曲线运动运动的分解与合成

1、精心整理曲线运动、运动的分解与合成一、考点突破运动的分解与合成：全方位理解运动的合成与分解的方法及运动的合成与分解在实际问题中的 应用。运动的合成与分解是分析解决曲线运动问题的重要方法，是每年高考的必考内容，曲线运动的 条件及运动的合成与分解问题是高中物理问题的难点所在， 特别是绳子的牵连速度问题，小船渡河 问题是学生们学习曲线运动问题的难点，也是历次考试的重点。二、重难点提示1. 知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动，必定具有加速度。2. 知道做曲线运动的条件。3. 能够准确地判断合运动与分运动；掌握应用运动的合成与分解的方法求解曲线运动类问题。一、曲线运动1. 曲线运动的速

2、度方向：在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度的方向， 就是通过这一点 的曲线的切线方向。2. 曲线运动的性质：曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断 变化，所以说：曲线运动一定是变速运动，加速度不为零。3. 做曲线运动的条件：（1）从运动学角度说，物体的加速度方向跟运动方向不在同一条直线上， 物体就做曲线运动。（2）从动力学角度说，如果物体受力的分方向跟运动方向不在同一条直线上，物体就做曲线 运动。二、运动的合成与分解1. 合运动与分运动的关系一个物体的实际运动往往参与几个运动， 我们把这几个运动叫做实际运动的分运动， 把这个实 际运动叫做这几个分运动的合运动。

3、（1）等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等。（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。（3）等效性：各分运动的叠加与合运动有完全相同的效果。2. 已知分运动求合运动叫运动的合成。即已知分运动的位移、速度和加速度等求合运动的位移、 速度和加速度等，遵从平行四边形定则。3. 已知合运动求分运动叫运动的分解。 它是运动合成的逆运算。处理曲线问题往往是把曲线运动 按实效分解成两个方向上的分运动。4. 运动合成的方法（1）两个分运动在同一直线上时，运动合成前一般先要规定正方向，然后确定各分运动的速 度、加速度和位移的正、负，再求代数和。（2）两个分运动

4、不在同一直线上（即互成角度）时，要按平行四边形定则来求合速度、合加 速度和合位移。（3）互成角度的两个分运动的合成两个互成角度的匀速直线运动的合运动， 仍然是匀速直线运动；两个互成角度的初速度为零的匀加速运动的合运动，一定是匀加速运动；两个互成角度的分运动，其中一个做匀速直线运动，另一个做匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动；两个初速度均不为零的匀变速直线运动 合成时，若合加速度与合初速度的方向在同一直线上，则合运动仍然是匀变速直线运动； 若合加速度的方向与合初速度的方向不在同一条直线上，则合运动一定是匀变速曲线运动。页脚内容精心整理精心整理（4）两个互相垂直的都是匀速直线运动的合成

5、其合运动与分运动都遵循平行四边形定则或三角形定则则合位移的大小和方向为:X = xfx2XiX2v1一22 tan r合速度的大小和方向为：V = Vl v，V25. 运动分解的方法（1）对运动进行分解时，要根据运动的实际效果来确定两个分运动的方向，否则分解无实际 意义，也可以根据实际情况，对运动进行正交分解。（2）合运动与分运动的判断：合运动就是物体相对某一参考系（如地面）所做的实际运动， 即物体合运动的轨迹一定是物体实际运动的轨迹，物体相对于参考系的速度即为合速度。（3）曲线运动一般可以分解成两个方向上的直线运动，通过对已知规律的直线运动的研究， 可以知道曲线运动的规律，这是我们研究曲线运

6、动的基本方法。命题规律：对物体做曲线运动的理解，会利用物体做曲线运动的条件判断物体是否做曲线运 动及其运动性质和运动轨迹。三、能力提升例题例1 一个物体以初速度Vo从A点开始在光滑的水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物 体的运动轨迹如图中的实线所示，B为轨迹上的一点，虚线是经过A、B两点并与轨迹相切的直线。 虚线和实线将水平面分成五个区域，则关于施力物体的位置，下列各种说法中正确的是（）A. 如果这个力是引力，则施力物体一定在区域中B. 如果这个力是引力，则施力物体可能在区域中C. 如果这个力是斥力，则施力物体一定在区域中D. 如果这个力是斥力，则施力物体可能在区域中一点通：该题考查物体做

