曲线的参数方程

1、欢迎阅读曲线的参数方程教学目标：1. 通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参 数的意义。2. 分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。3. 会进行参数方程和普通方程的互化。教学重点：根据问题的条件引进适当的参数， 写出参数方程，体会参数的意义。参数方程和普通方 程的互化。教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。参数方程和普通方程的等价互化。 教学过程一. 参数方程的概念1. 探究：如图，一架救援飞机在离灾区地面 500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救 援物资准确落于灾区指定的地面(不计空气阻力)，飞行员

2、应如何确定投放时机呢？(1) 平抛运动：一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。二、 由物理知识可知，物体的位置由时间 t唯一决定，从数学角度看，这就是点 M的坐标x,y由t 唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地 描绘出点的轨迹。、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对( x,y)之间有一一对应关系练习：斜抛运动:v=vo2. 参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标/ 并且对于t的每一个允许值，由方程组(2)所确定的 做这条曲线的参数方程，联系变数 x,y

3、的变数t叫做参 接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。说明：(1)一般来说，参数的变化范围是有限制的。(2)参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义例1.已知曲线C的参数方程是 严二“？ (t为参数)y=2t2+1(1) 判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系；(2) 已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值。A、一个定点B、一个椭圆C、一条抛物线D、一条直线二. 圆的参数方程 圆的参数方程的一般形式 说明：(1) 随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同(2) 在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围三. 参数方程和普通方程的

4、互化 例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0,将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，(x+1) 2+ (y-3) 2=1,欢迎阅读x ,2.3.4.5.( .2x =t.-2$ =tx =s inty = csctF列哪个点在曲线匸A. (2,7)x =1 +cos2Ty =sin2 日A .一条直线x =2y =cos t1A .余弦曲线x =cos 日y =sin 日A.、2C.X = t1 tx = tanty = cottx =sin 6 y =cos20 B. (1,2)3 3（7为参数）上（C）C. (2,2)（7为参数）的轨迹是（D）B .一

5、条射线（二为参数）表示的曲线是（D）C. 一个圆D. (1,0)D. 条线段B .与x轴平行的线段 C .直线（t为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）D .与y轴平行的线段B. -22C. 1D. ,2欢迎阅读参数方程为（B为参数）例2 如图，圆0的半径为2, P是圆上的动点，Q（6,0）是x轴上的定点，M是PQ的中点，当 点P绕0作匀速圆周运动时，求点 M的轨迹的参数方程。明确参数方程和普通方程的互化的方法。注意，在参数方程和普通方程的互化中，必须使 y的取值范围保持一致。四. 课堂练习 巩固与提高与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程（t为参数）是（D）欢迎阅读6.7.A

6、.一个定点B .一个椭圆x =tcs：（e为参数）与圆 y =t sin 日5 二 或6 6C. 一条抛物线 D .一条直线x二4 2cos ；（为参数）相切，那么直线的倾斜角为（A） y =2sin37：B.：或，442 二C.3 或 357：D. -6 或 68.曲线X2 +y2 =2y的一个参数方程为，蔦:;SM参数）。9.曲线X =t _1（t为参数）的普通方程为x2 -y2 =4。 y =t -tx勺 8动参数），则.（x -5）2 （y 4）2的最大值是6。 .y =sin 11.设飞机以匀速v=150m/s作水平飞行，若在飞行高度 h=588m处投弹（设投弹的初速度等于飞 机的速

7、度，且不计空气阻力）。（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。10.已知方程x2 - y2 -4tx -2ty 5t2 -4 =0 （t为参数）所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）欢迎阅读解：(1)x=150t 2 (t为参数)。y =588 _4.9tJ(2) 1643m。12. 火炮以为发射角，Vo为初速度发射，求炮弹的轨迹方程。X =V0COSO( t 解：12 (t为参数)。y =y sin a t 一gt213. 动点M从起点Mo(1,2)出发作等速直线运动，它在x轴与y轴方向上的分速度分别为6和8, 求点M的轨迹的参数方程。解：严日+

8、 (t为时间参数)。y =2 +8t14. 求直线* T 41 (t为参数)与圆X2 +y2 =4的交点坐标。y =1 -t解：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t= 1,分别代入直线方程，得交点为 (0, 2)和(2, 0)。圆的参数方程的应用教学目标：知识与技能：利用圆的几何性质求最值(数形结合) 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学重点：会用圆的参数方程求最值。教学难点：选择圆的参数方程求最值问题教学过程：一、最值问题2 21. 已知 P (x,y )圆 C: x +y 6x 4y+12=0上的点。y(1) 求的最小值与最大值(2)求x y的

9、最大值与最小值x -2. 圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是；2/.圆(x-1) 2+(y+2) 2=4上的点到直线2x-y+仁0的最短距离是;3. 过点(2,1)的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是 为最短的直线方程是;4 .若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为;二、参数法求轨迹1) 一动点在圆x2+ y2=1上移动，求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程2) 已知点A(2,0),P是x2+y2=1上任一点， AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹.C.参数法 解题思想：将要求点的坐标x,y分别用同一

10、个参数来表示 例题：1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动，求点Q(m+n,2mn的轨迹方程2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆，求m的取值范围和圆 心的轨迹方程。圆锥曲线的参数方程教学目的: 欢迎阅读欢迎阅读知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识 教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学教学过程：一、复习引入：1 写出圆方程的

11、标准式和对应的参数方程。x r COS0圆x关于参数几点说明：(1) 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。(2) 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样(3) 在实际问题中要确定参数的取值范围 参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x， y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。 参数方程求法(1) 建立直角坐标系，设曲线上任一点 P坐标为(x,y)(2) 选取适当的参数(3) 根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，

