(完整版)第三讲勾股定理及其应用培优辅导含答案

1、第5页共14页图3第三讲勾股定理及其应用培优辅导一、知识点Jr点击一：勾股定理 勾股定理：.如图2,在Rt ABC中，C 900, /A、/ B、/ C的对边分别为a、b、c, 贝 U c2=, a2=, b2=.勾股数：、 特殊勾股数：连续的勾股数只有3,4, 5连续的偶数勾股数只有6, 8, 10 勾股定理的逆定理：. 点击二：学会用拼图法验证勾股定理如，利用四个如图1所示的直角三角形，拼出如图2所示的三个图形并证明.点击三：在数轴上表示无理数例在数轴上作出表示J10的点.点击四：直角三角形边与面积的关系及应用例 已知一直角三角形的斜边长是 2,周长是2+76,求这个三角形的面积.点击五：

2、勾股定理的应用(1)已知直角三角形的两条边，求第三边；(2)已知直角三角形的一边，求另两条边的关系;(3)用于推导线段平方关系的问题等.二、【精典题型】考点一、已知两边求第三边1 .在直角三角形中，若两直角边的长分别为6, 8,则斜边长为 ,斜边的高为2 .已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是 .3 .已知，如图在 AABC中，AB=BC=CA=2cmAD是边BC上的高.则 AD的长;A ABC的面积.考点二、利用列方程求线段的长如图，某学校（A点）与公路（直线 L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为 500米，现要在公路上建一个小商店（ C点），使之与该校A及车站D的距

3、离相等，求商店与 车站之间的距离.考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1 .分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1） 3、4、5 （2） 5、12、13 （3） 8、15、17 （4） 4、5、6,其中能够成直角三角形的有 .2 .若三角形的三边是 a2+b2,2ab,a 2-b2（ab0）,则这个三角形是 3、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A B两个基地前去拦截，每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行六分钟后同时到达 C地将其拦截。已知甲巡逻艇50海里，航向为北偏西 400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的?1 一4、如图，正万形

4、ABCD, F为DC的中点，E为BC上一点，且CE BC.你能说明/ AFE4是直角吗？三、L思想方法】 本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；（一）用勾股定理求两点之间的距离问题例1 （噪音问题）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN= 30, 点A处有一所中学，AP = 160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪 音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影 响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？例2 （用勾股定理求 最短路径问题）【例】如图，一圆柱体的底面周长

5、为2 0 c m,高AB为4 c m, B C是上底面的直径.一 只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程为.1、有一个长宽高分别为2crri, 2cm, 8cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点 A爬到 点B处，则它爬行的最短路程为 cm.2、如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径” ，在 花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 步路（假设2步为1m）,却踩伤了花草。（二）方程的思想方法如图将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处,BF交AD于点E,AD=8 ,AB=4,求 BDE的面积是多少?BC（三）分类讨论思想方法例：若 VABC 中，A

6、B 13cm, AC 15cm ,高 AD=12，则 BC的长为（A: 14 B : 4 C : 14或4 D :以上都不对变式：1、在RtzXABC中，有两边白长分别为3和4,则第三边的长（）A 5 Br G 5或耳 D 5或、不2、如果 A B C勺三边 a、b、c 满足（a-b）（a 2+b2- c 2）=0,那么 A B r 定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形培优亭力训I练.【例1】（达州）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有 的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3, 5, 2, 3,则 最大正方形

7、E的面积是（）A. 13B. 26C. 47D. 94【变式题组】01.（安徽）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B,点A, C到直线l的距离分别 是1和2,则正方形的边长是.02.（浙江省温州）在直线l上的依次摆放着七个正方形（如图所示），己知斜放置 的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是Si,52, S3, S4,则 S + S2+ S3 + S4=.03.（浙江省丽江）如图，已知 ABC中，/ABC = 90 , AB=BC,三角形的顶 点在相互平行的三条直线1i、l2、l3上，且1i、l2之间的距离为2, l2、l3之间 的距离为3,则AC的长是（）A. 2

8、 而B. 2岳C. 472D. 7A、B是直线l同旁的两个定【例2】（福建省漳州）几何模型：条件：如下左图， 点.问题：在直线l上确定一点P,使PA+ PB的值最小.方法：作点A关于直线l的对称点A,连接AB交l于点P,则PA+PB = AB 的值最小（不必证明）.模型应用：如图1,正方形ABCD的边长为2, E为AB的中点，P是AC 上一动点.连接BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交 AC于P,则PB+ PE的最小值是;（2）如图 2, /AOB = 45 , P 是/AOB 内一点，PO=10, Q、R 分别是OA、OB上的动点，求 PQR周长的最小值.图1P2【变

9、式题组】1、（四川联赛试题）已知矩形ABCD的AB=12, AD = 3, E、F分别是AB, DC上的点，则折线AFEC长的最小值为.2、（陕西）如图，在锐角 ABC中，AB=4n, /BAC=45 , / BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则 BM+MN的最小值是第17页共14页培优升级检测1、如图，在 RtA ABC 中，AB=AC, D、E 在斜边 BC 上且/DAE = 45 , ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，得到 AFB,连接EF,则下列结 论:AEDAEF;ABEzXACD;BE+DC = DE;BE2+DC2=DE2其中正确的是（）A.B