7、曲线运动的条件，从动力学角度说，如果物体受力分方向跟运动方向 不在同一条直线上，物体就做曲线运动。而且物体受力的方向总是指向曲线弯曲的内侧。解：物体做曲线运动，一定受到与初速度 V。方向不平行的力的作用，这个力与速度方向垂直 的分量起到向心力的作用，使物体的运动轨迹向向心力的方向弯曲， 且运动轨迹应在受力方向和初 速度方向所夹的角度范围之内，所以此施力物体一定在轨迹两切线的交集处。如果是引力，施力物体在轨迹弯曲的内侧（相互吸引，使物体运动向轨迹内侧弯曲）。如果是斥力，施力物体在轨迹弯曲的外侧（相互排斥，使物体运动向轨迹外侧弯曲） 。由A点 的切线方向可知，施力物体可能在两区，由B点的切线方向可

8、知施力物体可能在两区， 综 合可知如果是斥力，施力物体一定在区。答案：AC例2如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车， 通过定滑轮用绳子吊起一个物体， 若小 车和被吊的物体在同一时刻的速度分别为 vi和V2，绳子对物体的拉力为T，物体所受的重力为G， 则下列说法正确的是（）A. 物体做匀速运动，且vi=V2B.物体做加速运动，且V2viC.物体做加速运动，且T GD.物体做匀速运动，且T = G一点通：物体运动的速度和绳子的收缩速度相同， 所以可以由小车运动速度和绳子收缩速度的 关系求解，再结合竖直方向运动的规律，由牛顿运动定律判断绳子张力和重力的关系。解：小车在运动的过程中，其速度产生两

9、个效果，故将小车的速度按照沿绳子方向与垂直绳子 的方向进行分解，如右图所示，则由图可以看出 V2二ViCOS，则V2 Mi。随着小车向前移动，:将 不断减小，cos：.将逐渐增大，则V2逐渐增大，即物体做加速运动，根据牛顿第二定律可知，T Go答案：C例3如图所示，质量m 2.0 kg的物体在水平外力的作用下在水平面上运动，已知物体运动过x =3.0t(m)2程中的坐标与时间的关系为(m)，g= 10 m/s2o根据以上条件，求：(1) t = 10s时刻物体的位置坐标；(2) t = 10s时刻物体的速度和加速度的大小与方向。一点通：由题目的已知条件，物体参与x、y两个方向的运动，可以分别求

10、出两个分方向运动 的速度和加速度，再合成得到合运动的规律。解：(1)由于物体运动过程中的坐标与时间的关系为X =3.0t(m)丿 2(m)，代入时间t = 10s，可得：x = 3.01 = 3.0 x 10 m = 30 my= 0.21 = 0. 2 x 10 m= 20 m。即t = 10s时刻物体的位置坐标为(30,20 ) ox 二 3.0t(m)2(2)由于物体运动过程中的坐标与时间的关系式(m)，比较物体在两个方向的运动学公式，2可求得：vo= 3.0 m/s ，a= 0.4 m/s当 t = 10s 时，Vy= at =0.4 x 10 m/s= 4.0 m/sv= m/s=

11、5.0 m/s.tan a =即速度方向与x轴正方向的夹角为53。物体在x轴方向做匀速运动，在y轴方向做匀加速运动，a = 0.4 m/s，沿y轴正方向。 综合运用例题例1小船渡河，河宽d= 180 m,水流速度V1= 2.5 m/s。(1) 若船在静水中的速度为V2= 5 m/s，求： 欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2) 若船在静水中的速度V2= 1.5 m/s,要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长 时间？位移是多少？一点通：小船渡河同时参与两种形式的运动， 从分运动的独立性出

12、发，可知当船头垂直于河岸 渡河时，渡河所需要的时间最短，对于船的最短航程问题，应把河水流速与船员在静水中的速度相 比较，可分为两大类问题，对于河水的流速大于船速的情况，可通过矢量圆法进行分析。解：(1)若 V2 = 5 m/s欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为V2= 5 m/sd _180t = v_ V25 s= 36sm/ss= v 合t = 905 m欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一角度a o垂直河岸渡河要求V水平=0,所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，由V2Sin a= Vi

