概率统计教学资料第4章中心极限定理

1、10/21/20211一、正态分布的定义一、正态分布的定义二、正态分布的数字特征二、正态分布的数字特征三、正态分布性质三、正态分布性质四、中心极限定理四、中心极限定理第四章第四章 正态分正态分 布布中心极限定理中心极限定理基本内容：基本内容：10/21/20212正态分布是最重要的概率分布正态分布是最重要的概率分布( (原因原因) )：(1) 很多随机现象可用正态分布描述或近似描述很多随机现象可用正态分布描述或近似描述, ,例如测量误差、学生成绩，人的身高、体重等例如测量误差、学生成绩，人的身高、体重等大量随机现象可以用正态分布描述大量随机现象可以用正态分布描述.(2)(2)一般地一般地, ,

2、大量独立随机变量的和近似地服从大量独立随机变量的和近似地服从正态分布正态分布.(.(中心极限定理中心极限定理) )(3)(3)某些常用分布某些常用分布( (如卡方分布如卡方分布, ,t分布分布, ,f分布等分布等) )是由正态分布推导得到的是由正态分布推导得到的. .问题：在问题：在n次独立重复试验（即次独立重复试验（即n n重伯努利试验重伯努利试验) )中中，p为一次试验中事件为一次试验中事件a发生的概率，记发生的概率，记n 为为n次次试验中事件试验中事件a发生的次数，发生的次数，10/21/20213则则n b(n, p)()np()kkn knnkkpkc p q 试验次数试验次数n较大

3、时，计算相当困难，有没有近似计较大时，计算相当困难，有没有近似计算的方法？算的方法？回顾泊松定理：回顾泊松定理： 当n充分大, p很小 (p0.1), 即 =np比较适中时，npekkk其中,!()kkn knnkpc p q 看上去简单一点，但仍然是一串很长和式，有没有近看上去简单一点，但仍然是一串很长和式，有没有近似计算的方法？似计算的方法？分别取分别取n=6,20,50,100, p=0.3 的二项分布图的二项分布图10/21/20214 当当n越来越大时，二项分布的概率值渐进为正越来越大时，二项分布的概率值渐进为正态曲线，标准化以后即为标准正态分布曲线。态曲线，标准化以后即为标准正态分

4、布曲线。即即棣莫弗棣莫弗- -拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理10/21/20215定理定理.棣莫弗棣莫弗- -拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 若随机变量若随机变量 n 服从参数为服从参数为n, p的二项分布，则的二项分布，则则对于任何实数则对于任何实数x，有，有xpnpnppnn)-(1lim.dtext)(x2221定理表明，当定理表明，当n充分大时，二项分布的随机变量充分大时，二项分布的随机变量n 的标准化变量近似服从标准正态分布，即的标准化变量近似服从标准正态分布，即而而 n近似服从近似服从n (np, np(1-p).) 1 , 0(n近似)-(1 pnpnpn10

5、/21/20216例例7.7.某种难度很大的心脏手术成功率为某种难度很大的心脏手术成功率为0.90.9，对，对100100名患者进行这种手术，以名患者进行这种手术，以x x记手术成功的人数记手术成功的人数. .(1)(1)求求p(84p(84x 95););(2)(2)求求p(xp(x90).).解解: (1)由题意知由题意知xb(100,9), e (x)=n p=1000.9=90，d (x)=n p(1-p)=1000.90.1=9，)9584( xp)3909539039084(xp)67. 13902(xp)2()67. 1 (1)2()67. 1 (9297. 019772. 09

6、525. 010/21/202171ninix 设设nb(n, ,p),), n表示表示n次试验中事件次试验中事件a出现的次数，出现的次数，n可以分解为一系列随机变量之和可以分解为一系列随机变量之和 ), 2 , 1(., 0, 1nixi不不出出现现a a次次试试验验中中i i在在第第出出现现a a次次试试验验中中i i在在第第；其中其中其中xi为第为第i次试验中事件次试验中事件a出现的次数，即出现的次数，即根据棣莫弗根据棣莫弗- -拉普拉斯中心极限定理，当拉普拉斯中心极限定理，当n n充分大时，充分大时，独立同分布于独立同分布于b(1,p)的随机变量的随机变量x1，x2，xn，其和，其和x

7、1+x2+xn近似服从正态分布。近似服从正态分布。启示：启示： x1，x2，xn只是独立同分布的随机变量，只是独立同分布的随机变量，是否有类似结论？是否有类似结论？10/21/20218独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 设随机变量设随机变量x1,x2,xn,相互独立相互独立, 服从同一分服从同一分布布，且有的数学期望，且有的数学期望 和方差和方差 ，则随机变量，则随机变量 的分布函数的分布函数 满足如下极限式满足如下极限式*1niinxnyn( )nf x22121lim( )lim( )2ntixinnnxnf xpxedtxn 10/21/20219定理的应用定理的应用：对

8、于独立的随机变量序列对于独立的随机变量序列 ，不管，不管 服从什么分布，只要它们是同分布，服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这充分大时，这些随机变量之和些随机变量之和 近似地服从正态分布近似地服从正态分布nx(1,2, )ix in1niix2,n nn1 n(0,1)niixnn近似 n(0,1)/xn近似2 n( ,/ )xn 近似或另一种形式：另一种形式：10/21/202110 客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小相

