线性代数课本课件5.4

1、1、内积的概念、内积的概念2、再论正交阵、再论正交阵5.4 向量的内积向量的内积将两向量将两向量a与与b的的内积内积( (或称或称标量积或数量积标量积或数量积) ) ,cosa bab其中的记号其中的记号 表向量的表向量的范数范数( (那时称那时称模或长度模或长度) )，而，而 为向量为向量a与与b的夹角的夹角 ( 0 ). ),ba记作记作 (那时记作那时记作1、内积的概念、内积的概念称范数为称范数为1 1的向量是的向量是单位向量单位向量，每个非零向量均可规范，每个非零向量均可规范化，得出该方向的单位向量化，得出该方向的单位向量 因为因为2,a aa故有故有 ,aa aaaea,aaea a

2、称夹角是称夹角是2即即 coscos =0 =0 的的a与与b0,a b内积还可表达为内积还可表达为,(cos )aa baba b两个非零向量两个非零向量a与与b相相互正交的充分必要条件是互正交的充分必要条件是记号记号 ba表示表示b在a上的上的投影值投影值，ba=|b|cos . 但但b在在a上上的的投影向量投影向量是是2c,s,oaaabababaab eaa aaa定义定义残差向量残差向量为为bab-baea,aab arbb ebaa a,b aa ba aa a ,b aa baaa a , aaaarb aba0,a bb a 可以证明可以证明残差向量残差向量与与 a 是正交的，

3、因为是正交的，因为,aab arbb ebaa a若向量若向量a,b的坐标表示为的坐标表示为123aa ia ja k则有则有1 1223 3, a ba ba ba b123bbib jb k321,iiaa aa 非零向量非零向量a,b正交的充要条件即为正交的充要条件即为1 1223 30a ba ba b 可将三维空间向量内积定义延伸到可将三维空间向量内积定义延伸到对对rn空间，从空间，从而发展一些几何概念而发展一些几何概念并对有关算式作几何解释并对有关算式作几何解释.定义定义 对对rn空间空间的向量的向量11,nnababab称数称数iniiba1为为a,b的的，即，即t1,niiia

4、 ba ba b常称定义了内积的向量空间或其子空间为常称定义了内积的向量空间或其子空间为内积空间，内积空间， 带上述内积定义的向量空间带上述内积定义的向量空间对于欧几里得空间，当对于欧几里得空间，当arn ,相仿的可定义相仿的可定义t21|,niiaa aa aa 显然，当且仅当显然，当且仅当a=0时时|a|=0向量范数向量范数单位向量单位向量|a|=1向量的规范化向量向量的规范化向量aaea,aab ab eaa ab在在a向量上的投影向量向量上的投影向量残差向量残差向量,b arbaa a若若 =0=0, ,称向量称向量a与与b是是正交向量正交向量, , 记作记作ab b. .规定：若规定

5、：若 x = 0，则，则 x 与任何向量都正交与任何向量都正交给定给定r4的两个向量的两个向量42132134,uv 可算出可算出3016194v故故4112303aueu 3094116uu在在v上的上的投影向量投影向量为为23832 123301014,uvvvv v 残差向量残差向量是是424613131210110 173418,u vuvv v 若若 a1, a2, , ar 是一组两两正交的非零向量，则是一组两两正交的非零向量，则 a1, a2, , ar 线性无关线性无关证明证明 设设 k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量）（零向量），那么，那么 0 = =

6、 = k1 + k2 + + kr = k1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2 因为因为 |a1| 0，所以所以 k1 = 0 同理可证，同理可证，k2 = k3 = = kr =0 综上所述，综上所述， a1, a2, , ar 线性无关线性无关 两两正交的非零向量组成的向量组称为两两正交的非零向量组成的向量组称为正交正交向量组向量组 已知已知3 3维向量空间维向量空间r3中两个向量中两个向量 正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量a3 ，使使a1, a2, a3 两两正交两两正交 设设a3 = (x1, x2, x3)t ，若若a1a3 ， a2a3 ，则则 = a1t a3

7、 = x1 + x2 + x3 = 0 = a2t a3 = x1 2 x2 + x3 = 012111 , 211aa 12311101210 xaxxx 等价于求方程组等价于求方程组111101121010ra 1320 xxx 3101a 得得取取 设设 n 维向量维向量e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 v ( ( ) )的一个基，如果的一个基，如果 e1, e2, , er 两两正交两两正交； e1, e2, , er 都是单位向量都是单位向量，则称则称 e1, e2, , er 是是v 的一个的一个规范正交基规范正交基是是 r4 的一个规范正交基的一个规范正交基nvr

8、123410000100,00100001eeee 也是也是 r4 的一个规范正交基的一个规范正交基1234001212001212,121200001212eeee 123411110111,00110001eeee 是是 r4 的一个基，但不是规范正交基的一个基，但不是规范正交基设设 e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 v 的一个的一个正交基正交基，则，则v 中中任意一个向量可唯一表示为任意一个向量可唯一表示为 x = l l1e1 + l l2e2 + + l lrer于是于是特别地，若特别地，若 e1, e2, , er 是是v 的一个的一个规范正交基规范正交基，则，则问题

9、问题 向量空间向量空间v的一个基的一个基 a1, a2, , ar 向量空间向量空间 v 的一个规范正交基的一个规范正交基 e1, e2, , er2 , , 1,2, ,|iiiiiix ex eire eel l , 1,2,iix eirl l第一步：正交化第一步：正交化施密特正交化过程施密特正交化过程设设 a1, a2, , ar 是向量空间是向量空间 v 的一个基，那么令的一个基，那么令11ba a1b1a2a3c2b2c3c31c32b31333333132322131122,bacaccabbb ab ab bb b 基基正交基正交基 规范正交基规范正交基 122222111,b

10、 abacabb b第一步：正交化第一步：正交化施密特正交化过程施密特正交化过程设设 a1, a2, , ar 是向量空间是向量空间 v 中的一个基，那么令中的一个基，那么令故故 b1, b2, , br 两两正交，并且与两两正交，并且与a1, a2, , ar 等价，即等价，即 b1, b2, , br 是向量空间是向量空间 v 中的一个中的一个正交基正交基121112221111,rrrrrrrrrb ab abab bb bbabbbbb 11ba 122222111,b abacabb b第二步：单位化第二步：单位化设设 b1, b2, , br 是向量空间是向量空间 v 中的一个中的

11、一个正交基正交基，令，令从而从而 e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 v 中的一个中的一个规范正交基规范正交基112212111, , |rrrebebebbbb例：例：设设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第一步正交化，取第一步正交化，取1231142, 3, 1110aaa 111222111132333121122111,45321,631114111,151212 0,330111bab ababb bb ab ababbb bb b 例：例：设设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把

12、这组向量规范正交化解：解：第二步单位化，令第二步单位化，令1231142, 3, 1110aaa 1112223331112|611111|311110|21ebbebbebb 1212,tttntnaaa aa aaa 定义定义 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 a 满足满足 ata = e，则称矩阵则称矩阵 a 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 于是于是从而可得从而可得n方阵方阵a 为为正交阵正交阵的充分必要条件是的充分必要条件是 a 的的列向量列向量都是单位都是单位向量，且两两正交向量，且两两正交即即a 的的列列(行行)向量组向量组构成构成rn 的规范的规范正交基正交基 1, ( ,1,2, )0,tijijija aa ai jnij 即即 a1 = at111212122212100010001tttntttntttnnnna aa aa aa aa aa aa aa aa a2121000021212121212121212121p是正交矩阵，并求出是正交矩阵，并求出p-1. 验证验证