高等数学教学课件94

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1上次课回顾上次课回顾1. 微分定义微分定义:),(为例以yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要关系重要关系:)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续定义定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2多元函数的多元函数的极限存在、连续、可偏导、可微、极限存在、连续、可偏导、可微、偏导数连续偏导数连续之间的关系之间的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导极限存在极限存在机动机动 目

2、录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3二、可微的条件二、可微的条件3. 【充要条件充要条件】 0),(),(lim),(0 yyxfxyxfzyxfyx可微可微1、【必、【必要条件要条件】 2. 【充分条件充分条件】 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4【思考题】【思考题】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5回顾一元复合函数的求导法则回顾一元复合函数的求导法则的的导导数数为为且且可可导导，则则设设)(),(),(xfyxuufy 的的导导数数为为则则，且且设设)(),(),(),(xfydxdvdvdudxdudvdududydvdyx

3、vvuufy dxdududydxdy dxdvdvdududydxdy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6二、小结二、小结 思考题思考题一、链式法则一、链式法则目的要求：目的要求：掌握全导数公式与链式法则，掌握全导数公式与链式法则，熟炼掌握多元复合函数求导方法。熟炼掌握多元复合函数求导方法。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7一、链式法则一、链式法则1. 【中间变量均为一元函数】【中间变量均为一元函数】上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. .如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz u

4、vwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdzttuvtzt机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8)(),(ttfz定理定理. 若函数若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续处偏导连续, ),(vu在点在点在点 t 可导可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数则复合函数证证: 设设 t 取增量取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量则相应中间变量且有链式法则且有链式法则vutt有增量有增量u ,v ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9,0t令,0,0vu则有to)( 全导数公式

5、全导数公式 )tvvztuuztzto)()()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束10解解dxdvvzdxduuzdxdz xuvuevuvxcos)12()32(324 xxeeexxexxxxcos)sin12()sin3sin2(324 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束11【解【解1 1】tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costt

6、tet 自画链式图自画链式图【注意：】t既是中间变量也是自变量【解【解2 2】将】将u、v带入函数，据一元函数求导数带入函数，据一元函数求导数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12例例2 设函数设函数dxdyxyx求求sin解：解：xvxusin, 令令dxdvvydxduuydxdy vxuxysin则则xuuvuvvcos.ln1 .1 )lncos(sinsinxxxxxx 在一元函数在一元函数求导中的应用求导中的应用机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函

7、数的情况：是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 2. 【中间变量均为多元函数】【中间变量均为多元函数】链式图如右所示链式图如右所示uvxzxyy 多元复多元复合函数主要合函数主要偏导公式偏导公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14【解】【解】 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu)cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu)cossin(vvxeu 自画链式图自画链式图，)cos()sin(yxyxyexy ).cos()sin(yxyxxexy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束

8、结束15.,arctanyzyxvyxuuvz 求求设设uuvuvuv111)1()(1122222 22vuvu 22yxx yvvzyuuzyz 【练习】【练习】【解【解 】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束16zwvuyxxwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz 若函数若函数z有有多个自变量、多个自变量、同时同时有多个中间变量有多个中间变量如如推广推广机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束17,xfxuufxz .yfyuufyz 两者的区别两者的区别区别类似区别类似),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz 其

9、中其中3. .【中间变量既有一元又有多元函数的情形】【中间变量既有一元又有多元函数的情形】zyxuyx【定理【定理3 】变量关系为变量关系为：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18例例.,sin,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解解:xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2zyxyxuyu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束19解解 sz xzs

10、x teyxy221 tz xztx yzdtdytyxxseyxyt2112222 ttetset24221 ttetsstet2421)2( 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束20【解】【解】令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ; 21fyzf 【分析】求抽象函数的偏导数，一般要【分析】求抽象函数的偏导数，一般要先设中间变量先设中间变量. .21wzyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束21 zxw2)(21fyzfz ;221zfy

11、zf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束22 灵活应用多元复合函数的求导法灵活应用多元复合函数的求导法如函数如函数)(22yxfyz对自变量求导时，分别所用的方法是什么？对自变量求导时，分别所用的方法是什么？ 2222f)y(fyfyzxffyxz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束23.,),cos,(sin2yxzxzey

12、xfzyx 求求设设xfxzcos1 yxef 3)(2xzyyxz )sin(cos12yfx 13yxef )sin(32yf 33yxef yxe yxef 3【练习】【练习】【解】【解】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束24二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论可见无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数则复合函数)

13、(fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微都可微, , 其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样, 这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束25例例1 .,sineyxvyxuvzu.,yzxz求)cos()sin(e yxyxyx例例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解解:) (dd zuvudsine)cos()sin(eyxyxyyx)cos()sin(eyxyxyxzyx)cos()sin(eyxyxxyzyx所以vusinevvudcose)cos()sin(e yxyxyx)(dyx)(dy

14、x )cos()sin(eyxyxxyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束261、链式法则链式法则（分三种情况）（分三种情况）（特别要注意课中所讲的（特别要注意课中所讲的特殊特殊情况）情况）三、小结三、小结2、复合函数偏导数存在的复合函数偏导数存在的充分条件充分条件（外层函数（外层函数偏导连续偏导连续、内层函数、内层函数偏导存在偏导存在）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束27作业作业p82 2，3，5，9，12（3）。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束28思考与练习解答提示解答提示:p81 题7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx) 1(y12)(11yx22yxxy22vuup81 题7; 8(2); p130 题11vuyvuxyxz,arc