线性代数PPT课件第五章特征值与特征向量

1、 本节研究被一矩阵相乘后变为自身倍数的本节研究被一矩阵相乘后变为自身倍数的非非零零向向量量, ,以及该以及该倍数倍数. . 如取如取 .12224 ,12,0123avva则定义定义1 （特征值与特征向量特征值与特征向量）设）设 是是 n 阶方阵，阶方阵，若存在数若存在数 和和非零非零向量向量 ，使得，使得 则则 称为称为 的的 特征值特征值 ， 称为称为 的属于的属于(或对或对应于应于) 的的特征向量特征向量. xaxaxaxa (1) (1) 可写成可写成 0)(xea)3( 0.|212222111211nnnnnnaaaaaaaaaea注意注意: 特征值与特征向量是针对方阵定义的特征值

2、与特征向量是针对方阵定义的. 另另外零向量总满足外零向量总满足(1)式，但不是特征向量式，但不是特征向量.设设 对于固定的对于固定的 , (2) 是关于是关于 的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是 nnijaa)(x (2) (2) 特征值可能是特征值可能是复数复数. (3) 是关于是关于 的一元的一元 n 次次 方程方程, 称为方阵称为方阵a的的特征方程特征方程，而它左端的，而它左端的n 次多项式次多项式|ea称为称为a的的特征多项式特征多项式. 表明表明a的特征值的特征值是特征方程是特征方程(3)的根的根. n 阶方阵阶方阵a 恰有恰有n 个特征

3、值个特征值.但需注意但需注意两点两点：(1) n 个特征值中有可能有相同的，称为个特征值中有可能有相同的，称为重特征重特征值值，即是特征方程的重根，即是特征方程的重根. 如单位矩阵如单位矩阵. 如如. 10110|01102eaaa的特征值为的特征值为. i 根据多项式理论，实矩阵的复特征值是成对出现的根据多项式理论，实矩阵的复特征值是成对出现的.niniiiiaii11)(ainii1)( . 性质性质 1 设设n,21 是是nnijaa)(的的n 个特征值，个特征值，则则 证明证明由条件知由条件知 )()(|21 nea niinniinnn1111)() 1() 1( 令令 , 即得即得

4、 (i).0另一方面，由行列式定义，另一方面，由行列式定义，ea 中含有中含有1,nn的项只出现在：的项只出现在：11122111)() 1() 1()()(nniiinnnnnaaaad中，故中，故 (ii) 成立成立.推论推论方阵方阵a可逆当且仅当它的特征值全不为可逆当且仅当它的特征值全不为0. 性质性质 2 属于属于 的特征向量的的特征向量的非零非零线性组合仍为线性组合仍为属于属于 的特征向量的特征向量. 性质性质 3 设设 为为 的属于的属于 的特征向量的特征向量,xa性质性质4 4 设设m,21分别是分别是a 的属于互不的属于互不m,21的特征向量，则的特征向量，则m,21线性无关线

5、性无关. .相同的特征值相同的特征值证明证明 归纳法归纳法. .当当1m ，结论成立，结论成立. .时时,设设km 时时结论成立，当结论成立，当1 km设设(1) 0112211kkkkaaaa ),( )( ,)(1010特征向量特征向量. .仍为其仍为其的特征值为的特征值为则则 xfaaaaeaafxaxaaxfssss 则则 0)(112211kkkkaaaaa，即，即 0111222111kkkkkkaaaa （2 2）将（将（1 1）式乘以）式乘以1k，再减去（，再减去（2 2）式得）式得0)()()(122121111kkkkkkaaa因为因为k,210)(1ikia线性无关，故线

6、性无关，故 ,1ik0ia故)., 2 , 1(ki而而 代入（代入（1）式，得）式，得. 011kka 因为因为, 01k所以所以01ka，故，故121,k线性无关线性无关. 例例求求a211121112的的特征值和特征向量特征值和特征向量.解解 ea=2111211122) 1)(4( 对于对于, 41解解0)4(xea得基础解系得基础解系 ,1111属于属于41的特征向量全体为的特征向量全体为1.(0)kk由由 得特征值得特征值, 0| ea. 1, 4321 ， 。 对于对于, 132解解, 0)(xea得基础解系得基础解系 ,101,01132向量全体为向量全体为.3322kk（32