10、.C. D.2、（北京竞赛）如图，ABCD是一张长方形纸片，将 AD, BC折起、使A、B两 点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH.若PE = 8cm,PG = 6cm, EG = 10cm,则长方形纸片ABCD的面积为（）cm2A. 105.6B. 110.4C. 115.2 D. 124.8A. 19073B, 192 73C. 19473D, 196734、如图所示，在 ABC 中，/BAC=120 , AB = AC= 10向 cm, 一动点 P 从 B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动秒时，PA与腰垂直.第业国3、（四川省初二数学联赛试题）如图，等边三角形ABC内有一

11、点P,过点P向三边作垂线, R,且 PQ = 6, PR=S, PS= 10,则 ABC 的面积等于（S、Q、5、如图，在 ABC 中，D 是 BC 边上一点，AB=AD = 2, AC=4,且 BD:DC = 2:3 WJ BC=.6、（四川联赛试题）已知矩形ABCD的AB=12, AD = 3, E、F分别是AB, DC 上的点，则折线AFEC长的最小值为.7、（陕西）如图，在锐角 ABC中，AB=475, /BAC=45 , / BAC的平分线 交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则 BM+MN的最小值是8、如图， ABC是等腰直角三角形，AB = AC, D是BC的中点，E

12、、F分别是 AB, AC 上的点，且 DELDF,若 BE=12, CF = 5.求（1）求证：EF2=BE2+CF2 求 DEF的面积 .第三讲勾股定理及其应用培优辅导答案一、知识点Jr点击一：勾股定理勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方如图2,在Rt ABC中，C 900, /A、/ B、/ C的对边分别为a、b、c, 贝 c2=a2 +b2 , a 2=c2 -b 2 , b 2= c2 -a 2.勾股数：3, 4, 5_、5, 12, 13、7, 24, 25 、9, 40, 41 、_11, 60, 61_、8, 15, 17 特殊勾股数：连续的勾股数只有3,4, 5

13、连续的偶数勾股数只有6, 8, 10 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.拼出如图2所示的三个图形并证明.如，利用四个如图1所示的直角三角形,图3点击二：学会用拼图法验证勾股定理图2：大正方形的面积可表示为：ab b - a 2 a2 b24还可表示为 ：c2 _所以 c 2=a2 +b：点击三：在数轴上表示无理数 例在数轴上作出表示J10的点.点击四：直角三角形边与面积的关系及应用例 已知一直角三角形的斜边长是 2,周长是2+V6,求这个三角形的面积.解：设直角三角形的两直角边分别为所以这个三角形的面积为0.5.2,2a和b,可得a

14、 b22、6解之ab 1点击五：勾股定理的应用(1)已知直角三角形的两条边，求第三边；(2)已知直角三角形的一边，求另两条边的关系;(3)用于推导线段平方关系的问题等.、【精典题型】考点一、已知两边求第三边1 .在直角三角形中，若两直角边的长分别为 6,8,则斜边长为_10,斜边的高为_4.8_.2 .已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是。13或J5.3 .已知，如图在 AABC中，AB=BC=CA=2cmAD是边BC上的高.则 AD的长_d3；A ABC的面积 ，后 考点二、利用列方程求线段的长 如图，某学校(A点)与公路(直线 L)的距离为300米，又与公路车站(D点)的距离为5

15、00米，现要在公路上建一个小商店(C点)，使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与 车站之间的距离.解：作AB l于B点，则AB=300米.连接 AC. AB=300, AD=50O,BD=40O.CD=CA设 CD=x,则 AC=x, BC=400-x.在 Rt ABC 中3002+ (400-x) 2=x2.解得 x=312.5 .即 商店C与车站D之间的距离 CD=312.5米.考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1 .分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)3、4、5 (2)5、12、13 (3)8、15、17(4)4、5、6,其中能够成直角三角形的有 _ (1) (2) (3)

16、.2 .若三角形的三边是 a2+b2,2ab,a 2-b2(ab0),则这个三角形是直角三角形.3、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A B两个基地前去拦截， 六分钟后同时到达 C地将其拦截。已知甲巡逻艇 每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行 50海里，航向为北偏西 400.那么甲巡逻艇的航 向是怎样的？66解： AC=120X 60 =12 海里,BC=50X 60 =5 海里 .AC22+BC2=AB2 .ABC是直角三角形 / CBA=50/ CAB=40，甲的航向为北偏东 50 .1 -4、如图，正万形ABCD, F为DC的

17、中点，E为BC上一点，且CE - BC4是直角吗？P.EC解：设四边形 ABC虚正方形，CE=x,则 CF=DF=2x BE=3x, AB=AD=4x. AE2=AB2+BE2= (4x) 2+ (3x) 2=25x2AF2=AD2+DF2= （4x） 2+ （2x） 2=20x2EF2=CE2+CF2=x2+ （2x） 2=5x2所以 AE2=AF2+EF2, / AFE是直角三、L思想方法】 本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；（一）用勾股定理求两点之间的距离问题例1 （噪音问题）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN= 30, 点A处有一所中学

