2.可积的条件

1、 2可积条件（3时）必要条件 :定理 1在区间上有界 .充要条件 :1. 思路与方案 :思路 :鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和 .用相应于分法 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限 , 且与分法 及介点 无关的条件 .方案 :定义上和和下和.研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件.2.Darboux 和:以下总设函数在区间上有界 .并设,其中和分别是函数在区间上的下确界和上确界.定义 Darboux 和,指出 Darboux 和未必是积分和.但 Darboux和由分法唯一确定 .分别用、和记相应于分法的上（大）和、下（小）和

2、与积分和 .积分和是数集 ( 多值 ) .但总有,因此有.和的几何意义 .3. Darboux 和的性质 :本段研究 Darboux 和的性质 , 目的是建立Darboux 定理 .先用分点集定义分法和精细分法:表示是的加细 .性质1若,则,.即:分法加细,大和不增 ,小和不减 .(证 )性质2对任何,有,.即:大和有下界, 小和有上界 .(证 )性质 3对任何和,总有.即:小和不会超过大和 .证.性质 4设是添加个新分点的加细 .则有+,.证设是只在中第个区间内加上一个新分点所成的分法,分别设,.显然有和.于是.添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次.即证得第二式 .可类证第一式 .系设分

3、法有个分点，则对任何分法，有，.证.4.上积分和下积分 :设函数在区间上有界 .由以上性质2 ，和.有上界 ，有下界 .因此它们分别有上确界和下确界定义记,.分别称为函数在区间上的上积分和下积分 .对区间上的有界函数,和存在且有限 ,并且对任何分法,有.上、下积分的几何意义例 1求.和.其中是Dirichlet函数 .5. Darboux 定理 :定理 1设函数在区间上有界 ,是区间的分法.则有=,=.证( 只证第一式 .要证:对使当时有.是显然的 .因此只证. ),对,使设有个分点 ,对任何分法,由性质 4 的系,有,由*式,得即亦即.于是取,(可设,否则为常值函数,=对任何分法成立. )对

4、任何分法,只要,就有.此即=.6. 可积的充要条件 :定理 2（ 充要条件 1 ）设函数在区间上有界 .=.证设=,则有=.即对使当时有|对成立.在每个上取,使,于是 ,| = .因此,时有|+|+= .此即=.由 Darboux 定理 ,=.同理可证=.=.对任何分法,有,而=.令定理3和的共值为有界 .,由双逼原理对=.证()=0.即对时,.,由,=.定义称为函数在区间上的振幅或幅度.易见有定理 3(0.可证充要条件 2 )=有界 .对.定理 3 的几何意义及应用用下法构造分法:Th 3的一般方法:为应用Th 3,通常当函数在区间上含某些点的小区间上作不到任意小时,可试用在区间上的振幅作的

5、估计 ,常值函数)有.此时 ,倘能用总长小于的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间,否则为的端点作为分法的一部分分点，在区间的其余部分作分割，使在每个小区间上有,对如此构造的分法,有.定理R可积函数的特征)设在区间上有( ( )界 .对和,使对任何分法 ,只要,对应于的那些小区间的长度之和.证,在区间使对任何分法上可积 ,只要对,和就有.对的区间总长小于此时有=例讨论 Dirichlet函数在区间上的可积性 .三 可积函数类：1闭区间上的连续函数必可积：定理5（证）2闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积.定理6（证）系 1闭区间上按段连续函数必可积.系 2设函数在区间上有界且其间断点仅有有限个聚点,则函数在区间上可积 .例 2判断题 :闭区间上仅有一个间断点的函数必可积.()闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积.()闭区间上的单调函数必可积（）定理7（证）例 3证明在上可积.关于可积性的更一般的充分条件为:Th闭区间上的正规函数( regulatedfunction )是可积的 .参阅:S . K . Berberian ,Regulatedfunction :Bourbaki salt