(完整版)高中数学平面向量知识点总结及常见题型

1、1平面向量一.向量的基本概念与基本运算1 向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：uuuuuuAB几何表示法AB,a；坐标表示法a xi yj (x, y).向uuu量的大小即向量的模(长度)，记作|AB|即向量的大小，记作丨a | ,向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.2零向量：长度为 0 的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行 零向量a=0|a| = 0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与 0 的区别)3单位向量：模

2、为 1 个单位长度的向量向量a0为单位向量Ia01=1.4平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a/b.由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量2 向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuuruuu rr uuu ULU uuiu设AB a, BC b，贝U a+b=AB BC=AC(1)0 a a 0 a；( 2)向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：(1) 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量

3、是始点与已知向量的始点 重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的 有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向 量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：5相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为小相等，方向相同(x1, y1)(x2, y2)Xi*X22uuuur uur uuuuuuuuuABBC CD L PQQRAR，但这时必须“首尾相连”.3 向量的

4、减法1相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： (i )( a)=a； (ii)a+(a)=(a)+a=0；(iii) 若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=02向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a b a ( b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法3作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4 实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：(I)a a;(n)当0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当0时

5、，a 0，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5 两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数，使得b= a6 平面向量的基本定理：如果e1, e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数!,2使：a1巴2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意：(1 )向量的加法与减法是互逆运算(2) 相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括共线 (重合)的情况3(4 )向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体

6、位置无关，只与其相对位置 有关4二. 平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量ir, j作为基底 由平面向rj量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a xi yj，由于a与数对(x,y)是一一 对应的，因此把(x,y)叫做向量首的坐标，记作a=(x,y)，其中 x 叫作a在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位 置有关2 平面向量的坐标运算：r若a b，贝V x1x2y1y203 向量的运算

7、向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量(内积) 及其各运算的坐标表示和性质运算 类型几何方法坐标方法运算性质向1 .平行四边形法则rr量2 三角形法则a b (x x2,y %)abba的加(a b) c a (b c)法uur uur uurAB BC AC向三角形法则r r量a b (x冷, 适)a b a ( b)的uuuuuu减ABBA2)2y yX2,X2,r r b by1y1X1,X1,y2y2y1y1卷X1X1y1y1X1X1 X2X2(3)若a=(x,y)，贝Ura=( x, y)rara若r r b by1y1X2,y2，则abXiyX2yi0r r a a若5)5)r

8、r b by1y1y2y2%X2X2捲r rb b r r a a贝2y yX2,X2,5法uur uurLuuOB OA AB6向a是一个向量,a ( x, y)(a)()a量满足：的0 时,a与a同()a乘aa向；法0 时,a与a异(a b)b向；a=0 时,a=0.ab ab向r r量a?b是一.个数a?b为禺yya?b b?a的(a?b)数a 0或b 0时,(a)?b a?( b)量积a?b=0(a b) ?ca?cb?ca 0且b 0时，2 2a |a|,|a| v2 2x ya?b |a|b|cos a,b| a ?b | |a|b|三. 平面向量的数量积i 两个向量的数量积：r

9、r已知两个非零向量a与b，它们的夹角为数量积（或内积） 规定0 a 0为射影3 数量积的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系：a a a2|a|25 乘法公式成立:叫做a与b的2向量的投影:rbrbr r b braraTaTaR,称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称2 2 r r b b2 2rara2 2r r b b2 2r ra arbr ra arbr r a a2 2r r b b r r b br r a a2 22 2rara2 2r r b b r r b br r a a2 22 2r r a a2 2r r b br r a a

10、s so oc c76 平面向量数量积的运算律:81交换律成立：arrr2对实数的结合律成立：a b a b a b R3分配律成立：a b c acbc cabrr特别注意：(i)结合律不成立：a b c a b c；rr(2) 消去律不成立a b a c不能得到b crr r r(3)a b=o 不能得到a=o或b=o7 两个向量的数量积的坐标运算：rr已知两个向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则ab=X|X2yyrr muruuiu r8 向量的夹角：已知两个非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则/ AOB=rr(001800)叫做向量a与b的夹角a ?b _x1x2y1y2

11、a|?b Jx, y12rrr当且仅当两个非零向量a与b同方向时，0=00,当且仅当a与b反方向时& =180,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题rrr9 垂直:如果a与b的夹角为 900则称a与b垂直，记作a丄b10 两个非零向量垂直的充要条件a丄b ab= OX1X2y20.平面向量数量积的性质题型 1.基本概念判断正误：(1 )共线向量就是在同一条直线上的向量.(2)若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点(3 )与已知向量共线的单位向量是唯一的uuu uuu(4) 四边形 ABCD 是平行四边形的条件是AB CD.(5)若ABCD，则 A、B、C D 四点构成平行四边形(

12、6 )因为向量就是有向线段，所以数轴是向量(7) 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.rara r r b br r b bcos =cos a, b9r r r r(8) 若ma mb，则a b.10(9)若ma na,贝U m n.(10)若a与b不共线，则a与b都不是零向量(11 )若a b |a| |b|，则a/b.(12)若|a b | | a b |，则a b.题型 2.向量的加减运算uuu uuruur uuu uuu2.化简(AB MB) (BO BC) OMuuu uuuuuu3.已知|OA I 5,|OB| 3,则| AB |的最大值和最小值分别为uuur uuu uu