7、,kk不全为不全为0）属于属于132的特征的特征例例2 2求求201034011a的的特征值和特征向量特征值和特征向量.解解 ea=2010340112) 1)(2( 对于对于, 21解解0)2(xea得基础解系得基础解系 ,1001属于属于21的特征向量全体为的特征向量全体为).0( ,111kk由由 得特征值得特征值, 0| ea. 1, 2321 ， 。 对于对于, 132解解, 0)(xea得基础解系得基础解系 ,1212属于属于132的特征向量全体为的特征向量全体为,22k)0(2k 注意注意：对于重特征值，有可能有重数个线性无关对于重特征值，有可能有重数个线性无关 的特征的特征向量

8、向量，也有可能没有重数个线性无关，也有可能没有重数个线性无关 的特征的特征向量向量.例例 3 已知已知a为三阶方阵，且为三阶方阵，且ea， ea 2和和ea3均不可逆均不可逆. 1）证明：）证明：ae2可逆可逆.2）设）设,42eaab求求.detb证明证明1）由条件知）由条件知, 0ea, 02 ea03 ea故故1，2， 3 均为均为a的的特征值，所以特征值，所以21不是不是a的的特征值特征值. 因而因而 . 20212)21(223可逆aeeaeaae, 4)(2xxxf则则.2401064)3()2() 1 ()det(321fffb2). 设设b的三个特征值为的三个特征值为,321设

9、设 定义定义（相似矩阵相似矩阵）对于）对于 n 阶方阵阶方阵 若存在可逆阵若存在可逆阵 ，使，使 ，则称，则称 相似于相似于 ，记，记作作 .（ 称为相似变换矩阵）称为相似变换矩阵）, , bapbapp1ababp相似为一等价关系相似为一等价关系. 有如下重要性质有如下重要性质: 证明证明 若若ab，则，则bapp1因为因为 p 可逆，故可逆，故spppp21, 其中其中 spp,1为初等矩阵为初等矩阵,于是有于是有.2111121bppappppss 表明表明a与与b 等价等价, 故故).()(brankarank性质性质 1. 若若ab，则，则 ).()(brankarank性质性质 2

10、 若若ab，则，则 . |ba 证明证明 若若ab，则，则bapp1.故故|11papappb. |1aapp性质性质 3 若若ab，则，则 . 可逆可逆ba1a1b.性质性质4 4 若若ab，则，则a与与b的特征的特征多项式相同，从而多项式相同，从而a与与b的特征的特征值也相同值也相同. .故故. )(1111eapeappeapeppappeb推论推论 若若n阶阶方阵方阵a= =,21ndiag则则n,21为为a的所有的所有 特征特征值值. .证明证明由由ab, 则存在则存在 , 使使bapp1p若一矩阵与对角矩阵相似若一矩阵与对角矩阵相似, 称此矩阵称此矩阵可对角化可对角化.下面讨论下面

11、讨论矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件. 定理定理 5 n阶阶方阵方阵a相似于对角阵的充要条件是相似于对角阵的充要条件是a有有n个个线性无关的线性无关的特征向量特征向量.=,21ndiag；其中；其中n,21为为a的的n个个特征特征值值. 上式可写成上式可写成 p，使，使 app1证明必要性证明必要性.存在存在 pap. 记记p= ,21n则成立则成立 iiia，即即 i是是i的的特征向量。因为特征向量。因为p可逆，故可逆，故n,21线性无关线性无关. .,21n满足满足 ,iiia记记将必要性证明的推导过程倒推上去，即可得将必要性证明的推导过程倒推上去，即可得np,21,21ndiaga相

12、似于对角阵。相似于对角阵。 n阶方阵阶方阵a的的n个个特征特征值互异，则值互异，则a相似于对角阵。相似于对角阵。 推论推论5若若a有有n个个线性无关的线性无关的特征向量特征向量充分性充分性若若 注意注意 : 本推论的本推论的逆不成立逆不成立。例如上节例。例如上节例1中的中的a有有3个个线性无关的线性无关的特征向量，故特征向量，故a相似于对角阵。但相似于对角阵。但a的的3 3个个特征特征值不互异。值不互异。 例例6证明：若证明：若, ba则则kkba （）n阶阶方阵方阵a充要条件是：对于充要条件是：对于a的每个的每个 * 定理定理6 ik重重特征值特征值i都有都有ik个线性无关的个线性无关的特征

