Hilbert变换变换n常用变换常用变换 ( )xtx t00cos 2sin 2f tf t 00sin 2cos 2f tf t 00cos 2sin 2mtf tmtf t 00sin 2cos 2mtf tmtf t 0-,.mtWWWf 注注 ：为为 低低 通通 信信 号号 ， 频频 率率 范范 围围 为为且且2021-10-1190 解析信号解析信号(1)n实信号实信号 x(t) 的解析信号定义为的解析信号定义为( )( )( )x tx tj x t 2)( )( ), ( )( )x tX fx tX f 若若，

47、则则有有2(), 0()0, 0X ffX ff 11)( )Re( )( )*( )2x tx tx txt 20( )2jftx tXf edf 2 ( ) ( )X f u f )(X)(Xn例例1 判断判断 是否是解析信号是否是解析信号 n从时域验证从时域验证n其虚部为实部的希尔伯特变换，所以是解析信其虚部为实部的希尔伯特变换，所以是解析信号号n从频域验证从频域验证n 的傅里叶变换是其实部傅里叶变换正的傅里叶变换是其实部傅里叶变换正频率局部的两倍，所以是解析信号频率局部的两倍，所以是解析信号2021-10-1191 解析信号解析信号(2)tfje02)2sin()2cos(0020tf

48、jtfetfj)()()(212cos020000ffefffftftfjtfje02假设复信号的傅里叶变换在假设复信号的傅里叶变换在f ，f (At) 近似高斯分近似高斯分布布dxxI200cosexp21)(）（0 )()2exp()|(202222tttttAAaAIaAAAf2021-10-111115.4.2 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程-相位的概率密度相位的概率密度)(cos)21exp()cos()cos(21)21exp(21 )|,()|(2220ttttttAtdAAff21( )exp22xzxdz /an =0，均匀分布均匀分布 （窄带正态噪声）（窄带正态噪声）n 1)(sin21exp)cos(2)|(22tttf大信噪比情况下，信号加噪声的相大信噪比情况下，信号加噪声的相位主要集中在信号相位附近位主要集中在信号相位附近2021-10-111125.4.3. 窄带随机过程包络平方的分布窄带随机过程包络平方的分布窄带噪声包络平方的分布