结构力学课件15动力学2

1、二、单自由度体系自由振动微分方程的解二、单自由度体系自由振动微分方程的解)(mk=w02yy=+w& &)(0akyym=+ll& &) sin()(aw+=tatysincos)(00www+=tvtyty)0(020=ycyycossin)(21ww+=tctcty)0(010w=vcvy &y(t)ty0y0y(t )tv0/v0/ttaat/其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上使质点沿

2、振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力沿振动方向施加的力。 st=w在质点上沿振动方向施加数值为在质点上沿振动方向施加数值为w w的荷载时质的荷载时质点沿振动方向所产生的位移点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视计算时可根据体系的具体情况，视、 k、 st 三参数中哪一三参数中哪一个最便于计算来选用。个最便于计算来选用。自振周期计算公式：自振周期计算公式：圆频率计算公式：圆频率计算公式：一些重要性质一些重要性质：（1 1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅外界的干扰因

3、素无关。干扰力只影响振幅a。（2 2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。从改变结构的质量或刚度着手。（3 3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如

4、果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。stgwgmmk=w1gkmtst=22例例4 4、图示三根单跨梁，、图示三根单跨梁，ei为常数，在梁中点有集中质量为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：解：1 1）求）求eil4831=p=13l/165l/32p=1l/2eillllleil7687)325216322(61321=eil768732=eil19233=311481mleim=w32277681mleim=w

5、3331921mleim=w据此可得据此可得：1? 2 ? 3= 1 ? 1.512 ? 2 结构约束越强结构约束越强, ,其刚度越大其刚度越大, ,刚度越大刚度越大, ,其自振动频率也越大。其自振动频率也越大。1例例5 5、求图示结构的自振圆频率。、求图示结构的自振圆频率。解法解法1 1：求：求 k=1/hmba=kh = mbcklhmieibaclheilei33=lmheimk23=w23lheik =1h解法解法2 2：求：求 eilhhlhei332212=21131mlheim=w例例6 6、求图示结构的自振频率。、求图示结构的自振频率。leimk1k11k11k33lei解：求

6、解：求 k3113leikk+=mkmklei+=3311w对于静定结构一般计算柔度系数方便。对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为都不能发生转动（如横梁刚度为刚架刚架) )计算刚度系数方便。计算刚度系数方便。312lei一端铰结的杆的侧移刚度为：一端铰结的杆的侧移刚度为：33lei两端刚结的杆的侧移刚度为：两端刚结的杆的侧移刚度为：五、阻尼对自由振动的影响五、阻尼对自由振动的影响忽略阻尼影响时所得结果忽略阻尼影响时所得结果 能不能能不能 反映实际结构的振动规律。反映实际

7、结构的振动规律。大体上大体上忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。共振时的振幅较大但为有限值。f产生阻尼的原因产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。擦；周围介质的阻力。f阻尼力的确定阻尼力的确定：总与质点速

8、度反向：总与质点速度反向; ;大小与质点速度有如下关系：大小与质点速度有如下关系： 与质点速度成反比（比较常用，称为粘滞阻尼）。与质点速度成反比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 与质点速度平方成反比（如质点在流体中运动受到的阻力）。与质点速度平方成反比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 与质点速度无关（如摩擦力）。与质点速度无关（如摩擦力）。f粘滞阻尼力的分析比较简单，粘滞阻尼力的分析比较简单，( (因为因为r(t)=cy ).).其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。f振动模型振动模型ykyym& &kmyc&y有阻尼的自由振动，有阻尼的自由振动，动平衡

9、方程：动平衡方程：)14.15(0lll& &=+kyycymwwmcmk2,=( 阻尼比阻尼比）)1(2=wl0222=+wwll)( =ltcety设解为设解为：特征方程为：特征方程为：1)1（低阻尼）情况（低阻尼）情况21wwwwl=rri其中tctceyrrtwwwsincos21+=+=tyvtyeyrrrtwwwwwsincos000c)16.15(022lll& &=+yyyww令令低阻尼体系的自振圆频率低阻尼体系的自振圆频率000220020)()sin(yvytgyvyataeyrrrtwwawwaww+=+=+=ae-ttyty低阻尼低阻尼y- t曲线曲线无阻尼无阻尼y-

10、t曲线曲线阻尼对自振频率的影响阻尼对自振频率的影响. .=而随www,12r 当当0.2，则存则存在在0.96r/1。在在工程结构问题中，工程结构问题中，若若0.011 强阻尼：强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。不出现振动，实际问题不常见。2)=1（临界阻尼）情况（临界阻尼）情况)1(2=wl=w ltetccyw+=)(21tetvtyyww+=)1 (00)16.15(022ll& &=+yyywwtyy0000vtg=这条曲线仍具有衰减性，这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。但不具有波动性。m15-3 单自由度体系的受迫振动 受迫振动（强迫振动）：受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载