13、向量。即特征向量。即 .)(iiknearank相似于对角阵的相似于对角阵的（）).()(ba（)(是是的多项式）的多项式）证明证明由由ba ，成立，成立bapp1.故故,1papbkk 即即kkba （）设）设,)(0111aaaammmm有有)(beabababammmm0111peaaaaaaapmmmm)(01111.)(1pap（）即即).()(ba若若a相似于对角阵相似于对角阵= =n21，则，则app1，即，即1ppa. 于是于是ka=1 ppk. 类似可得类似可得.)()(1ppa并并易得易得,21knkkk ,)()()()(21n这样就可以比较简便地计算出这样就可以比较简便

14、地计算出ka和和)(a了了.第三节第三节. . 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化一一. . 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵ntntnrbbbaaa),(,),(2121则则与与的内积定义为：的内积定义为：),( = = niiiba1 = = t 向量的内积满足向量的内积满足如下如下性质性质:定义定义3（向量内积向量内积）设）设（对称性）（对称性）);,(),(；; 00),(; 0),(且（正定性正定性）)0 ,(. 0), 0();,(),(),(22112211kkkk),(21rkk （线性性线性性）= =),(= =niia12定义定义 4（向量向量长度长度）对于对于,

15、nr 的的长度长度（或（或模模）)定义为：定义为：（记作（记作；( (正定性正定性） 向量的向量的长度长度满足满足如下如下性质：性质：0；且；且00)( ;|rkkk （齐次性齐次性）213 3),(； （cauchy 不等式不等式） 4 4 ;( (三角三角不等式不等式）niiniiniiibaba12121即即 当当0, 0 时，时，. 1),(于是引入如下定义：于是引入如下定义：定义定义5（向量的向量的夹角夹角）对于）对于,nr当当0, 0时，时，定义定义,的夹角为：的夹角为：),(arccos).0( ,若若0),(，则称，则称与与正交，记为正交，记为，这时，这时.2性质：性质：1 1

16、）;,0nr2)2) 对于对于nr,若若，则，则222. .（勾股定理）（勾股定理）长度为长度为 1 的向量称为单位向量。非零向量的向量称为单位向量。非零向量0的单位化：的单位化：1几何意义：同方向上的几何意义：同方向上的单位向量。单位向量。正交向量组正交向量组：两两两两正交的一组正交的一组非零向量非零向量；标准正交向量组标准正交向量组：由单位向量组成的正交向量组：由单位向量组成的正交向量组. .定理定理 7 若若m,21是是正交向量组，则正交向量组，则m,21线性无关线性无关. 02211mmkkk用用i与两边作内积得：与两边作内积得：0)0 ,(),(2211immikkk), 2 , 1

17、(mi证明设证明设 由于由于m,21 两两正交，即得：两两正交，即得：. 0),(iiik而而0),(ii，于是，于是. 0ik故无关故无关.正交基正交基：由正交向量组构成的向量空间的基；：由正交向量组构成的向量空间的基；标准正交基标准正交基( (或或单位正交基单位正交基) )：由标准正交向量组构成：由标准正交向量组构成 的向量空间的基的向量空间的基. .定理定理 8 在在nr中，若中，若m,21 线性无关线性无关)2(m，则，则m,21与某个与某个正交向量组正交向量组m,21等价等价. .且且tt,11与等价等价)2(mt 证明证明 令令 11； 1122k （1k为待定系数），为待定系数）

18、， 要使要使,12. 0),(),(),(),(11121112121kk011（线性无关）线性无关），故，故, 0),(11从而取从而取.),(),(11211k又从上式可得又从上式可得,11.1122k2121,与等价等价. 则要求成立则要求成立表明表明一般已求得正交向量组一般已求得正交向量组11,t与与11,t等价等价. .)2(mt 令令,1111ttttkk 与上式两边作内积得：与上式两边作内积得： it),1, 1(ti 用用i由于由于).,(),(0iiitik于是可求得于是可求得,),(),(iitiik),1, 1(ti即即11111111),(),(),(),(tttttt

