工程电磁场第三章

1、第三章第三章 恒定电场的基本原理恒定电场的基本原理 定义电流和电流密度定义电流和电流密度电源的电动势和局外电场强度电源的电动势和局外电场强度恒定电场的电流连续性恒定电场的电流连续性恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程恒定电场的导电媒质分界面条件恒定电场的导电媒质分界面条件讨论边值问题讨论边值问题 重点掌握电流密度的定义和恒定电场的基本性质，学会重点掌握电流密度的定义和恒定电场的基本性质，学会将恒定电流场表述为边值问题。将恒定电流场表述为边值问题。3 .13 .1电流与电流密度电流与电流密度1.1.电流与电流密度电流与电流密度电荷有规则的运动形成电流；电荷有规则的运动形成电流；导电媒质中的电流称

2、为传导电流；导电媒质中的电流称为传导电流；不导电空间电荷运动形成的电流称为运流电流；不导电空间电荷运动形成的电流称为运流电流；不随时间变化的电流是恒定电流，维持恒定电流的电场称为恒定电场。不随时间变化的电流是恒定电流，维持恒定电流的电场称为恒定电场。密度为密度为的体电荷以速度的体电荷以速度v v运动形成体电流密度运动形成体电流密度j j穿过面积穿过面积s s的电流就是电流密度的电流就是电流密度j j在该面积上的通量在该面积上的通量如果体积的厚度可以忽略，则可以认为电荷在面上运动，形成面电流，有面电流密度如果体积的厚度可以忽略，则可以认为电荷在面上运动，形成面电流，有面电流密度如果面的宽度可以忽

3、略，则可以认为电流在线上运动，形成线电流。如果面的宽度可以忽略，则可以认为电流在线上运动，形成线电流。2.2.电流密度与电场强度的关系电流密度与电场强度的关系要维持恒定电流，导电媒质中必须有电场强度。要维持恒定电流，导电媒质中必须有电场强度。电场强度也是恒定电场的基本场矢量。电场强度也是恒定电场的基本场矢量。 称为导电媒质的电导率，单位是西称为导电媒质的电导率，单位是西/ /米，米，s/ms/m式中式中r r称为导电媒质的电阻率，单位是欧称为导电媒质的电阻率，单位是欧米，米，mm 电导率和电阻率互为倒数。上式称为欧姆定律的微分形式，是导电媒质中恒电导率和电阻率互为倒数。上式称为欧姆定律的微分形

4、式，是导电媒质中恒定电场的辅助方程。定电场的辅助方程。 提供局外力的装置就是电源。在电源中，其他形式的能量提供局外力的装置就是电源。在电源中，其他形式的能量( (如化学能、机械能如化学能、机械能和光能等和光能等) )转换为电能。在整个闭合回路中，电能又转换为别的形式的能量。转换为电能。在整个闭合回路中，电能又转换为别的形式的能量。3. 23. 2恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程1. 1. 局外场局外场 要维持导电媒质中的恒定电流。就必须有恒定的电场强度。要维持导电媒质中的恒定电流。就必须有恒定的电场强度。 在一个闭合回路中库仑电场的电场强度在一个闭合回路中库仑电场的电场强度e e闭合线积分

5、为零。要维持恒定电流，电闭合线积分为零。要维持恒定电流，电荷在沿闭合回路运动时，还必须受到局外力的作用。荷在沿闭合回路运动时，还必须受到局外力的作用。2.2.电动势电动势图图3-2-13-2-1所示为一个典型的导电回路。所示为一个典型的导电回路。为了衡量电源将其他能量转换为电能的能力，为了衡量电源将其他能量转换为电能的能力，我们把单位正电荷从电源负极运动到我们把单位正电荷从电源负极运动到正极，局外力所做的功定义为电源的电动势，正极，局外力所做的功定义为电源的电动势，用用e e表示，且表示，且在电源中，除局外电场外，也存在库仑电场，故总的电场强度为在电源中，除局外电场外，也存在库仑电场，故总的电

