第2章拉氏变换与反变换

1、第二章拉氏变换与反变换拉氏变换解微分方程，可将微积分运算转化为代数运算，且能表明初始条件的影响；采用拉氏变换，能 将微分方程方便地转换为系统的传递函数，也便于设计控制系统。一、拉氏变换的定义设f(t)是以时间t为自变量的实变函数，t 0 (定义律)，那么f(t)拉氏变换的定义为：F(s) Lf(t)0 f(t)estdt(2-1)式中：S是复变数：SJw(可用点、向量、三角(指数)表示)e stdt 拉氏积分0F(s)函数f(t)的拉氏变换，为一复变函数，也称象函数。f(t)原函数L拉氏变换的符号拉氏反变换11jstf(t) L F(s) j F(s)e ds(2-2)式中：L 1拉氏变换的符

2、号上二式表明：拉氏变换是在一定条件下，能将一个实数域中的实变函数转换成一个在复数域中与之等价的复变函数，反之亦然。、几种典型函数的拉氏变换1 单位阶跃函数1 (t)的拉氏变换如图所示，单位阶跃函数定义为01(t) 1表示在t=0时突然作用于系统的一个幅值为1的不变量。拉氏变换为：1单位阶跃函数F(s) L1(t)01(t)e stdt est0s(2-3)110 (-)-ss若幅值为K,则LK 1(t)KS其反变换为：f(t) L1(t)2 指数函数f (t)ef(t) e t1F(s)S1 1L L e(t 0)的拉氏变换(2-4 )(2-5 )(2-6)(t 0)(2-7)3正弦函数与余弦

3、函数的拉氏变换f (t) si nwtF(s)wS2 w2(2-8 )f (t) cos tF(s)SS2w2(2-9 )4 .单位脉冲函数3的拉氏变换 如图所示，单位脉冲函数的数学表达式为：1/0(t 0 和 t)(t)1lim(0 t )0其拉氏变换为0 单位脉冲函数(2-10)f(t)0 (t 0)t (t 0)(S) 1反变换：L 11 t5 单位速度函数的拉氏变换(又称斜坡函数)其拉氏变换为F(s)1S2(2-11)反变换L1S2(t 0)(2-12)6 .单位加速度函数的拉氏变换f(t)丄t2(t 0) t 0F(s)1S3It7.幕函数的拉氏变换(2-13 )(2-14 )(2-

4、15 )n!sn 1(2-16 )三、拉氏变换的主要定理1 .迭加定理拉氏变换是一种线性变化1）齐次性L f (t) F (s)(2-17 )式中，为常数2）迭加性令 Lf1(t) F1(s), Lf2(t)F2(s)则 Lf1(t) f2(t) F1(s) F2(s)(2-18 )也即 L ,) f2(t)F1(s)F2(s)2 微分定理若 Lf (t) F(s)ddtf(t) e stdtststdf (t) e f(t)S0f (t)e stdtSF(s)f (0)(2-19 )同理可得L d2f(t)dt22S2F(s) Sf (0) f (0)d3f(t)dt3S3F(s) S2f

5、(0) Sf (0)f (0)dnf(t)dtnSnF(s) Sn 1 f (0)Snf (0)(n 1(0)(2-20 )1 f (n 1)()(2-21 )若函数f(t)及其各阶导 数的初始值均为零，则上式可变为:Lf (t) SF(s)Lf (t) S2F(s)Lf n(t) SnF(s)3.积分定理若 Lf (t) F(s)则1iL f(t)dt F(s) f ( 1)(0)SS式中 f(1)(o)积分 f(t)dt在t=0时刻的值。当初始条件为零时1L f(t)dt F(s)对多重积分：11( 1)L f(t)dt-F(s)-f ()(0)SS当初始条件为零时1 L f(t)dt F

6、(s)S4 .延迟定理(实数域中的位移定理)设 L f (t) F (s)，且 t0 时，f(t)=0则sTLf (t T) e F(s)说明：函数f (t T)为原函数f(t)沿时间轴向右平移T。5 .位移定理（复数域中的位移定理）(2-22 )Le tf(t) F(s a)例：Lcos tST22S wLe at cos tS a2 2 (s a) w6 初值定理表明原函数t 0时的数值lim f (t) lim sF (s)t 0s7 .终值定理设 L f (t) F (s)，且 lim f(t)存在，则stim f(t) f( ) lsi叫 sF(s)8 .卷积定理设 Lf (t) F

7、(s), Lg(t) G(s)(2-23 )(2-24 )则 Lf (t)g(t) F(s)G(s)t式中，卷积 f (t) g(t) 0 f (t )g( )d(2-25 )四、应用拉氏变换解线性微分方程步骤：1.对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使之成为2 .解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；S的代数方程;3 .用拉氏反变换得到微分方程的时域解。（一）部分分式法极点：在控制理论中，常遇到的象函数是S的有理分式（n m ）mm 1B(s)bSmsF(s)n 百A(s)aSna1Sbm 1 S bm an 1 S a n为了将F (s)写成部分分式，首先将F (s)的分母因式分解，则

