导数在经济中的应用ppt课件

1、1 1. 0 sin2)(23时时的的导导数数在在求求 xxxxxf解：解：)(sin)(2)()(23 xxxxf2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解：解：23x x4 .cos x sin2lnyxx sin2lnxx. 1)0( fcos2(2 ) lnxxx1sin2xx2cos2lnxx1sin2xx2.2 导数在经济中的运用1边沿分析案例三案例三 边沿本钱边沿本钱 设本钱函数为：设本钱函数为：( )CC xx其中为产量为产量设初始产量为：设初始产量为：0 x当产量由当产量由0 xx0()C x( )C x产量的改动量为：产量的改动量为：0 xx本钱的改动量为：本钱的改动量

2、为：0( )()C xC x本钱对产量的平均变化率：本钱对产量的平均变化率：00( )()C xC xCxx当产量的改动量很少的时候，即当产量的改动量很少的时候，即0 xx时时000( )()limxxC xC xxx假假设设存在，存在，那么称该极限值那么称该极限值为：为：产量为产量为0 x时的边沿本钱。时的边沿本钱。边沿本钱的解释：边沿本钱的解释：产量为产量为0 x时的边沿本钱指的是：时的边沿本钱指的是：当产量在当产量在0 x的根底上，再添加或减少一件产品时本钱的根底上，再添加或减少一件产品时本钱的变化量。的变化量。2、边沿收益：、边沿收益：解释：边沿收益是当销量为解释：边沿收益是当销量为x

3、 的根底上，再添加或减少的根底上，再添加或减少 一个单位产品时总收益添加或减少的数额。一个单位产品时总收益添加或减少的数额。收益函数收益函数( )R x的导数。的导数。3、边沿利润：、边沿利润： 利润函数利润函数( )L x的导数。的导数。解释：边沿利润是当销量为解释：边沿利润是当销量为x 的根底上，再添加或减少的根底上，再添加或减少 一个单位产品时总利润添加或减少的数额。一个单位产品时总利润添加或减少的数额。4、边沿需求：、边沿需求：需求函数需求函数( )Q p的导数。的导数。解释：边沿需求是当价钱为解释：边沿需求是当价钱为p 时，价钱上涨或下降一个时，价钱上涨或下降一个 单位时，需求量将减

4、少或添加的数量。单位时，需求量将减少或添加的数量。1、边沿本钱：、边沿本钱：本钱函数本钱函数( )C x的导数。的导数。解释：边沿本钱是当产量为解释：边沿本钱是当产量为x 的根底上，再增产或减产的根底上，再增产或减产 一个单位产品时需添加或减少的本钱。一个单位产品时需添加或减少的本钱。2.2.1 边沿本钱案例案例2.1设某产品设某产品Q单位的总本钱为单位的总本钱为2( )11001200QC Q 求消费求消费900单位时的总本钱、平均本钱及边沿本钱，单位时的总本钱、平均本钱及边沿本钱，并解释边沿本钱的经济意义。并解释边沿本钱的经济意义。解：解：当当Q=900时：时：9002900( )1100

5、1775;1200QC Q9001775( )1.97;900QC Q900900( )1.5.600QQQC Q总本钱：总本钱：平均本钱：平均本钱：边沿本钱：边沿本钱：当产量为当产量为900单位时，再添加或减产一单位，需添加或减少单位时，再添加或减产一单位，需添加或减少1.5单位的本钱。单位的本钱。案例案例2.22.2.2 边沿收益设某产品的价钱函数为设某产品的价钱函数为20,5QP 其中其中P为价钱，为价钱，Q为销售量，求：为销售量，求：1销售量为销售量为15单位时的总收益、平均收益与边沿收益；单位时的总收益、平均收益与边沿收益；2销售量从销售量从15单位添加到单位添加到20单位时收益的平

6、均变化率。单位时收益的平均变化率。解：解：1总收益：总收益：2( )205QRQ P QQ215(15)(20)2555QQRQ(15)255(15)171515RR152(15)(20)145QRQ(20)(15)1320 15RRRQ2.2.3 边沿利润案例案例2.3某工厂进展了大量的统计分析后，得出总利某工厂进展了大量的统计分析后，得出总利润润L(Q)与每月产量与每月产量Q的关系为：的关系为：2( )2505,L QQQ试确定每月产量分别为试确定每月产量分别为20t,25t时的边沿利润，时的边沿利润，并解释经济意义。并解释经济意义。解：解：20( )QL Q20(250 10 )QQ25

7、0 10 205025( )QL Q25(250 10 )QQ250 10 250经济意义：经济意义：当每月产量为当每月产量为20t时，再添加一吨，利润将添加时，再添加一吨，利润将添加50元。元。当每月产量为当每月产量为25t时，再添加一吨，利润不变。时，再添加一吨，利润不变。结论：结论：并非产量越大，利润就越高！并非产量越大，利润就越高！2.2.4 边沿需求案例案例2.4某商品的需求函数为某商品的需求函数为2( )75,Q PP求求P=4时的边沿需求，并阐明其经济意义。时的边沿需求，并阐明其经济意义。解：解：( )2Q PP 当当P=4时的边沿需求为：时的边沿需求为：4( )2 48PQ P