6、场强度为在电源以外的其他区域，只存在库仑电场，故总的电场强度在电源以外的其他区域，只存在库仑电场，故总的电场强度如果积分路径经过电源，则电场强度的闭合线积分等于电源的电动势如果积分路径经过电源，则电场强度的闭合线积分等于电源的电动势考虑电源以外的空间考虑电源以外的空间电源以外的恒定电场是无旋场电源以外的恒定电场是无旋场3.3.电流连续性电流连续性 根据电荷守恒原理，自然界中电荷量是守恒的。给定任意闭合面，设闭合面内根据电荷守恒原理，自然界中电荷量是守恒的。给定任意闭合面，设闭合面内的电荷量为的电荷量为q q，空间的电流密度为，空间的电流密度为j j，则，则这是电流连续性方程的积分形式。等式左边

7、是单位时间从闭合面流出的电荷量，等这是电流连续性方程的积分形式。等式左边是单位时间从闭合面流出的电荷量，等式右侧为单位时间闭合面内减少的电荷量。式右侧为单位时间闭合面内减少的电荷量。应用散度定理应用散度定理考虑电荷体密度为考虑电荷体密度为，有，有对于恒定电场，电荷的分布不随时间变化对于恒定电场，电荷的分布不随时间变化上式适合于电源和电源以外恒定电场的任何区域。电流连续即电流密度的散度为上式适合于电源和电源以外恒定电场的任何区域。电流连续即电流密度的散度为零，说明恒定电流场是无散场，场内任一点不产生电流密度线，也不终止电流密零，说明恒定电流场是无散场，场内任一点不产生电流密度线，也不终止电流密度

8、线，即电流密度线处处连续。度线，即电流密度线处处连续。4.4.恒定电场的基本方程及辅助方程恒定电场的基本方程及辅助方程在电源以外的导电媒质中，恒定电场的基本方程微分形式为在电源以外的导电媒质中，恒定电场的基本方程微分形式为积分形式为微分形式辅助方程辅助方程在电源内部成立电源以外空间恒定电场的电电源以外空间恒定电场的电位满足拉普拉斯方程位满足拉普拉斯方程电源以外空间电源以外空间( (包括导电媒质包括导电媒质) )的的恒定电场是由电荷产生的库仑场，恒定电场是由电荷产生的库仑场，空间电场也应满足高斯通量定理空间电场也应满足高斯通量定理5.5.不均匀导电媒质内部积累电荷不均匀导电媒质内部积累电荷在恒定

9、电场建立过程中，当导电媒质不均匀时，其内部积累自由电荷。在恒定电场建立过程中，当导电媒质不均匀时，其内部积累自由电荷。积累自由电荷的体密度与 的空间变化有关。3. 33. 3导电媒质分界面条件导电媒质分界面条件1.1.分界面条件分界面条件 在不同导电媒质的分界面上，存在自由面电荷，也可能存在束缚面电荷。这造在不同导电媒质的分界面上，存在自由面电荷，也可能存在束缚面电荷。这造成分界面两侧场矢量不连续。这种场矢量的不连续性虽然不会影响积分形式基本方成分界面两侧场矢量不连续。这种场矢量的不连续性虽然不会影响积分形式基本方程的应用，却使微分形式的基本方程在不同电介质分界面处遇到困难。程的应用，却使微分

10、形式的基本方程在不同电介质分界面处遇到困难。第一，讨论电场强度第一，讨论电场强度e e应满足的分界面条件。应满足的分界面条件。第二，讨论电流密度第二，讨论电流密度j j应满足的分界面条件。应满足的分界面条件。第三，讨论电位第三，讨论电位应满足的分界面条件应满足的分界面条件。2.2.导电媒质分界面积累自由面电荷导电媒质分界面积累自由面电荷在恒定电场建立过程中，导电媒质分界面上积累自由面电荷，当达到平衡状态时，根据在恒定电场建立过程中，导电媒质分界面上积累自由面电荷，当达到平衡状态时，根据媒质分界面上才没有自由面电荷媒质分界面上才没有自由面电荷一般情况下这一关系不满足，媒质分界面上存在自由面电荷。

11、一般情况下这一关系不满足，媒质分界面上存在自由面电荷。3.3.媒质分界面的两种特殊情况媒质分界面的两种特殊情况首先，讨论良导体和不良导体分界面的情况。首先，讨论良导体和不良导体分界面的情况。根据分界面条件，得根据分界面条件，得在分界面处，当电流从良导体在分界面处，当电流从良导体11进入不良导体进入不良导体2 2时，电流密度的法向分量不变，时，电流密度的法向分量不变，而切向分量改变为原来的而切向分量改变为原来的2/ 2/ 1 1倍。对于良导体与不良导体分界面，因倍。对于良导体与不良导体分界面，因1 1远大远大于于22， 2/ 12/ 1很小，所以一般情况下很小，所以一般情况下j j2t2t可以忽

