高等数学教学资料定积分应用2

1、二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 ab 上任意作内接折线 ,0m1imimnmabyox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 ab 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iimm1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(12(p168)22)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)

2、曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 )ch(cxccxccsh1例例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0d

3、ch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxch机动 目录 上页 下页 返回 结束 cxbboy下垂悬链线方程为例例10. 求连续曲线段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2si

4、n2202cos22ta02a8机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoa2d222aa例例12. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(p349 公式39)212a21ln2102)412ln(24122aa小结 目录 上页 下页 返回 结束 xyoab四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积 (补充补充)设平面光滑曲线, ,)(1bacxfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsysd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfsbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积

5、元素:)(2xfxxfd)(12机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoab)(xfy abxxyo)(xfy abxsysd2d侧面积元素xyd2sdxdxyd2因为的线性主部 .若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积s 的 )(2ttttd)()(22s机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:侧面积为xryo例例19. 计算圆上绕在,21222rrxxxryxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 s .解解: 对曲线弧,2122xxxxry应用公式得212xxs22xr 2 122xrxxd21d2xxxr)(212xxr当球台高 h2r 时, 得球的表面积公式24rs机动 目录 上页 下页 返回 结束 1x2xozyx例例20. 求由星形线一周所得的旋转体的表面积 s .解解: 利用对称性2022sta3sin22 ttasincos32td2042