8、 经济意义：经济意义：当价钱为当价钱为4时，价钱上涨或下降时，价钱上涨或下降1单位，需求量将单位，需求量将减少或添加减少或添加8单位。单位。2.2 导数在经济中的运用2最优化问题一、一、 函数单调性的断定法函数单调性的断定法假假设设定理定理 1. 设函数设函数)(xf0)( xf那么那么 在在 I 内单调递内单调递增增)(xf( )0),fx(递减递减) 。在开区间在开区间 I 内可导内可导,2.4 函数单调性分析函数单调性分析引例引例1. 确定函数确定函数31292)(23xxxxf的单调区间的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf

9、 )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减区间为).2,1 (12xoy122( )618120fxxx令令( )0fx 得到的解称为驻点。得到的解称为驻点。例如：对函数例如：对函数31292)(23xxxxf令令得得1,2xx称为函数称为函数f(x)的驻点。的驻点。1,2xx二、二、 驻点稳定点驻点稳定点案例案例2.2续续设某产品的价钱函数为设某产品的价钱函数为20,5QP 其中其中P为价钱，为价钱，Q为销售量，求：为销售量，求：3收益函数的增区间及减区间。收益函数的增区间及减区间。解：解： 由由1可知总收益函数为：可

10、知总收益函数为：2( )205QRQ P QQ2( )205R QQ令令( )0,R Q 50.Q 驻点驻点Q( )R Q( )R Q0,5050,（）结论：销售量为结论：销售量为0到到50时，总收益是随销售量的添加而添加，但时，总收益是随销售量的添加而添加，但 在销售量大于在销售量大于50，总收益却随着销售量的添加而减少。，总收益却随着销售量的添加而减少。50010AB定义定义 . 设函数设函数)(xf在区间 I 上延续 ,21Ixx(1) 假设恒有,2)()()2(2121xfxfxxf那么称的)(xf图形是凹的;(2) 假设恒有,2)()()2(2121xfxfxxf那么称的)(xf延续

11、曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点 .图形是凸的 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox三、曲线函数的凹凸性与拐点三、曲线函数的凹凸性与拐点定理定理2.(凹凸性断定法凹凸性断定法)(xf(1) 在在 I 内内,0)( xf那么那么 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的 ;)(xf(2) 在在 I 内内,0)( xf那么那么 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的 .)(xf设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数xxy24362 )(3632xx引例引例2. 求曲线求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点.解解:1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0

12、 y得,03221xx对应3) 列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132四、函数的极值及其求法四、函数的极值及其求法定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 那么称 为 的极大点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 那么称 为 的极小点 ,0

13、 x)(xf称 为函数的极小值 .)(0 xf极大点与极小点统称为极值点 .极值第一判别法极值第一判别法,)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左正右负左正右负 ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左负右正左负右正 ,.)(0取极大值在则xxf点击图中恣意处动画播放暂停留意留意:2) 对常见函数, 极值能够出如今导数为 0 或 不存在定义的点.1) 函数的极值是函数的部分性质.31292)(23xxxxf例如例如1x为极大点 , 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小点 , 12xoy12设函数设函数 在点

14、在点)(xf0 x处有二阶导数，处有二阶导数，0)(0 xf1假设假设 ，那么，那么 在在 获得极大值；获得极大值；0)(0 xf)(xf0 x2假设假设 ，那么，那么 在在 获得极小值。获得极小值。0)(0 xf)(xf0 x0()0fx ，且且那么那么极值第二判别法常用极值第二判别法常用,)(上连续在闭区间若函数baxf那么其最值只能在极值点或端点处到达 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf,

15、)(,mxf, )(af)(bf四、四、 闭区间延续函数的最值闭区间延续函数的最值引例引例3. 求函数求函数32( )23122f xxxx在区间在区间2,4上的最大值与最小值。上的最大值与最小值。解：解：2( )6612fxxx6(2)(1)0 xx驻点驻点122,1xx ( )126fxx将将-2和和1代入代入( 2)1226180f (1)12 16180f ( 2)22f (4)130f(1)5f max(4)130ffmin(1)5ff 步骤步骤1：求驻点：求驻点步骤步骤2：求二阶导数：求二阶导数步骤步骤3：判：判别极值别极值步骤步骤4：求极值：求极值步骤步骤5：确定最值：确定最值极大值极大值极小值极小值区间端点值区间端点值案例案例2.5平均本钱最小化问题平均本钱最小化问题设每月产量为设每月产量为x吨时，总本钱函数为吨时，总本