19、tt易见易见t,1是正交向量组，且由是正交向量组，且由11,t与与11,t等价及上式，可得等价及上式，可得t,1与与t,1等价等价. 定理定理10 的证明给出了将一个线性无关的的证明给出了将一个线性无关的向量组向量组m,21正交化的步骤：正交化的步骤：;11;),(),(111212211111111),(),(),(),(mmmmmmmm如果再将正交向量组如果再将正交向量组m,21单位化，即令单位化，即令,iii), 2 , 1(mi 则则m,1是是与与m,21等价的标准正交向量组等价的标准正交向量组. .m,21化为化为与与m,21等价的标准正交向量组等价的标准正交向量组m,1的过程称为的

20、过程称为施密特施密特 （schmidt）正交化方法正交化方法. .解解 易见易见例例 7 设设,1, 0, 1,0, 1, 1,1, 1, 1321ttt 将将321,化为化为3r的一个标准正交基。的一个标准正交基。) 3 , 2( , 0),(1ii，故，故)3 , 2( ,1ii以下将以下将32,正交化正交化.由上述过程把由上述过程把一个线性无关的一个线性无关的向量组向量组,222223233),(),(,12/12/1则则,23而且而且13令令（考虑为什么（考虑为什么?)?)再令再令,3/13/13/1111,02/12/1222,6/26/16/1333则则321,即为即为3r的一个标

21、准正交基的一个标准正交基. .例例8 设设,3, 1, 1, 2,1, 1, 1, 1,1, 1, 1, 1321ttt求求1与与2的夹角以及与的夹角以及与321,都都正交的正交的向量向量.解解 321arccos),(arccos2121设设与与321,都都正交，由正交条件可得方程组：正交，由正交条件可得方程组：0),(0),(0),(321解之得解之得 ,3, 1, 0, 4tk定义定义6（正交矩阵正交矩阵）设）设 a a 是方阵是方阵. .若若,eaat则称则称a为为 正交矩阵正交矩阵. . 其中其中k为任意实数为任意实数.a是是正交阵当且仅当正交阵当且仅当a的列向量组为的列向量组为nr

22、的单位正交基的单位正交基. . 等价定义等价定义：事实上，设事实上，设1000100012121ntntt j i当0 ji当1jtina21，则，则 定理定理11 若若ba,都是都是n阶阶正交阵，则正交阵，则1 1;1 aat2 2ta 也也是是正交阵；正交阵；; 1a4 4ab证明证明 1显然；又由显然；又由 eaaaaaatttt1得得ta也也是是正交阵；正交阵； 3也是正交阵也是正交阵.取行列式得取行列式得1eaaaatt12 a; 1 a ebbbaabababtttt得得ba也也是是正交阵正交阵. .nnaa是是正交阵正交阵ta的列向量组是标准正交的的列向量组是标准正交的a的行向量

23、组标准正交的行向量组标准正交. .由由 2 可得可得由以上讨论容易验证下面三个实方阵都是由以上讨论容易验证下面三个实方阵都是正交阵：正交阵：,cossinsincos62031612131612131.211230021121620211216121211216121证明证明 因为因为a是是正交阵，由正交阵，由3，, 1a又又0a ，故，故. 1a例例 9 设设nnaa是是正交阵，且正交阵，且0a , ,证明：证明：. 0 ea（即（即1是是a的特征值）的特征值）于是于是eaeaaeaaeaaaaeattt0ea四四. . 实对称阵的对角化实对称阵的对角化设设ntncaaa),(21，则其共轭向量为，则其共轭向量为 .),(21tnaaa 若实矩阵若实矩阵a 满足满足aat，则称，则称a为实对称阵为实对称阵.定理定理 4.1 实对称阵的特征值必为实对称阵的特征值必为实数实数.定理定理 4.2 实对称阵实对称阵a的属于不同特征值的的属于不同特征值的特征向量相互正交特征向量相互正交. 定理定理 4.3 对于任意对于任意实对称阵实对称阵 a，必存在正交矩阵，必存在正交矩阵q，使得，使得,211ntaqqaqq 若记若记,21nq则则., 2 , 1niaiiin,21