11、作用下的振动。结构在动力荷载作用下的振动。ky(t)ymkyym& &p(t )mp(t )p(t )弹性力弹性力ky、惯性力惯性力ym& &和荷载和荷载p(t)之间的平衡方程为之间的平衡方程为:)()(atpkyymll& &=+一、简谐荷载：一、简谐荷载：tmftawsinsin)(22=+tmftatawsinsinsin22=+taysin=mtfyywsin2=+& &)(22w+=mfatytmfystwwwsin)1 (1sin)1 (22222=wfmfyst=2单自由度体系强迫单自由度体系强迫振动的微分方程振动的微分方程特解特解：最大静位移最大静位移yst（是把荷载幅值当作静

12、荷载作用时结构所产生（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。的位移）。tyystwsin1122=特解可写为：特解可写为：通解可写为：通解可写为：tytctcystwwwsin11cossin2221+=设设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：时的初始位移和初始速度均为零，则：0,12221=cycstww)sin(sin1122ttyystwww=过渡阶段过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按荷载频率振动平稳阶段：

13、平稳阶段：tyystwsin1122=最大动位移（振幅）为：最大动位移（振幅）为：22max11w=styy22max11w=styy动力系数动力系数为为：1023123w重要的特性：重要的特性：f当当/0时时,1，荷载变化荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。得很慢，可当作静荷载处理。f当当0 / 1，并且随并且随/的增大而增大。的增大而增大。f当当/ 1时时,。即当荷载即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为无限增大。称为“共振共振”。通常。通常把把0.75 / 1时时,的绝对值随的绝对值随/的增大而减小。当的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及

14、反应很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。 当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可值乘以动力系数按静力方法来计算即可。 例：已知例：已知m=300kg，ei=90105n.m2 ,k=48ei/l3 ,p=20kn,=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。求梁中点的位移幅值及最大

15、动力弯矩。2meimkpsint2m解：解：1)1)求求keil212148321+=+=eileileil192519248333=+=1316.13451921=smleimw2)2)求求552. 11122=wmeilppy35333max1075. 51090192451020552. 11925=3)3)求求ymax， mmaxmknlpm.04.31420552. 141)(41max=例、一简支梁（例、一简支梁（i28b），惯性矩），惯性矩i=7480cm4，截面系数，截面系数w=534cm3，e=2.1104kn/cm2。在跨度中点有电动机重量。在跨度中点有电动机重量q=35k

16、n，转速转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力。由于具有偏心，转动时产生离心力p=10kn，p的竖的竖向分量为向分量为psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）解：解：1 1）求自振频率和荷载频率）求自振频率和荷载频率 sqleig13434 .57400359807480101 . 24848=sn13 .526050014. 32602=2 2）求动力系数）求动力系数88. 54 .573 .5211112222=weipleiqlystst484833max

17、+=+=+=+=wlpqwplwql4)(44maxstg=w175.6mpa 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。i22b3570cm4357039.739.71.35对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。325149.2设体系在设体系在t=0时静止，时静止，然后有瞬时冲量然后有瞬时冲量s作用作用。二、一般荷载二、一般荷载一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导动力反应来推导1、瞬时冲量的动力反应、

18、瞬时冲量的动力反应p(t)tp瞬时冲量瞬时冲量s引起的振动可视为引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。由初始条件引起的自由振动。由动量定理：由动量定理：mtpmsv=000=yt cossin)(00www+=tvtytytmstywwsin)( =t ttttmsty=wwsin)()(sinww=tmscossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytytpsmv=002、任意荷载、任意荷载p(t)的动力反应的动力反应p(t)tdpds)(=时刻的微分冲量对时刻的微分冲量

19、对t瞬时瞬时(t )引起的动力反应引起的动力反应: :)(sin)(ww=tmdpdy初始静止状态的单自由初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用度体系在任意荷载作用下的位移公式下的位移公式: :wwdtpmtyt)(sin)(1)(0=(duhamel 积分积分)（15.29）初始位移初始位移y0和初始速度和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式不为零在任意荷载作用下的位移公式: :wwwwdtpmtvtytyt)(sin)(1sincos)(000+=t3、几种典型荷载的动力反应、几种典型荷载的动力反应1 1）突加荷载）突加荷载 =0,0, 0)(0tpttp当当p(t)tpwwdt

20、pmtyt)(sin)(1)(0=wwdtpmtyt)(sin1)(00=)cos1 ()cos1 (20tytmpstwww=yst=p0=p0 /m2ysty(t)t023质点围绕静力平衡质点围绕静力平衡位置作简谐振动位置作简谐振动2)(max=styty2 2）短时荷载）短时荷载 =ututpttp, 00,0, 0)(0p(t)tpu阶段阶段(0tu)：无荷载，体系以无荷载，体系以t=u时刻的位移时刻的位移 和速度和速度为初始条件作自由振动。为初始条件作自由振动。)cos1 ()(uyuystw=uyuvstwwsin)(=sincos )(00www+=tvtyty)(sinsin)

