概率论与数理统计浙大四版第二章3讲2

1、第四节 连续型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量x所有可能取值充满所有可能取值充满一个区间一个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不能不能象离散型随机变量那样象离散型随机变量那样, 以指定它取每以指定它取每个值概率的方式个值概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的的方式方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法的描述方法.1. 连续型连续型r.v及其密度函数的定义及其密度函数的定义 定义：若对于随机变量x的分布函数f(x),存在非负实函数f(x),使得对任意的实数

2、x,都有 则称x为连续型随机变量，f(x)称为随机变量x的概率密度函数（probability density function）。xdttfxf)()(2. 概率密度函数的性质概率密度函数的性质1 o0)(xf2 o1)(dxxf这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vx的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件. f (x)xo面积为面积为1 故故 x的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是x落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率

3、理解为质量， f (x)相当于线密度相当于线密度.x ,(xxx 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：xxxxxpx )(lim0 x)(lim0 xxxxdttf=f(x)3. 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解: 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f (x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映x取值的概率取值的概率. 但是，这但是，这个高度越大，则个高度越大，则x取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度. f (x)xo若不

4、计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：xxfxxxxp )( 它表示随机变量它表示随机变量 x 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .,(xxxxxf)(xxf)(在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与kkpxxp)(在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：, 0)( axpa为任一指定值为任一指定值这是因为这是因为)(lim)(0 xaxapaxpx xaaxdxxf )(lim00需要指出的是需要指出的是:由此得由此得，)()(bxapbxap)(bxap1) 对

5、连续型对连续型 r.v x,有有)(bxap2) 由由p(x=a)=0 可推知可推知 1)()()(axpdxxfarxp而而 x=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件arx称称a为为几乎不可能事件几乎不可能事件，b为为几乎必然事件几乎必然事件.可见，可见，由由p(a)=0, 不能推出不能推出 a由由p(b)=1, 不能推出不能推出 b=s.271)3(;)2(;)1(., 0, 43,22, 30,)( xpxkxxxkxxfx求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解, 1d)()1( xxf由由例例1的概率密度

6、为的概率密度为知知由由xk61)2( ., 0, 43,22, 30,6)(其它其它xxxxxf, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxxxxfxx得得由由 xxxfxfd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxf即即271)3( xp)1()27(ff .4841 3、连续型、连续型 r.v的分布函数的分布函数即分布函数是密度函数的可变上限的即分布函数是密度函数的可变上限的定积分定积分.若若 x 是连续型是连续型r.v， x f

7、 (x) , 则则 f(x) = p(x x) = xdttf)(由上式可得，由上式可得，在在 f (x)的连续点的连续点，)()(xfdxxdf下面我们来求一个连续型下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数的分布函数.例例2 设设r.v x 的密度函数为的密度函数为 f (x)其它0,11,12)(2xxxf求求 f(x).f(x) = p(x x) = xdttf)(解：解：求求 f(x).解：解： 对对x 1， f (x) = 1其它, 011,12)(2xxxf1, 111,21arcsin111, 0)(2xxxxxxxf 即即xdttfxf)()(大家一起来作下面的练习大家一起来

8、作下面的练习.求求 f(x).其它, 021,210,)(xxxxxfx 设设由于由于f(x)是分段是分段表达的，求表达的，求f(x)时时注意分段求注意分段求.xdttfxf)()(=01xtdt0 xdtttdt110)2(0 x10 x21 x2xf(x)其它, 021,210,)(xxxxxfx对连续型对连续型r.v，若已知，若已知f(x)，我们通过求导我们通过求导也可求出也可求出 f (x)，请看下例请看下例.2, 121,21210,20, 0)(22xxxxxxxxf即即1110002xxxxxf,)(例例3 设设r.vx的分布函数为的分布函数为(1) 求求x取值在区间取值在区间

