拉普拉斯变换及其性质

1、第5章连续时间LTI系统的复频域分析 5.1拉普拉斯变换 5.2拉普拉斯变换的基本性质 5.3拉普拉斯逆变换 5.4连续时间LTI系统的复频域分析 5.5连续时间LTI系统5.6系统方框图和信号流图5.7连续时间LTI系统的稳定性 5.8拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系#.1拉普拉斯变换5.1拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换个信号几）满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即COI f CO=F（询）严也co171 J-当函数/不满足绝对积条件时，则其傅里叶变换不一定存 在。此时，可采取给At）乘以因子eTo为任意实常数）的办法，这样 即得到一个新的时间函数/（Rep,使其满足条件H

2、m=0则函数f （Oe-即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存 在。可见因子e七起着使函数/收敛的作用办法，故称ep为收敛 因子。设函数f （Oe-满足狄里赫利条件且绝对可积（这可通过选取恰当的b值来达到），根据傅里叶变换的定义，贝U有Ff(ty-=rfWeJ0000-(b+j劲力它是b+j於）函数，可以写为F（b + j劲二如力JSF（b+j効的傅里叶反变换为mw =厂|%+询）=丄FQ+辺）严為2 历口)二丄FQ +询)严劲加2龙2+js,F(s) = f(Qestdt/=厉 La 弘用 dS二拉普拉斯变换的定义F(s)=C f(t)esJCD2+js)=厉L严)讹s二b+j S为

3、一复数变量，称为复频率。以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。正变换血上冲)卜占匚”)皿反变换记作/(/) 5 F(s), /(/)称为原函数，F(s)称为象函数 考虑到实际信号都是有起因信号所以F(c)二于e 一仞击采用0_系统，相应的单边拉氏变换为#.1拉普拉斯变换#.1拉普拉斯变换F(s) = Lf(t) =)12+ jsF(s)沁琢)MB找学St5.1拉普拉斯变换7琢)MB找学St5.1拉普拉斯变换三拉氏变换的收敛域收敛域：使FG)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；lim/(0e_cr0)恤

4、收敛区收敛轴收敛坐标0XX1/K/Z 乡乡 /. XXZ/WW#例信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标Ob)f5)(2)f(t) = cos a)otU(t)f(t) = eaTU(t) a0解：(1) limdg* =0fS要使该式成立，必须有C-8,故其收敛域为全S平面，=-00。(2) lima)e_o时该式成立，故其收敛域为S平面的右半开平西Ob=0o(3) lim cos(6y0r)e_0时上式成立，故其收敛域为s平面的右半开平面，5=0。(4) lim m lim“+力=0tsrco要使该式成立，必须有a+b0,即b_a。故其收敛域为-a以 右的开平面，53单位冲激信号L 5(0

5、= 5(0 cstd 21全域平直收敛L 0收敛域Re 0#!1!一些常用函数的拉氏变换17!1!一些常用函数的拉氏变换6.衰减的正余弦信号Leat sin(6?oOw(O=L 护f 一“讪）；=(12 j 5 + Cf jCD。 $ + tZ +=zy(s + a) +“oLeat cos(6?00u(0=L丄z+血+#5拠加1/1 1 、=(+)2 s + a- jG)u s + a + jo)s + a=7(s + tz) + G)q收敛域 Res oci 收敛域 Res -a#52拉普拉斯变换的基來惟质线性性质 延时特性 尺度变换特性 复频移特性 时域微分定理 时域积分定理初信定理和终

6、信定理 卷积定理一.线性性质若 LfSt) =片(s), L/2(0 = F2(s),K,KE常数 则LK/ (0 + K2f2 (0 = KXFX (s) + K2F2 (s)例：已知X二丄 乙(g 坊(s)=s +1($ + l)(s + 2)求土一 (0的拉普拉斯变换F(s)解:F(s) = Fi(s)-F2(s) =11_ s + 1_15 + 1 G + l)(s + 2) G + l)(s + 2) s + 219二.延时特性(时域平移)#lm)二 f($)L/(f 一 AC 一 )二 F (Q 注意: 一定是f(t- t0)u(t -心)的形式的信号才能用时移性质信号一定是右移t

7、0 0o表达式f (t)u(t - tQ f (t -tQ)U(t所表示的信号不能用肘移性质#二.延时性质（时域平移）21二.延时性质（时域平移）例:已知Pw0其余求 F(s)解：因为 f(t) = u(t) u(t 所以 F(s) = L/(0 = LW(O-Lw(z-r0)= -est = - (1 - est)s ss例：已知单位斜变信号t u（t）的拉普拉斯变换为4S求 = t f2(t) = (t-to)u(t 厶(/) =加(f (0),厶= （/ /%（/ 心）的拉普拉斯变换 解：4种信号的波形如图#二.延时性质（时域平移）#二.延时性质（时域平移）八,2 二（一，（）（，）23

