复变函数与积分变换课件2.3初等函数

1、1第二章 解析函数 2.3 初等函数 2.3 初等函数初等函数一、指数函数一、指数函数二、二、对数函数对数函数三、三、幂函数幂函数四、三角函数四、三角函数五、反三角函数五、反三角函数六、双曲函数与反双曲函数六、双曲函数与反双曲函数2第二章 解析函数 2.3 初等函数 复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们两者是一样的。两者是一样的。2.3 初等函数初等函数的定义方式尽可能保持一致。的定义方式尽可能保持一致。 本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：映射关系映射关系等等。等等

2、。定义定义、定义域定义域、运算法则运算法则、连续性连续性、解析性解析性、单值性单值性以及以及特别是当自变量取实值时，特别是当自变量取实值时，特别要注意与实初等函数的区别。特别要注意与实初等函数的区别。3第二章 解析函数 2.3 初等函数 一、指数函数一、指数函数,yixz )sin(coseyiywx 对于复数对于复数称称定义定义为为指数函数指数函数 ,记为记为 或或zwexp .ezw 注注 (1) 指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等函数函数都通过指数函数来定义。都通过指数函数来定义。(2) 借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆：借助欧拉

3、公式，指数函数可以这样来记忆：. )sin(coseeeeeyiywxyixyixz (3) 但事实上，从定义本身来看，但事实上，从定义本身来看， 应理解为仅仅是一种应理解为仅仅是一种ze记号或者记号或者规定规定，仅仅作为代替仅仅作为代替 的符号使用。的符号使用。zexp p41定义定义 2.5 4第二章 解析函数 2.3 初等函数 一、指数函数一、指数函数性质性质 (1) 是是单值函数单值函数。ze事实上，对于给定的复数事实上，对于给定的复数,yixz 定义中的定义中的 均为单值函数。均为单值函数。yyxsin,cos,e事实上，在无穷远点有事实上，在无穷远点有(2) 除无穷远点外，处处有定

4、义。除无穷远点外，处处有定义。ze当当 时，时， xy,0;e z当当 时，时， xy,0.0ez(3).0e z.0sincos,0e yiyx因为因为5第二章 解析函数 2.3 初等函数 性质性质.21ezz )sin()cos(212121eyyiyyxx )sinsincos(cos212121eyyyyxx)sincoscos(sin2121yyyi )sin(cos)sin(cos22112121eeeeyiyyiyxxzz 事实上，由事实上，由 有有,12sin2cos2e kikik.eeee22zikzikz (6) 是以是以 为周期的周期函数。为周期的周期函数。zeik2事

5、实上，事实上，一、指数函数一、指数函数6第二章 解析函数 2.3 初等函数 y4 (w)(z)yxwyxezwe lnwz vu(w)一、指数函数一、指数函数(6) 映射关系：映射关系：性质性质由由,)sin(coseeeeyixxzyiyw 有有y2 由由 z 的实部得到的实部得到 w 的模；的模；由由 z 的虚部得到的虚部得到 w 的辐角。的辐角。,|exw ,2argkyw ), 2, 1, 0( k xzy7第二章 解析函数 2.3 初等函数 二、二、对数函数对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数对数函数定义为指数函数的反函数。.lnzw 记作记作zwln zargiz |ln即即z

6、w e)(zfw 满足方程满足方程的函数的函数称为称为对数函数对数函数，定义定义计算计算 令令,|eearg izirzz ,viuw 由由,ezw 有有,eee iviur , |lnlnzru .argzv 由由 z 的模得到的模得到 w 的实部的实部 ；由由 z 的辐角得到的辐角得到 w 的虚部的虚部 。,2arg|lnikziz . ), 2, 1, 0( k p43定义定义 2.6 8第二章 解析函数 2.3 初等函数 二、二、对数函数对数函数 显然对数函数为显然对数函数为多值函数多值函数。主值主值( (枝枝) )zwln 称称为为的的主值主值( (枝枝) )，zizwarg|ln

7、.lnzw 记为记为故有故有,2lnlnikzz . ), 2, 1, 0( k分支分支( (枝枝) )特别地，当特别地，当 时时, 0 xz的主值的主值 就是实对数函数。就是实对数函数。zlnxzlnln 对于任意一个固定的对于任意一个固定的 k，称，称 为为 的的ikz2ln zln一个一个分支分支( (枝枝) )。,2arg|lnlnikzizzw . ), 2, 1, 0( k9第二章 解析函数 2.3 初等函数 二、二、对数函数对数函数性质性质在原点无定义，故它的定义域为在原点无定义，故它的定义域为zwln .0 z(1)(2)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续；的各分支在除去

8、原点及负实轴的复平面内连续；zlnzln在除去原点及负实轴的平面内连续。在除去原点及负实轴的平面内连续。特别地，特别地，注意到，注意到，函数函数zarg在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。注意到，注意到，函数函数在原点无定义；在原点无定义；zarg.0e w或者指数函数或者指数函数10第二章 解析函数 2.3 初等函数 wwzz)(1dlnde 由反函数求导法则可得由反函数求导法则可得.11ezw 进一步有进一步有zikzzzd)2lnd(dlnd .1dlndzzz ( (在集合意义下在集合意义下) )二、二、对数函数对数函数性质性质 (3)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解