9、互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。正态分布。 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。 由正态分布的线性组合性质知，相互独立的随机变量由正态分布的线性组合性质知，相互独立的随机变量的和仍服从正态分布。在某些相当一般的条件下，很多个的和仍服从正态分布。在某些相当一般的条

10、件下，很多个相互独立的非正态的随机变量（不管它们的分布如何）的相互独立的非正态的随机变量（不管它们的分布如何）的和近似服从正态分布。和近似服从正态分布。由题意由题意 相互独立且服从同一分布，且相互独立且服从同一分布，且10/21/202111例例6.6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间( (以分计以分计) )是相互独立的随机变量，均值为是相互独立的随机变量，均值为1.51.5，方差为，方差为1.1.(1) (1) 求对求对100100位顾客的总服务时间不多于位顾客的总服务时间不多于2 2小时的概率；小时的概率；(2) (2) 要求总的服务

11、时间不超过要求总的服务时间不超过1 1小时的概率大于小时的概率大于0.95,0.95,问问至多能对几位顾客服务。至多能对几位顾客服务。10021,xxx解：解：(1)xi表示第表示第i位顾客的服务时间位顾客的服务时间,i=1,2,100)100, 2 , 1(, 1)(, 5 . 1)(ixdxeii1001100)(1001iixd,1505 . 1100)(1001iixe)120(1001iixp)1015012010150(1001iixp0013. 0)3(1)3(10/21/202112例例6.6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的

12、时间( (以以分计分计) )是相互独立的随机变量，均值为是相互独立的随机变量，均值为1.51.5，方差为，方差为1.1. (2) (2) 要求总的服务时间不超过要求总的服务时间不超过1 1小时的概率大于小时的概率大于0.95,0.95,问至问至多能对几位顾客服务。多能对几位顾客服务。解：解：(2)设能对设能对n位顾客服务，按题意需要确定最大的位顾客服务，按题意需要确定最大的n，使，使95. 0)60(1niixp)5 . 1605 . 1(1nnnnxpnii)60(1niixpnnxdnii1)(1, 5 . 1)(1nxenii95. 0)5 . 160(nn,645. 15 . 160n

13、n即, 060645. 1.5n1n6 .33n33n10/21/202113二、掌握非标准正态分布向标准正态分布的转化，内容小结内容小结;)(. 1xe期望一、掌握正态分布的密度函数和分布函数及其图像及性质； 三、掌握正态分布的数字特征；.)(. 22xd方差会利用标准正态分布表，求正态分布的概率；10/21/2021143(3(线性组合性线性组合性).).设且x、y相互独立, 则四、熟悉正态分布的性质nxxx,21, 2 , 1),(2ninxiii),(2nx).,(22bbanbxay则1 (线性性线性性). 若),(),(22yyxxnynx).,(22yxyxnyx2 (可加性可加

14、性). 设相互独立，且则).,(12211niiiniiiniiiccnxc五、了解中心极限定理, 并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率 10/21/202115作业作业习题四(p114): 1、2、4、10、11 15、16、18 10/21/202116则x的数学期望为_; x的方差为_.备用题备用题1221)(xxexf22)21(2)1(2121)(xexf1.1. 已知连续随机变量x的概率密度函数为分析：分析：经过整理得故e(x)=1, d(x)=1/2.),)21( , 1 (x2n由此可见10/21/2021172.2. 已知独立,且yxnynx,),16, 0(),3, 1

15、 (2,23yxz设)5, 1 (.);5,31(.);2,31(.);2 , 1 (.ndncnbna则z服从（ ）分布.因为x, y相互独立，根据正态分布的性质分析：分析：且服从正态分布,23yxz.31021131)(21)(31)(yexeze. 51641991)(41)(91)(ydxdzd故选c.10/21/2021183.3. 设随机变量x与y均服从正态分布：)5,(),4,(22nynx).(),5();4(21则而yppxpp.21212121ppd.ppc.ppb.ppa.都有对任何实数才有的个别值只对都有对任何实数都有对任何实数，10/21/202119分析：分析：)

16、1() 14()4(1xpxpp) 15(1) 15()5(2ypypypp) 1 (1 ),1 (1) 1(而故选b.21pp 即)5,(),4,(22nynx由10/21/2021204.4.,100, 1),20, 0(,1001iuxxxi且相互独立设，)9582. 0)3().1100(,1001查表求令xpxxii310012)020()(,10)(2iixdxe解：解：得3100)(,3100)(,1000)(1001210011001iiiiiixxdxe),20, 0(,1001uxxxi且相互独立由，(2+2)10/21/202121)31001000110031001000(1xp)331001000(1xp)3(1 由独立同分布的中心极限定理，)1100(xp.0418. 0)1100(1xp10/21/2021225.5. 某保险公司多年的统计资料表明:在索赔户中被盗索赔用户占20%，以x表示在随机调查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.(1) 写出x的概率分布；(2) 利用德莫佛-拉普拉斯定理, 求被盗索赔户不少于1