物理学教学课件7-4麦克斯韦气体分子速率分布律

1、 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。1.1.气体分子的速率分布气体分子的速率分布 把速率分成若干相等区间把速率分成若干相等区间 求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 各区间的分子数占气体分子总数的百分比各区间的分子数占气体分子总数的百分比分布表分布表 分布图（曲线）分布图（曲线） 分布函数分布函数一一. .气体分子的速率分布函数气体分子的速率分布函数7

2、-4 麦克斯韦气体分子速率分布定律麦克斯韦气体分子速率分布定律分子速率分布图分子速率分布图n: 分子总数分子总数/(v)nnovvvv sn : 间的分子数间的分子数. vvv 表示速率在表示速率在 区间区间的分子数占总数的比的分子数占总数的比 .nnsvvv ( )vf 速率在速率在 区间的分子数占总分子区间的分子数占总分子数的比。数的比。dvvv 表示在温度为表示在温度为 的平衡状态下，速率在的平衡状态下，速率在 附近附近单位速率区间单位速率区间 的分子数占总数的比。的分子数占总数的比。vtd( )dnfnvv0011 ddvv(v)limlimvvvnnnfnnn 物理意义物理意义)(v

3、f2.分布函数分布函数( )df vvv)(vfo1vs2vd()dnnfvv速率在速率在 内分子数：内分子数：dvvv21()dvvvvnn f速率位于速率位于 区间的区间的分子数：分子数：12vv21()dnfsn vvvv速率位于速率位于 区间的区间的分子数占总数的百分比：分子数占总数的百分比：12vv0()d1fvv曲线下的总面积恒等于曲线下的总面积恒等于1( )dnf vv203 22024e2v( v)()vmktmfkt1. 麦氏速率分布函数麦氏速率分布函数二. 麦克斯韦气体分子速率分布定律麦克斯韦气体分子速率分布定律v)(vfo速率分布曲线图速率分布曲线图2. 三种统计速率三种

4、统计速率pv（1）最概然速率最概然速率pd ( )0dfv vvvp0021 41ktktmmv.v)(vfopvmaxf根据分布函数求得根据分布函数求得0aamm nrn k, 气体在一定温度下分布在最概然速气体在一定温度下分布在最概然速率率 附近单位速率间隔内的相对分子数附近单位速率间隔内的相对分子数最多最多.pv物理意义物理意义p0221 41ktrtrtmmmv.1122vvvvviinnnnnnn（2）平均速率平均速率v00d( )dvvvvvnnnfnnv)(vfo008( )dktfmvvvv0881 60ktrtrtmmmv.（3）方均根速率方均根速率2v20331 73ktr

5、trtmmmv.22200ddvv(v) vvnnnfnn203ktmv/2033ktrtmmv2pvvv088ktrtmmvp022ktrtmmv三种速率的比较三种速率的比较 同一温度下不同一温度下不同气体的速率分布同气体的速率分布2h2oopvhpvv)(vfo n2 分子在不同温分子在不同温度下的速率分布度下的速率分布kt 30011pv2pvkt 200 12v)(vfo讨论讨论例例7-3. 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，曲线， 从图上数据求出两气体最概然速率从图上数据求出两气体最概然

6、速率.vv )( f)(vf1sm/v2 000op02vktm)o()h(22mm)o()h(2p2pvv-12pm.s 000 2)h(v4232)h()o()o()h(222p2pmmvv-12pm.s 500)o(v解解例例7-4. 用总分子数用总分子数n n，气体分子速率，气体分子速率v和速率分和速率分布函数布函数 表示以下各量表示以下各量f (v)（1）速率大于）速率大于v0的分子数，的分子数，（2）速率大于）速率大于v0的那些分子的平均速率，的那些分子的平均速率，（3）多次观察某一分子的速率，发现其速率）多次观察某一分子的速率，发现其速率大于大于v0的概率。的概率。解解： （1

7、1）由）由 有有ddnfn(v)vddnnf(v) v速率在速率在v0区间的分子数为区间的分子数为0ddnnnfv(v) v（2 2）由平均值公式）由平均值公式0000dddddnffnnnffvvvvv(v) vv(v) vvv(v) v(v) v注意注意： 0d1fv(v) v，故，故 0dfvvv(v) v00ddnfnfnnvv(v) v(v) v（3 3）发现分子速率大于）发现分子速率大于 的概率等于速率的概率等于速率 大于大于 的分子数占总分子数的百分比的分子数占总分子数的百分比 0v0vvv d)(f（1）0vvvd)(2f（4）vv d)(nf（2）pnfvd0vv )(（3）

8、下列各式的意义下列各式的意义（5）速率小于最概然速率的所有分子的平均速率小于最概然速率的所有分子的平均速率为：速率为：pvvnn00vdndnppvvdd00vvvvv)()(ffp课堂练习课堂练习解：解：（1 1）按图所示）按图所示的速率分布曲线形的速率分布曲线形状，应有状，应有 例例7-5.一由一由n n 个粒子组成的系统，平衡态下粒子个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如图所示。试求：的速率分布曲线如图所示。试求：（1 1）速率分布函数；）速率分布函数；（2 2）速率在）速率在0 0 范围内的粒子数；范围内的粒子数；（3 3）平均速率、方均根速率和最概然速率。）平均速率、方均根速率和最概然速率。02v /000kf()( )()vvvvvv0vk为为0 0 之间直线段的斜率。之间直线段的斜率。由速率分布函数的归一化条件，可得由速率分布函数的归一化条件，可得020001dd12fkkv(v) vvvv解得解得 202k v故速率分布函数为故速率分布函数为020020fv(vv )v(v)(vv )（2 2）速率在）速率在0 0 范围内的分子数为范围内的分子数为02v /002220002dd4nnnfn()vvvvvvv0dfvv(v) v220dfvv(v) v（3 3）由）由 和和可得粒子的平均速率可得粒子的平均速率0020022d3vvvv