9、析；的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析；zlnzln在除去原点及负实轴的平面内解析。在除去原点及负实轴的平面内解析。特别地，特别地，11第二章 解析函数 2.3 初等函数 主值主值 .2)(lnii 解解ikiiii2)(arg|ln)(ln (1)iki221ln)( ,22iki ikiiii2)1(arg|1 |ln)1(ln (2),242ln)(iki 主值主值 .42ln)1(ln)(ii 12第二章 解析函数 2.3 初等函数 ;)12(ik 解解iki2)1(arg| 1|ln)1(ln 主值主值 .)1(lni iki21ln 求对数求对数 以及它的主值。以及它的主值。

10、)1(ln 例例 可见，在复数域内，负实数是可以求对数的可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。 p43 例例2.11 13第二章 解析函数 2.3 初等函数 解解iki22arg| 2|ln2ln 主值主值 .2ln2ln ;22lnik 求对数求对数 以及它的主值。以及它的主值。2ln例例在实数范围内在实数范围内在复数范围内在复数范围内 可见，当可见，当 z 为正实数时，为正实数时， 与实对数函数是一致的。与实对数函数是一致的。zln14第二章 解析函数 2.3 初等函数 .ln)(2zzg 例例 求下列函数的导数。求下列函数的导数。; )1(ln)(zzf (2)(1)解解,11)(zz

11、f (1),221)(2zzzzg (2)其中，其中， 1dz ( (如图如图) )。 其中，其中， 2dz ( (如图如图) )。 1 1d2d15第二章 解析函数 2.3 初等函数 三、三、幂函数幂函数称为复变量称为复变量 z 的的幂函数幂函数。 还还规定规定：当：当 a a 为正实数，且为正实数，且 时，时， 0 z.0 a az( ( 为复常数，为复常数， ) )a azw zzlnea aa a 定义定义 函数函数 规定规定为为0 za a注意注意上面利用指数函数以一种上面利用指数函数以一种“规定规定”的方式定义了幂函数，的方式定义了幂函数，但不要将这种但不要将这种“规定规定”方式反

12、过来作用于方式反过来作用于指数指数函数，函数，.elnelneeezzz ?即即 p45定义定义 2.7 16第二章 解析函数 2.3 初等函数 讨论讨论此时，此时， 处处解析，且处处解析，且.)(1 a aa aa azza az当当 为正整数时为正整数时, a a.lnlneeznznnz ( (单值单值) )(1)此时，此时， 除原点外处处解析，且除原点外处处解析，且.)(1 a aa aa azza az当当 为负整数时为负整数时, a a.1nnzz (2)( (单值单值) )当当 时时, 0 a a.10 z(3)三、三、幂函数幂函数17第二章 解析函数 2.3 初等函数 讨论讨论

13、其中，其中，m 与与 n 为互质的整数，且为互质的整数，且 .1 n(5) 当当 为无理数或复数为无理数或复数( )( )时时，a a0im a a当当 为有理数时为有理数时, a a(4).nmnmzz ( ( 值值) )n此时，此时， 除原点与负实轴外处处解析，除原点与负实轴外处处解析，a az一般为一般为无穷多值。无穷多值。此时，此时， 除原点与负实轴外处处解析。除原点与负实轴外处处解析。a az.)(1 a aa aa azz且且三、三、幂函数幂函数18第二章 解析函数 2.3 初等函数 解解iiiilne )(22eikii . ), 2, 1, 0( k,)(22ek 可见，可见，

14、 是正实数，是正实数，它的主值是它的主值是ii.2e 例例 求求 的值。的值。ii. ), 2, 1, 0( k, )22(sin)22(coskik ik22e )20(02e ki 求求 的值。的值。21例例1ln22e1 解解 可见，不要想当然地认为可见，不要想当然地认为.11 a ap46 19第二章 解析函数 2.3 初等函数 四、三角函数四、三角函数启示启示 由欧拉公式由欧拉公式,sincose ii 有有,sincose ii , )(21cosee ii . )(21sinee iii 余弦函数余弦函数; )(21coseeziziz 正弦函数正弦函数. )(21sineezi

15、ziiz 定义定义 p47定义定义 2.8 20第二章 解析函数 2.3 初等函数 四、三角函数四、三角函数性质性质 周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样；周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样； 各种三角公式以及求导公式可以照搬；各种三角公式以及求导公式可以照搬； 有界性有界性( (即即 ) )不成立。不成立。1|cos| ,1|cos| zz( (略略) ) 21第二章 解析函数 2.3 初等函数 iiiiii2)21sin()21()21(ee .1cos21sin22222eeee i.cosi例例 求求2coseei ii ii 根据定义，有根据定义，有解解.2ee1 .

16、)21sin(i 例例 求求根据定义，有根据定义，有解解iii2)1sin1(cos)1sin1(cos22ee 22第二章 解析函数 2.3 初等函数 五、反三角函数五、反三角函数记为记为.cosarczw 如果如果定义定义,coszw 则称则称 w 为复变量为复变量 z 的的反余弦函数反余弦函数，,12e zzwi,012)(ee2 wiwiz ,1ln)(2 zzwi.1lncosarc)(2 zzizw计算计算, )(21coseewiwiwz 由由 同理可得同理可得.ln2tanarcziziiz ;1lnsinarc)(2zz iiz p49定义定义 2.9 23第二章 解析函数 2.3 初等函数 六、双曲函数与反双曲函数六、双曲函数与反双曲函数;chshthzzz 双曲正切函数双曲正切函数.shchcothzzz 双曲余切函数双曲余切函数; )(21