9、(0.3,0.7)的概率；的概率； (2) 求求x的概率密度的概率密度.解解: (1) p(0.3x3 .2 yp.2720 因而有因而有设设y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则.32,3 by 32132232033213233 3)( xpap由由于于,32d3153 x 区间区间( 0, 1)上的均匀分布上的均匀分布u(0,1)在计在计算机模拟中起着重要的作用算机模拟中起着重要的作用. 实用中，用计算机程序可以在短时间实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从内产生大量服从 ( 0, 1)上均匀分布的随机上均匀分布的随机数数. 它是由一种迭代

10、过程产生的它是由一种迭代过程产生的. 严格地说，计算机中产生的严格地说，计算机中产生的u (0,1) 随随机数并非完全随机，但很接近随机，故常机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为称为伪随机数伪随机数. 如取如取n足够大，独立产生足够大，独立产生n个个u(0,1)随机数，则从用这随机数，则从用这 n 个数字画出的频率个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于直方图就可看出，它很接近于( 0, 1)上的上的均匀分布均匀分布u(0,1).,0. 0, 0, 0,e1)(分布分布的指数的指数服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义

11、定义 xxxxfxx 2. 指数分布指数分布 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布寿命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景分布函数分布函数 . 0 , 0, 0,e11)(xxxfx例例6 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 x 服从参数为服从参数为=2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时).(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用

12、了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. . 0, 0, 0,e1)(20001xxxfxx 的分布函数为的分布函数为解解1000)1( xp10001 xp)1000(1f .607. 0e21 10002000)2( xxp10001000,2000 xpxxp10002000 xpxp1000120001 xpxp)1000(1)2000(1ff .607. 0e21 指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”. 至此，我们已初步介绍了两类重要的随至此，我们已初步介绍了两类重要的随机变量机变量:

13、 离散型离散型r.v和连续型和连续型r.v f (x)xoxp(x)o对它们分别用概率函数和密度函数描述对它们分别用概率函数和密度函数描述. 下节课我们学习最重要的连续型随机变量：下节课我们学习最重要的连续型随机变量：正态分布正态分布. 作业);()2(;) 1 (.,e)(xfxaxaxfxx的分布函数求求系数的概率密度为已知随机变量 由上述可知，对于连续型随机变量，我由上述可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题值的问题 ，的密度函数为的密度函数为若

14、已知连续型随机变量若已知连续型随机变量xfx取值的概率为，取值的概率为，也可以是无穷区间）上也可以是无穷区间）上间；可以是有限区间，间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区闭区间，或半开半闭区也可以是也可以是可以是开区间可以是开区间（在任意区间在任意区间则则,ggx gdxxfgxp例例 2某电子元件的寿命某电子元件的寿命 x（单位：小时）是以（单位：小时）是以 10010010002xxxxf为密度函数的连续型随机变量求为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元个同类型的元件在使用的前件在使用的前 150 小时内恰有小时内恰有 2 个需要更换的概率个需要更换的概率.解解： 设设 a= 某

15、元件在使用的前某元件在使用的前 150 小时内需要更换小时内需要更换例例 2（续）（续）检验检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重重bernoulli试验试验设设 y 表示表示5 个元件中使用寿命不超过个元件中使用寿命不超过150小时小时 的元的元件数，件数， 150dxxf 1501002100dxx31 32253231 c24380 ).3/1, 5( by则则故所求概率为故所求概率为2 yp四色猜想 四色猜想是世界近代三大数学难题之一四色猜想是世界近代三大数学难题之一(另外另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。 18

16、52年，毕业于伦敦大学的弗南西斯年，毕业于伦敦大学的弗南西斯格思里格思里(francis guthrie)来到一家科研单位搞地图着色来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。国家着上不同的颜色。”,用数学语言表示，即用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的

17、数字而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。” 这是一个拓扑学问题这是一个拓扑学问题 。 1852年年10月月23日，他的弟弟就这个问题的证日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德明请教他的老师、著名数学家德摩尔根，摩摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。为止，问题也没有能够解决。18

18、72年，英国当时最著名的数学家凯利正年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。色猜想成了世界数学界关注的问题。 1878年肯普和泰勒宣布证明了此定理，年肯普和泰勒宣布证明了此定理，11年后，即年后，即1890年，数学家赫伍德以自己年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜貌似容易的题目，其实是一