13、uruuur r uuuruuu4.已知AC为AB与AD的和向量，且ACa, BDb，则ABuuur 3 uuuujuruuuuuuuuu5.已知点 C 在线段 AB 上,且AC AB,则ACBC,ABBC.5题型 3.向量的数乘运算r r r rr rrr rr1. 计算：(1)3(a b) 2(a b)(2)2(2a 5b 3C) 3( 2a 3b 2C)rrr 1 r2. 已知a (1, 4),b( 3,8)，则3a b2题型 4.作图法球向量的和r rr 1 r r 3 r已知向量a,b，如下图，请做出向量3ab和2a b.2 2题型 5.根据图形由已知向量求未知向量uuu uuuuu

14、ir1.已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB,AC表示AD题型 6.向量的坐标运算uuu1. 已知AB (4,5),A(2,3)，则点B的坐标是uuu2. 已知PQ ( 3, 5),P(3,7)，则点Q的坐标是1.设a表示向东走 8kmb表示向北走 6km,则| a b |uuur_ , AD _.2.在平行四边形ABCD中，已知ACuur,BDruuu murb，求AB和AD.113. 若物体受三个力 (1,2),F2( 2,3),F3( 1, 4),则合力的坐标为 12rr rr4.已知a ( 3,4),b (5,2)，求a b,a b,3a 2b.uuuuuuuuu6.已知AB

15、(2,3),BC (m, n),CDuur uuu r uuuA(2, 1),B( 4,8)，且AB 3BC 0，求OC的坐标.题型 7.判断两个向量能否作为一组基底ur rn1. 已知,e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：iriuuriuuruuixir ur iu ur ir tuuiurA. e佥和e e?B.3e 2e?和4q 6ec.e3色和佥3eD.e2和e? e2. 已知a (3,4)，能与a构成基底的是()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,4D.(i,-)5 55 5553题型 8.结合三角函数求向量坐标uuuuuu1. 已知O是坐标原点，点A在第二

16、象限，|OA| 2，xOA 150o，求OA的坐标.uuu _uur2. 已知O是原点，点A在第一象限，|OA| 4-、3，xOA 60o，求OA的坐标.题型 9.求数量积rrrr1. 已知aI 3,ib 14，且a与b的夹角为60o，求(1)a b，(2)a (a，r 1 r rr r r r(3)(a -b) b，(4)(2a b) (a 3b).2rrrr2. 已知a (2,6),b (8,10)，求(1)靑|小|，(2)a b，(3)a(2a b)，rr(4)(2si b) (a 3b).5.已知A(1,2), B(3,2),向量a (xuuu2,x 3y 2)与AB相等，求x, y的

17、值.uuu(1,4)，则DA7.已知O是坐标原点,13题型 10.求向量的夹角rrr1. 已知|a | 8,|b | 3,a b 12，求a与b的夹角.2. 已知a(、3i),b(2.3,2)，求a与b的夹角3. 已知A(1,0),B(0,1),C(2,5)，求cos BAC.题型 11.求向量的模rrrr1. 已知|a | 3,|b|4，且a与b的夹角为60o，求(1)|首b|, (2)| 2si 3b|.rrr rr rr 1 r2. 已知a (2, 6),b( 8,10)，求(1)|a|,|b|, (5)|a b|, (6)靑 丄b |.2rrrrrr3. 已知|a | 1,1 bI 2

18、,|3a2b |3，求I 3ab|.rr题型 12.求单位向量【与a平行的单位向量：e皐】|a|1. 与a (12,5)平行的单位向量是r12. 与m ( 1,-)平行的单位向量是2题型 13.向量的平行与垂直rrr1. 已知a (6,2)，b ( 3,m)，当m为何值时，(1)a/b？ ( 2)a b？rrr2. 已知a (1,2)，b ( 3,2)，( 1)k为何值时，向量ka b与a 3b垂直？rr(2)k为何值时，向量ka b与a 3b平行？rrr3. 已知a是非零向量，a b a c，且b c，求证：a (b C).14题型 14.三点共线问题1.已知A(0, 2)，B(2,2)，C

19、(3,4)，求证:A,B,C三点共线.15r r uuur r r2a 8b,CD 3(a b)，求证：A B、D三点共线.rr uuur rr5a 6b,CD 7a 2b，则一定共线的三点是4.已知A(1, 3),B(8, 1)，若点C(2a 1,a5.已知四个点的坐标0(0,0),A(3,4)，B( 1,2)，C(1,1)，是否存在常数t，使uuu uuu uuurOA tOB OC成立？题型 15.判断多边形的形状uuu r uuu ruuur uuur1. 若AB 3e，CD 5e，且| AD | |BC|,则四边形的形状是.2. 已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,

20、 2)，证明四边形ABCD是梯形.3. 已知A( 2,1)，B(6, 3)，C(0,5)，求证：ABC是直角三角形.uuuuuuuur4. 在平面直角坐标系内，OA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3),求证：ABC是等腰直角三角形.题型 16.平面向量的综合应用rrr1. 已知a (1,0)，b (2,1)，当k为何值时，向量ka b与a 3b平行？2. 已知a(忌、5)，且a b，|b| 2，求b的坐标.uuu2.设AB、2 r r uuur (a5b), BC 2uuu r r uuu3.已知AB a 2b, BC2)在直线AB上，求a的值.3.已知a与b同向，b (1,2)，贝ya10，求a的坐标.163.已知a (1,2),b (3,1),c(5,4)，贝yc17rr4.已知a (5,10)，b ( 3, 4)，c (5,0)，请将用向量a,b表示向量c.rrrr5. 已知a (m,3)，b (2,1)，( 1)若a与b的夹角为钝角，求m的范围；(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围.rrr6. 已知a (6,2)，b ( 3,m)，当m为何值时，(1)a与b的夹角为钝角？( 2)与b的夹角为锐角？7. 已知梯形ABCD的顶点坐标分别为A( 1,2)，B(3