数值分析习题李庆杨第四章习题

1、第四章 数值积分与数值微分2、（1）120,84xd x nx 78=11=,t =0 +2+1=0.111402482kkhhffxf复化梯形公式 7781+=0=121=s =0 +4+2+186 =0.1115718kkkkhhffxfxf复化辛普森公式 ， 1034=12,4=2,t =0 +2+1=17.30600052kkxdx nhhff xf（ ） 1-04.xe dx、用辛普森公式求积分并估计误差 1-0-12-+6-0s=+4+=+4+626 =0.6323337.b aa bf aff beee 4404-11r= -18021802b ab affe误差 =0.0003

2、472,0,1 251=-+-2baff x dxb a f ab a、推导下列三种矩形求积公式：（ ）左矩形公式 =+-,f xaf xf afx aa x解：将在 处展开得 ,=+- =-+-bbbaaabaa bf x dxf a dxfx a dxb a f afx a dx两边在上积分， 有-a,xa ba b由于在上不变号，故由积分第二中值定理有， 2=-+-1=-+-2bbaabaf x dxb a f afx a dxf x dxb a f afb a使得从而有 ,=.baaa bfga bfg f ag注（积分第二中值定理）若在区间上为非负的单调递减函数，而 是可积函数，则存

3、在使得 21(2)=-2baf x dxb a f bfb a右矩形 1f xb解：公式同，将在 点处展开并积分， 3+3=-+-224bafa bf x dxb a fb a中矩形公式 +2a bf x解：将在展开得 2+=+-2221+ +-.,22a ba ba bf xffxa bfxa b 23+=-+-2221+ +-22+ -+-224bbaabaa ba ba bfx dx fb afxdxa bfxdxfa bb a fb a两边积分并利用积分中值定理有 100110110+.dxa f xa f xx、构造高斯型求积分公式230101,(x)=1,x,x ,ix xaafx

4、解：按照高斯型求积分公式定义，问题归纳为是否存在这样的和 ， ，使得当时积分公式精确成立或列方程组有解。1010001 12200113300111+=22x +=32x+=52x +=7aadxxaaxaaxaax 20120112=-=+c +c, .xx xx xxxxxc c设则求 ， 的问题转化为求注意到 2201001100102111 1222001 11001 120112=0.+=+c+c+c+c =+cx +c+22 =+c +2=053xxaxaxaxxa xxa xaxaaxaac有220001 110001021 111 123322001 1100112001 11

5、2+=+c+c+c+c =+cx+c+222 =+c +=0753a xxaxxa xxxaxxxa xaxaaxa xaxc12010 10116363c =-=-+ =-73573516161515=3-2=3+2,=1+,=1-75753636p1209ocxxx xxxaa得， 得，得：，或用例 方法3011=2 3sinxnexdx、用、的高斯勒让德公式计算积分3-13+1=+= +222tt解 做变换x31+20-1sin=sin+2xtexdxetdx则30=2sin0.5555556-0.7745967 +0.7745967 +0.8888889(0)=10.9484026xnexdxfff时，30=3sin0.3478