21、(cos)cos1 ()(utuyutuytystst+=wwww)cos)(costutystww=或者直接由或者直接由duhamel积分作积分作wwdtpmtyt)(sin)(1)(0=wwdtpmtyu)(sin1)(00=)cos)(cos20tutmpwww=)2(sin2sin2utuyst=ww另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。p(t)tpp(t)tpup(t)tpu)cos1 ()(tytystw=)(cos1 ()(utytyst=w当当0t u)cos1 ()(tytystw=)(cos1 (utystw)cos)(co

22、stutystww=)2(sin2sin2utuyst=wwysty(t)t023t最大动反应最大动反应1）当当 u t/2 最大动位移最大动位移发生在阶段发生在阶段)cos1 ()(tytystw=styy2max=2）当当u t/2 最大动位移最大动位移发生在阶段发生在阶段 =2)2(sin2sin2)(utuytyst=ww2sin2maxuyystw=2sin2uw=21, 221,sin2tututu当当tu1/611/22动力系数反应谱动力系数反应谱(与与t和和u之间的关系曲线之间的关系曲线)3 3）线性渐增荷载）线性渐增荷载 =rrrttpttttptp当当,0,)(00p(t)

23、tp0tr这种荷载引起的动力反应同样可由这种荷载引起的动力反应同样可由duhamelduhamel积分来求解积分来求解: :=rrrstrrstttttttytttttyty当当,)(sinsin11,sin)(wwwww 对于这种线性渐增荷载对于这种线性渐增荷载, ,其动力反应与升载时间的长短有其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：很大关系。其动力系数的反应谱如下：01.02.03.04.0ttrtrp0动力系数反应谱动力系数反应谱动力系数动力系数介于介于1 1与与2 2之间。之间。如果升载很短，如果升载很短，tr4t, ,则则接近

24、于接近于1,1,即相当于静荷载情况。即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。常取外包虚线作为设计的依据。三、有阻尼的强迫振动三、有阻尼的强迫振动单独由单独由v0引起的自由引起的自由振动：振动：瞬时冲量瞬时冲量ds=pdt=mv0所引起的振动，可视为所引起的振动，可视为以以v0=pdt/m，y0=0为初始为初始条件的自由振动：条件的自由振动：tveyrrtwwwsin0=tmpdteyrrtwwwsin=将荷载将荷载p(t)的加载过程的加载过程 看作一系列瞬时冲量：看作一系列瞬时冲量：)(sin)()(www=temdpdyrtr总反应总反应wwwdtemptyrttr)(sin)()(

25、)(0=+tyvtyerrrtwwwwwsincos000p(t)tddpds)(=tei=m例、例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为中在横梁处共计为m9.8kn ，加一水平力，加一水平力p=9.8kn，测得侧移，测得侧移a0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期t=1.5s 及一及一个周期后的侧移个周期后的侧移a1=0.4cm。求结构的阻尼比。求结构的阻尼比和阻尼系数和阻尼系数c。解：解：0335. 04 . 05 . 0ln21ln21

26、1=+kkyymnapk/10196005. 0108 . 9430=1189. 45 . 122=stw=wk2=wmc 2=wwm22cmsnmsn/2 .332/33220189. 4101960355. 024=（1）突加荷载突加荷载p0)sin(cos1 )(20ttemptyrrrtwwwwww=低阻尼低阻尼y- t曲线曲线无阻尼无阻尼y- t曲线曲线ysty(t)t02345y(t)t02345静力平衡位置具有阻尼的体系在具有阻尼的体系在突加荷载作用下，突加荷载作用下，最初所引起的最大最初所引起的最大位移接近于静位移位移接近于静位移yst=p0/m2的两倍，的两倍，然后逐渐衰减，

27、最然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡后停留在静力平衡位置。位置。（2）简谐荷载简谐荷载p(t)=fsint)34.15(sin22ll& &tmfyyyww=+设特解为：设特解为：y=asin t +bcos t代入（代入（15-3415-34）得）得：222222222222224)(2,4)(wwwwww+=+=mfbmfasincos21tctceyrrtwww+=+asin t +bcos t 齐次解加特解得到通解：齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变化。结论结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯：在简谐荷载

28、作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=asin t +bcos t =ypsin(t ) (15-35a)2122222222)(1)(2,4121wwaww=+=+=tgybaystp振幅振幅：yp，最大静力位移最大静力位移：yst=f/k=f/m2=stpyy2122222241+ww=stpyy2122222241+ww动力系数动力系数与频率比与频率比/和阻尼比和阻尼比有关有关4.03.02.01.001.02.03.0/=0=0.1=0.2=0.3=0.5=1.0几点注意：几点注意：随随增大增大曲线渐趋平缓，曲线渐趋平缓， 特别是在特别是在/=1附近附近的的 峰值下降的最为显