8、二.延时性质（时域平移）只有信号办可以用延时性质S SS笃 G) = L(r-ro(O =片(s) =s恥)二L (-()】二丄小S坊(s) = Ltu(t-t0) = L(t-t0)u(t-to) + tou(t-t0)二巧(s) +乞二巴学ss时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。=fx (t)%(/) + fx (t - T)u(t - T) + ft - 2T)u(t -2T) F(s)=耳(s) + F、(s)eTs + 片s)e2Ts + 结论：单边周期信号的拉普拉斯变换等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以例:期冲击序列务的拉氏变换为13T(t)u(t) o _例已知

9、 f(t) = tu (L1)，求 F( 5)解:F(s) = L加(一1) = L(Z- 1(Z-1) + u(t 1)27二.延时性质（时域平移）#二.延时性质（时域平移）例 已知f(0=V2 cos(/ +求F(s)。4F(s)二sT+71T+75-11+7解:/（沪二迈 cost cos - a/2 sin sin = cos r - sin44#三.尺度变换若LM)卜 F(s)则L/(aZ) = -F(-)l(a0)a a肘移和尺度变换都有:1e 丿L/(-Z?)l = -F(-)e - ( 0# 0)a a29复频移特性a域平移）31#若 L/(0 = F(5)则 Lm)q = F

10、(s + a)例:求e_ar cos co0t的拉氏变换解： 已知：Lcos(q/)%(t) =所以cat cos(a)00w(0 分s + a (s + a) +同理:eat sin(y0Z)u(Z) o5(s+a)2 +&#六.时域积分定理五.时域微分定理Lf(0 = F(5)I畔卜弘）推广:L 警# =ssF(s)-f(O_)-HO_)= 52F(5)-5f(0_)-/0_)L盯”df= sF(s) f s”z 广)Q)r=0L/（0 = F（5）L/（T）dX|_J-CO$1 fO+ -coco匸/氏-y rr/d/jeAk = Jo Joc J co/dco0533六.时域积分定理例

11、：求图示信号的拉普拉斯变换解：#六.时域积分定理#六.时域积分定理=u(t)+ u(t -2)-w(Z-4)求导得2 = Lt)-u(t- 2)-|wa-2)-w(Z- 4)mg.s2所以F(s)=丄耳(s)二丄(1 严)2$2s35七.s若 L/(0 = F(5)L-/f(0 = dF(5)dsL (-0V(0，F(s)=pF(A)d2dr取正整数#dF(5)ds证明：对拉普拉斯正变换定义式求导得d /coQS=-f f(t)e-stdt= (T)/厂& as JJ-37常用形式：Lg)罟#A.初值定理和终值定理例 /(/) = /2w(/-l)解：因为 ut 1) csS所以2/1、d2

12、Z1 T、 _s/221、t 叭 _ 1) O vy (_ w ) = e (亏 + = + _) ds S555初值定理若/和 也拉氏变换存在，且/ oF(s) dt则 lim f(0 = /(0J = lim sF(s)F(s)为真分式/T()+STS初值存在的条件：当/vO时，/(0=0,且/不包含冲激信号及其各阶导数项 终值定理若的拉氏变换存在，且L/(0 = F(5)lim/() = limsF(s)终值存在的条件：sF(s)的所有极点有负实部395F(5)-/(0_) = Ld/W dr _ ro+d/(O sdt +dtA.初值定理和终值定理初值定理证明：由时域微分定理可知0-

13、drJOJo+ dt/(0+)一/(0_)+匸呛纭&#lim了 d尹drpd/lime-5ZSTSJ+ dtJ+ dr_STS-所以sF(s) = /(0+)+ drdt = Q41所以lim/=/(OJ = limsF(s)20+STS#A.初值定理和终值定理终值定理证明根据初值定理证明时得到的公式sF(s) = /Q)+丸 estd t+ Jo+ drlimsF(s) = /(O+ limSTO 丿八+丿STO Jo+甘= /(O+)+ lim/-/(O+)s#A.初值定理和终值定理43A.初值定理和终值定理/(O+)= limsF(s)s00F(s)为真分式#A.初值定理和终值定理#A.

14、初值定理和终值定理/(go) = lim sF(s)sF(s)的所有极点有负实部#A.初值定理和终值定理例I:确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值s 2山、8“、2?+10/(s)二 H(s) = V(5)=解：初值S(S + 2)52 +105 + 169 v 753(5 + 1)5 2i(0+) = lim $/($) = lim s=1STSSTS+ 2)终值z(oo)二 lim s/(s)二-1初值8s呱）=呢田（沪虬2+心+ 698sstO终值/z(go) = lim sH(s) = lim 二 05so 52 +10$+ 169注意应用终值定理的条件是满足的。45A.初值定理和终值定理A.初值定理和终值定理初值v(0+) = lim 5V(5)= lim5 COSTSs(2f+10)s3(s