18、，AP = 160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪 音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影 响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？解：（1）学校受到噪音影响.理由如下：作AB, MNT B,如图，. PA=160m / QPN=30 ,.AB=80,而 80m 100m,拖拉机在公路 MN?白PN方向行驶时，学校受到噪音影响，/以点A为圆心，100m为半径作。A交MN于B、C,如图，: AFU BD,/ .CB=BD/在 RtABC中,AC=100m AD=80m标节CB=60m CD=2BC=1

19、20m心 拖拉机的速度 5m/s, ，拖拉机在线段 BC上行驶所需要的时间=12=120+ 5=24 （秒），学 ：校受影响的时间为24秒.一jq例2 （用勾股定理求最短路径问题）彳/【例】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm高AB为4cm, BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程 而6 2咫cm .1、有一个长宽高分别为2cm, 2cm, 8cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点 A爬到 点B处，则它爬行的最短路程为 、；8。475 cm.2、如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园 内走出了一条“路”。他们仅仅少走了

20、4 步路（假设2步为1m）,却踩 伤了花草。（二）方程的思想方法如图将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处,BF交AD于点E,AD=8 ,CAB=4,求 BDE的面积是多少？解：因为折叠 . FD=DC,/ F=Z 0=90又四边形ABC比矩形，AB=DC,/ A=Z 0=90 .AB=FD,/A=/ F (等量代换)又AEB=/ FED (对顶角相等) . AEB FED ( AAS . AE=ED (全等三角形对应边相等)设 AE=X，则 BE=ED=8-X 在 RTA ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即：42+X2= (8-X) 2解得：X=3 .AE=3,ED=

21、8-3=5 SA BED=(EDX AB) +2= (5X 4) +2=10（三）分类讨论思想方法例：若 VABC 中，AB 13cm, AC 15cm ,高 AD=12，则 BC的长为（ C ）A: 14 B : 4 C : 14或4 D :以上都不对变式：1、在RtzXABC中，有两边白长分别为3和4,则第三边的长（2 ）A 5 R V7G 5 或 V7D 5 或布2、如果 ABC勺三边 a、b、c 满足（a - b）（a 2+b2- c2）=0 ,那么 ABr 定是（D ）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形培优学力训练【例1】（达州）如图是一株美丽的

22、勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有 的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3, 5, 2, 3,则 最大正方形E的面积是LC）A. 13B. 26C. 47D. 94【变式题组】点A, C到直线l的距离分别01.（安徽）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B, 是1和2,则正方形的边长是 代 .第1题图02.（浙江省温州）在直线l上的依次摆放着七个正方形（如图所示），己知斜放置 的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是Si,52, S3, S4,则 S + S2+ S3 + S4=403.（浙江省丽江）如图，已知 ABC中，/ABC = 90

23、, AB=BC,三角形的顶 点在相互平行的三条直线11、12、13上，且11、12之间的距离为2, 12、13之间 的距离为3,则AC的长是（A ）A. 2折B. 2底C. 4品D. 7【例2】（福建省漳州）几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定 点.问题：在直线l上确定一点P,使FA+ PB的值最小.方法：作点A关于直线l的对称点A,连接AB交l于点P,则FA+PB = AB 的值最小（不必证明）.模型应用：如图1,正方形ABCD的边长为2, E为AB的中点，P是AC 上一动点.连接BD,由正方形对称性可矢卜 B与D关于直线AC对称.连接ED交 AC于P,则PB+ PE的最小值

24、是 “5 ;（3）如图 2, /AOB = 45 , P 是/AOB 内一点，PO=10, Q、R 分别是OA、OB上的动点，求 PQR周长的最小值.D图2图1A答案：200 10,2【变式题组】1、（四川联赛试题）已知矩形ABCD的AB=12, AD = 3, E、F分别是AB, DC上的点，则折线AFEC长的最小佰为_15_.2、（陕西）如图，在锐角 ABC中，AB=45, /BAC=45 , / BAC的平分线交BC点DM、N分别是AD和AB上的动点，则 BM+MN的最小值是 8 2-2培优升级检测1、如图，在 RtA ABC 中，AB=AC, D、E 在斜边 BC 上且/DAE = 4

25、5 , ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，得到 AFB,连接EF,则下列结 论:AEDAEF;ABEzXACD;BE+DC = DE;BE2+DC2=DE2 其中正确的是（B ）B.B.C. D.2、（北京竞赛）如图，ABCD是一张长方形纸片，将 AD, BC折起、使A、B两 点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH.若PE = 8cm,PG = 6cm, EG=10cm,则长方形纸片 ABCD的面积为（ ） cm2A. 105.6B, 110.4C. 115.2 D. 124.83、（四川省初二数学联赛试题）如图，等边三角形ABC内有一点P,过点P向三 边作垂线，垂足分别为 S、Q、R,且PQ = 6, PR=S, PS= 10,则4ABC的面 积等于（B ）_A. 190点B. 192百C. 194 禽 D. 196734、（初二数学联赛）如图所示，在 ABC中，/BAC=