河海大学理学院高等数学118正弦级数和余弦级数

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第四节 正弦级数与余弦级数(2) 高等数学（下）高等数学（下）一、奇函数和偶函数的傅里叶级数(1)(1)当周期为当周期为 2的奇函数的奇函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数时时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann定理定理 一般说来一般说来, ,一个函数的傅里叶级数既含有一个函数的傅里叶级数既含有正弦项正弦项, ,又含有余弦项又含有余弦项. .但是但是, ,也有一些函数的也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者余弦项傅里叶级数只含有正弦项或

2、者余弦项. .只含有只含有正弦项正弦项(或余弦项或余弦项)的三角级数称为的三角级数称为正弦级数正弦级数(余余弦级数弦级数). 高等数学（下）高等数学（下）( (2 2) )当当周周期期为为 2的的偶偶函函数数)(xf展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数时时, ,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为), 2, 1(0), 2, 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann证明证明,)()1(是是奇奇函函数数设设xf nxdxxfancos)(10 ),3,2, 1 ,0( n奇函数奇函数 0sin)(2nxdxxf),3,2, 1( n nxdxxfbnsin)(1偶函数偶函数 高等数学（下）高

3、等数学（下）于是于是), 2 , 1 , 0(, 0 nan解解 高等数学（下）高等数学（下） 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn),2,1( n 2 2 3 3xy0和函数图象和函数图象 高等数学（下）高等数学（下）f（x）的的 f级数：级数：,), 2, 1, 0()12(处不连续处不连续在点在点 kkx2)0()0( ff收敛于收敛于2)( , 0 ),() 12(xfkxx处收敛于在其它点.sin)1(211 nnnxn),3,;( xx)(xf 高等数学（下）高等数学（下）)5sin514sin413

4、sin312sin21(sin2xxxxxy xy 观观察察两两函函数数图图形形 高等数学（下）高等数学（下）例例 2 2 将将周周期期函函数数tetusin)( 展展开开成成傅傅氏氏级级数数, ,其其中中e是是正正常常数数. .解解 所给函数满足狄利克雷收敛条件所给函数满足狄利克雷收敛条件, , 在整个数轴上连续在整个数轴上连续. .,)( 为偶函数为偶函数tu, 0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2e 0sin2tdte,4 e), 2 , 1( n 高等数学（下）高等数学（下） 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdtte 0)1sin()1sin(dttn

5、tne 12, 02, 1)2(42knknke当当当当),2,1( k 01)1cos(1)1cos(ntnntne)1( n:注注意意.,的的化化简简问问题题关关于于傅傅氏氏系系数数nnba 高等数学（下）高等数学（下） 01cos)(2tdttua 0cossin2tdtte, 0 )(tu)( t.142cos21212 nnnte 高等数学（下）高等数学（下）二、函数展开成正弦级数或余弦级数).(2, 0)(xfxf函函数数为为周周期期的的延延拓拓成成以以上上定定义义在在设设 ,0)(0)()( xxgxxfxf令令),()2(xfxf 且且. 偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓 高等数学（下

6、）高等数学（下）奇延拓奇延拓: :)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxf则则xy0 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf 1sin)(nnnxbxf)0( x 高等数学（下）高等数学（下）偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxf则则的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 高等数学（下）高等数学（下）例例 3 3 将将函函数数)0(1)( xxxf分分别别展展开开成成正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数. .解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. .,)(进进行行奇奇延延拓拓对对xf 0sin)(2nxd

7、xxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn) 1)(1(1 2nn 高等数学（下）高等数学（下）)0( x5sin) 2(514sin43sin) 2(312sin2sin) 2(2xxxxxy 1 xy1sin)1)(1(1 21nnnxnx 高等数学（下）高等数学（下）(2)(2)求余弦级数求余弦级数. .,)(进进行行偶偶延延拓拓对对xf 00)1(2dxxa,2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nnnxnxnncos1)1(212112)0( x1)1(22nn 高等数学（下）高等数学（下）1 xy)7cos715cos513cos31(cos4

8、12222xxxxy 高等数学（下）高等数学（下）三、小结1 1、基本内容、基本内容: :奇函数和偶函数的傅氏系数奇函数和偶函数的傅氏系数; ;正弦级数与余正弦级数与余弦级数弦级数; ;非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓; ;2 2、需澄清的几个问题、需澄清的几个问题.(.(误认为以下三情况正确误认为以下三情况正确) )a.a.只有周期函数才能展成傅氏级数只有周期函数才能展成傅氏级数; ;2, 0.的的傅傅氏氏级级数数唯唯一一展展成成周周期期为为上上在在 b).(,.xfc级级数数处处处处收收敛敛于于值值点点时时上上连连续续且且只只有有有有限限个个极极在在 高等数学（下）高等数学（下）思考题思