12、略。因此可得如下结论可以忽略。因此可得如下结论: :（1 1）从良导体一侧看，进入的电流线近似与分界面垂直。）从良导体一侧看，进入的电流线近似与分界面垂直。（2 2）在不良导体中放入良导体电极，从不良导体一侧看，可以认为电流）在不良导体中放入良导体电极，从不良导体一侧看，可以认为电流线垂直进入或流出电极表面，电极表面可作为等位面处理。线垂直进入或流出电极表面，电极表面可作为等位面处理。其次，考虑导体与理想电介质其次，考虑导体与理想电介质( (绝缘体绝缘体) )分界面的情况。分界面的情况。对于理想电介质对于理想电介质结论结论1：导体中电流在靠近表面时，沿表面的切线方向流动，导体中靠近：导体中电流

13、在靠近表面时，沿表面的切线方向流动，导体中靠近表面的电场强度也只有切向分量。表面的电场强度也只有切向分量。由电场强度的分界面条件由电场强度的分界面条件电位移矢量的分界面条件电位移矢量的分界面条件导体与理想介质分界面结论结论2 导体与理想介质分界面上必有面电荷。导体与理想介质分界面上必有面电荷。0/11t2t1tjee结论结论3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面 若 （理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导体表面，导体不损耗能量。1yxeeeee2n2t2导体周围介质中的电场：载流导体表面的电场3. 43. 4恒定电流场的边

14、值问题恒定电流场的边值问题1 1 恒定电流场的基本方程恒定电流场的基本方程电源以外的恒定电场的电场强度满足环路定理，即电源以外的恒定电场的电场强度满足环路定理，即2.2.边界条件边界条件第一类边界条件第一类边界条件: :一般在已知电压的电极表面上有一般在已知电压的电极表面上有第二类边界条件第二类边界条件: :一般在已知电流分布的电极表面上有一般在已知电流分布的电极表面上有在导体与绝缘体分界面上有在导体与绝缘体分界面上有恒定电场（恒定电场（ee=0ee=0处处) )与静电场（与静电场（=0=0）的情况比较的情况比较0 dedsqsd d02)(0静电场0e0 dedsqsd d02)(0静电场)

15、(0静电场0e恒定电场（电源外）ejsisj d0 j0e02恒定电场（电源外）ejsisj d0 j0e02恒定电场jie恒定电场jie静电场edq静电场edq补充例补充例1 1 电荷电荷q q均匀分布在半径为均匀分布在半径为a a的球体内部，球连同电荷一起以某条直径为轴以的球体内部，球连同电荷一起以某条直径为轴以角速度角速度旋转。求电流密度并计算分布电流的总和。旋转。求电流密度并计算分布电流的总和。 解解 设球内任一点到球心距离为设球内任一点到球心距离为r r，转轴与矢径夹角为，转轴与矢径夹角为, ,则该点的线速度则该点的线速度球内体电荷分布球内体电荷分布该点的电流密度该点的电流密度补充例

16、补充例2 球形电容器的内外半径分别为球形电容器的内外半径分别为r 1 = 5cmr 1 = 5cm， r 2 = 10cmr 2 = 10cm，加有电压，加有电压u= u= 100v100v。电容器内有两层均匀介质，其分界面也是同心球面，半径。电容器内有两层均匀介质，其分界面也是同心球面，半径r0=8cmr0=8cm，电介质的，电介质的电导率分别为电导率分别为求求: :球面之间的电流密度、电场强度和电位。球面之间的电流密度、电场强度和电位。 方法(2):直接从恒定电场的边值问题先求出1和2 ，再求电场强度和电流密度。 恒定电场的边值问题球坐标系下拉普拉斯球坐标系下拉普拉斯方程方程通解边界条件 补充例3 一个由两层媒质构成的平行板电容器如图 所示。两层媒质的电容率和电导率分别为 ，和 ， ， 厚度分别为d1和d2，极板面积为s。当外加电压v0时，求通过电容器的漏电流和两媒质分界面上的自由电荷密度和极化电荷密度1122iiss1j2j11221d2d建模：设通过电容器的电流为i，略去边缘效应，则两媒质中的电流密度为两媒质中的电场分别为所以jsijj21211,jejesiddjdddedev21211