8、有bm 1 S bm(S P1)(S P2) (S Pn)式中，P1, P2, , Pn是A(s) 0的根，称为F(s)的极点。A1SP1式中，Ai是待定系数,bSm dSm1(S R)(SA2SP2其求法如下:bm 1 S bmP2) (SAnSPnPn)Aii 1 SPi(2-26)1 . F(s)的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换,AiF(s)(S Pi )s Pi再根据拉氏变换的迭加原理，求原函数nf(t) L 1F(s) L 1Aii 1 S RAie Pt例：求F(s)S(S2 SS 的原函数6)F(s) S(S 3)( SA2S 3解：首先将分母因式分解2S2 S 22)AiF

9、(s)SsA2F(s)(SA3F(s)(SS2 SS(S3)s32)s 23)(S2)S2 SS(S 3)(S邪3)15& S 2 (s S(S 3)(S 2)2)SF(s)1181413 S 155 S 2f(t) L 1F(S)L1(拎L嗥占心占8 3te154 2te5(t 0)2 . F(s)含有共轭复数极点时的拉氏反变换方法：如果F (s)有一对共轭复数极点 P1 , P2，其余极点均为各不相同的实数极点。将F(s)展开成：bSm dSm1F(s) (S PJ(S P2)(S P3)bm 1 Sbm(SA1S A2(S R)(S P2)A3S P3nPn式中，A1和A2可按下式求解F

10、(s)(S P1)(S P2)或Sp1A1SP2A2或SP1P2(2-27)A2两常数。例:已知F(S)s 1S(S2 Se，求f(t)解:先因式分解F(s)s1S(S ； j )(S2 2A0A1SA21S2由于(2-27 )两边都是复数，令等号两边的实、虚部相等得两个方程式，联立求解即得 A1，A0F(s)Sss 1S(S2 S1)-AS1 . 32 j2A2S.3 j-21 .3j2 21 . .32 jT、.3j)A2利用方程两边实、虚部分别相等，可得2(AiA2)(A1A2)解得：Ai1 , A2 0F(s)SS2 S 1上式在拉氏变换表上仍然查不到,故将上式再作适当变换;查表1F(

11、s) SSS2 S 1s(S 丄)2(山)22 2(S(Sf(t) LL11t1S2.3 2()2(S1_2丄)2、2 2 3 2 ()2S 1 22)2S(S2123,S21)2S 1)S丄2 丄)2(今22 21 _ -_2tv3cos t 0.57 e sin t2 2L1(S1L 1 0.57 (S_21)2(于)2(t 0)3 . F (s)中含有重极点时的拉氏反变换设A(S) 0有r个重根，则bm 1S bm(S Po)r(S Pr 1) (S Pn)展开A01A02A0rAr 1Anr(S Po)1(S Po)S PoS Pr 1S PnAn的求法与单实数极点情况下相同式中，Ar

12、 1 , Ar 2 ,A1 , A02 ,Ar的求法如下:AoiF(s)(s PO)rs PoA02A03 F(s)(sds1 d22F(s)(s2! ds2P0)rsPoZsP(r(ri)!i)莎F(s)(sPo)rls Po(2-28 )则f(t)L1F(S)A01t (r 1)A02$ 2)(r 1)!(r 2)!(t0)例:求 F(s)S 32的拉氏反变换(S 2) (S 1)解：先将F(s)展开为部分公式Ar 1e tPr 1AneRtF(s)Aoi(S 2)2A02(S 2)A03S 1求系数:A02(SgdsS 322) (S2)22(S 2) (S2)2S(S 3)(S1) (

13、S 3)(S1)(S 1)2S 32(S 2) (S 1)(S1)F(s)(S 2)查拉氏变换表得：f (t) (t 2)e 21 2e t (t 0)(二)用拉氏变换解线性微分方程例：设系统微分方程为：2兽 5 蚁 6xo(t) x(t) dtdt若Xi(t)1(t)，初始条件分别为Xo(O)、xo(0)，试求xo(t)解：对微分方程左边进行拉氏变换：(利用拉氏变换微分性质)d2xo(t)dt22S Xo(S) Sxo(O) Xo(O)L 5dXo5SXo(S) 5x(o)dtL6xo(t) 6Xo(S)利用迭加定理有：.d%(t) dt25沁dt6xo(t)2=(S2 5S 6)Xo(s) (S 5)Xo(o) x(o)对方程右边进行拉氏变换:LXj(t)1L1(t)2得: (S 5S16)Xo(s) (S 5)Xo(o)Xo(o)-Xo(S)11 (S 5)xo(o)xo(o)S2 5S 6 SS2 5S 61(S5)Xo(O)Xo(O)S(S 2)(S 3)(S 2)( S3)AiA2A3B1B2S S 2 S3S 2 S3求待定系数:11AiSS oS(S2)(S3)611A2(S2) s 2S(S2)(S3)712111A3:(S3) S 3S(S2)(S3)13Bi(S 5)x(0)