13、得a= 30所以当船头向上游偏30。时航程最短。s= d= 180 mdv_dV2 cos 30i ou_ rrs 二 24、J32s(2)若 V2= 1.5 m/s与(1)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方d向夹角为a，贝U航程s= sin :，欲使航程最短，需a最大，如图所示，由出发点 A作出Vi矢量, 以Vi矢量末端为圆心，V2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使 v合与 水平方向夹角最大，应使V合与圆相切，即V合丄V2 ov21.53sin a = V1255解得a = 37dd 180t = V_ V2 cos37 2 s

14、= 150sv 合=V1cos37= 2 m/sI I, / /s= v 合？t = 300 m思维提升：(1)解决这类问题的关键是：首先要弄清楚合速度与分速度，然后正确画出速度的 合成与分解的平行四边形图示，最后依据不同类型的极值对应的情景和条件进行求解。(2)运动分解的基本方法：按实际运动效果分解。例2绳子末端速度(关联速度)的分解如图所示，水平面上有一物体，小车通过定滑轮用绳子拉它，在图示位置时，若小车的速度为5m/ s，则物体的瞬时速度为m/s一点通：该题考查运动的合成与分解，注意区分合运动与分运动，找出物体实际的运动和参与 的运动。对于绳子末端速度的分解类问题，一般以绳子和物体的连接

15、点为研究对象，该点随物体的 实际运动为合运动，其参与的两个分运动为沿绳子伸缩方向的运动和垂直于绳子的摆动，分运动与合运动构成平行四边形。v2= v2 cos30 = 53m/sWx 二cos60 5 3m/ s解：由小车的速度为5m/s，小车拉绳的速度2，则物体受到绳的拉力，Vix = v2x = 53m/ s拉绳的速度2，则物体的瞬时速度为答案：53思维拓展例题例1宽9 m的成型玻璃板以2 m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚割刀的速 度为10 m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，贝(1) 金刚割刀的轨道应如何控制？(2) 切割一次的时间为多长？一点通：该题目求解的重

16、点在于合运动与分运动的确定，由题目条件知，割刀运动的速度是实际的速度，所以为合速度。其分速度的效果恰好相对玻璃垂直切割。解：（1）设割刀的速度V2的方向与玻璃板运动速度V1的方向之间的夹角为9，如图所示。要 保证割下的均是矩形的玻璃板，则由 V2是合速度得vi = V2COS 9所以 cos 9=，1-arccos-即5二 arccos-所以，要割下矩形玻璃板，割刀速度方向与玻璃板运动速度方向成5。（2）切割一次的时间t =s0.92sc1=arccos-答案：（1）割刀速度方向与玻璃板运动速度方向成5 （2） 0.92s例2在光滑的水平面内，一质量 mi= 1 kg的质点以速度vo= 10

17、m/s沿x轴正方向运动，经过 原点后受一沿y轴正方向（竖直方向）的恒力 F= 15N作用，直线0A与 x轴成a =37,如下图 所示曲线为质点的轨迹图（g取10 m/s2，si n37 = 0.6，cos37= 0.8 ），求：（1） 如果质点的运动轨迹与直线 0A相交于P点，质点从0点到P点所经历的时间以及P点的 坐标；（2）质点经过P点的速度大小。一点通：该题考查曲线运动的处理方法，运动的合成与分解，将物体实际的运动等效为沿x轴方向的匀速直线运动和沿y轴方向的匀加速直线运动，由两个熟悉的分运动的求解进而找到合运 动的规律。解：（1）质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F

18、和重力mg作用做匀加速直线运动。由牛顿第二定律得：2 2a= m/s = 5 m/s 。、 . 2设质点从O点到P点经历的时间为t， P点坐标为（xp，yp），贝U xp= vot，yp= at又 tan a =联立解得：t = 3s，Xp= 30 m，yp= 22.5 m。即 P （30，22.5）（2）质点经过P点时沿y方向的速度vy = at = 15 m/s故P点的速度大小vp= = 5m/s。笔记要知道物体做曲线运动的条件，能确定曲线运动的轨迹、掌握合运动与分运动的特点及运动合 成与分解的方法，会进行运动的合成与分解，掌握两种典型模型，即小船渡河模型和绳拉物体模型 （速度分解问题）。

19、对于“关联”速度问题，应明确绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，其两 端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，即沿杆（或绳）方向的速度分量大小相 等；小船渡河问题中，小船过河有最短时间的条件是：船头沿垂直于河岸方向行驶，小船过河时最 短航程的问题是本部分的一个难点，通过运动的合成与分解并结合平行四边形定则进行数学分析， 可进一步明确在不同条件下小船过河有最短航程的条件。咼频疑冋两个直线运动的合运动可能是曲线运动吗？两个直线运动的合运动既可能是直线运动，也可能是曲线运动，实际的运动情况由两个分运动的性质决定，分别归纳如下：1. 物体做直线运动：（1）两个匀速直线运动的合运动；（2）两

20、个初速度为0的匀加速直线运动的合运动；（3）合初速度与合加速度共线时。2. 物体做曲线运动：（1）互成角度的一个匀速直线运动和一个变速运动的合运动;（2）互成角度的两个变速运动的合运动（合初速度与合加速度有夹角）。同步练习（答题时间：60分钟）1. 光滑平面上一运动质点以速度 V通过原点O, V与X轴正方向成a角（如图所示），与此同时对质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则（）A. 因为有Fx,质点一定做曲线运动B. 如果FyFx,质点向y轴一侧做曲线运动C. 质点不可能做直线运动D. 如果FxFycot a，质点向x轴一侧做曲线运动2. （高考）如图所示，甲、乙两同学从河

21、中 O点出发，分别沿直线游到A点 若水流速度 _间t甲、t乙的大小关系为（） 水流方向A和B点后，立即沿原路线返回到 O点，OA OB分别与水流方向平行和垂直，且 OA=OB 不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时A.t甲t乙D.无法确定3. 如图所示，一根长直轻杆 AB在墙角沿竖 地面的夹角为9时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为 大小为V2。则V1、V2的关系是（）A. V1 = V2B. V1 = V2C0S 9C.V1 = V2tan 9 D.V1 = V2sin 94. 某人在单向上行的自动扶梯上随其上行的同时，自己还不断匀速上行。直墙和水平地面滑动，当V1, B端沿地面滑动AB杆和的

22、速度页脚内容到B层他共走过N级台阶。当他由B层返回A层时，在此梯上又不断下行，共走过 与B之间共有台阶数目是（）A. B.C.D.5. 如图所示，一块橡皮用细线悬挂于 O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（）A.大小和方向均不变B. 大小不变，方向改变C. 大小改变，方向不变D. 大小和方向均改变6. 一轮船以一定的速度垂直河岸向对岸开行，当河水流速均匀时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的正确关系是（）A.水速越大，路程越长，时间越长 B.水速越大，路程越长，时间越短C.水速越大，路程和时间都不变 D.水速越大，路程越长，时间不变7.

23、在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力，如下图所示的描绘下落速度的水平分量大小 Vx、竖直分量大小Vy与时间t的图象，可能正确的是（）8. 民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。 假设运动员骑马奔驰的速度为 V1，运动员静止时射出的弓箭的速度为 V2,跑道离固定目标的最近距 离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（）A. 运动员放箭处离目标的距离为B. 运动员放箭处离目标的距离为精心整理C. 箭射到固定目标的最短时间为D. 箭射到固定目标的最短时间为9. 河宽60m水流速度为6m/s，小船在静水中的速

24、度为3m/s,贝尼渡河的最短时间是多少？最 短航程是多少米？10. 有一小船正在渡河，如图所示，在离对岸 30m时，距下游一危险水域40m假若水流速度为 5m/s,为了使小船在到达危险水域之前到达对岸， 那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应是 多大？11. 一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为 m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳 子的端点离滑轮的距离是H。车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角 为9，如图所示，试求：(1) 车向左运动的加速度的大小；(2) 重物m在t时刻的速度大小。1. D解析：当Fx与Fy的合力F与v共线时质点做直线运动，F与v不共线时质点做曲线运动，所 以A C错；因a大小未知，故B错，当FxFyCOt a时，F指向v与x之间，因此D对。t 甲=冷+一1_2. C解析：设游速为v,水速为v。，040吐I，则甲时间 v V0 Vo ;乙沿0B运动，乙的速度矢量图如图，合速度必须沿