12、建立点P坐标与参数的函数式(4) 证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 关于参数方程中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。 与运动有关的问题选取时间t做参数欢迎阅读+y2=r2参数方程丿一(日为参数)y = r sin 日222x = xo + r cos 日(2)圆(x-X。)+(y yo) =r参数万程为：(日为参数)y = yo + r si n 日2 写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。3 能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ 、讲解新课：2 2(为参数)x= as eC= bt a n1椭圆的推导：椭圆x2 y2 -1参数方程a

13、 b2 22. 双曲线的参数方程：双曲线；2f参数方程x 2 Pt3抛物线的参数方程：抛物线y2=2Px参数方程-(t为参数)= 2Pt欢迎阅读与旋转的有关问题选取角二做参数或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。二、典型例题：例1设炮弹发射角为：，发射速度为v0,(1) 求子弹弹道曲线的参数方程(不计空气阻力)(2) 若V =100m/s,，当炮弹发出2秒时，6 求炮弹高度 求出炮弹的射程例2求椭圆的参数方程(见教材 P.40)2 2椭圆罕+存=1参数方程 厂acos (日为参数)a2 b2y = bs i n = 3cos日变式训练1.已知椭圆丿(日为参数)y = 2s in

14、B求(1)=3时对应的点P的坐标6(2) 直线OP的倾斜角变式训练2 A点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点 P,使/ OPA=90,其中O为椭圆中 心，求椭圆离心率e的取值范围。例3.把圆x2 y26x =0化为参数方程(1) 用圆上任一点过原点的弦和x轴正半轴夹角二为参数(2) 用圆中过原点的弦长t为参数三、巩固与练习四、 小结：本节课学习了以下内容：1. 选择适当的参数表示曲线的方程的方法；2. 体会参数的意义五、课后作业：教材 P34习题2.2圆锥曲线参数方程的应用教学目的：知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题过程与方法：选择适当的参数方程求最值。情感、态

15、度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：选择适当的参数方程求最值。教学难点：正确使用参数式来求解最值问题授课类型：新授课教学模式：讲练结合教学过程：一、复习引入：通过参数二简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。二、讲解新课：欢迎阅读欢迎阅读例1求椭圆的内接矩形面积的最大值变式训练12 2椭圆 冷爲=1 （ a b 0）与x轴正向交于点A,若这个椭圆上存在点 P,使0P丄AP , （O a b为原点），求离心率e的范围。2 2例2. AB为过椭圆1中心的弦，F1, F2为焦点，求

16、 ABFi面积的最大值。2516例3.抛物线y2 =4x的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。例4、过P （0，1 ）至9双曲线x2 - y2 =1最小距离变式训练2:设P为等轴双曲线x2 -y2 =1上的一点，F1，F2为两个焦点，证明Ff E P = 0P2例5,在抛物线y2 =4ax（a 0）的顶点，引两互相垂直的两条弦 OA，OB,求顶点O在AB上射影H的轨迹方程。三、巩固与练习四、 小结：本节课学习了以下内容：适当使用参数表示已知曲线上的点用以求最值问题五、课后作业：直线的参数方程教学目的：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：

17、能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学一、复习引入：1. 写出圆方程的标准式和对应的参数方程。x = r cosO圆X2 +y2 =r2参数方程（日为参数）j = r sin 甘x = x + r cos 日（2）圆（x-x）2+（y y）2=r2参数方程为： 亠（日为参数）= y0 + r sin 廿2. 写出椭圆参数方程.3. 复习方向向量的概念提出问题：已知直线的一个点和倾斜角，如何表示直

18、线的参数方程？二、讲解新课：1、教师引导学生推导直线的参数方程：欢迎阅读欢迎阅读过定点P（xo，y。）倾斜角为的直线的参数方程（t为参数）x = X0 +t C 0 0 y = y0 +ts i n2、辨析直线的参数方程：T的几何意义是指它表示点PoP的长,带符号三、直线的参数方程应用：课本例题，此略.四、小结：（1）直线参数方程求法（2）直线参数方程的特点（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义五、作业：课本P39习题2.3参数方程与普通方程互化教学目的：知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、

19、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：参数方程与普通方程的互化教学难点：参数方程与普通方程的等价性授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学教学过程：一、复习引入：（1）圆的参数方程（2）椭圆的参数方程二、讲解新课：1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数（2）三角法：利用三角恒等式消去参数（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。化参数方程为普通方程为F（x,y）=0 :在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f（t）和g（t）值域得x、y的取值范围2、

20、常见曲线的参数方程x r cos日（1）圆x2+y2=r2参数方程口 （日为参数）y = r sin B（二为参数）(2)圆(xx)2+(y y)2=r2 参数方程为：rcosy = y0 十 r sin2 2（3）椭圆笃写=1参数方程a bx = ac o(Sy = bs i n（为参数）22X_aSeC(5)抛物线y2 =2Px参数方程x = 2Pt2=2Pt（t为参数）（6）过定点P（xo，y。）倾斜角为的直线的参数方程x = x0 +t c 0 $y = y0 +ts i n（t为参数）典型例题1、将下列参数方程化为普通方程(3)x =t_2t2(2)丿x =si n 日 + cos9

21、 y = sin 2 日t 1t 22tt 2x =(4) *y =21 t22t1 t21x = 2(t +-)t(5M t dy =3(t2 V)Lt变式训练1lx =t 12、（ 1）方程x t t表示的曲线y =2A、一条直线B、两条射线C、一条线段D、抛物线的一部分（2）下列方程中，当方程y2 = x表示同一曲线的点x = t-2$ =t厂2x = sin tB、y =si ntx =山 +1 C、*J =t1 - xos2tx =D、1 cos2ty = tant例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线(1)x =1 -2*t y =3 _4仄（t是参数）(2)（-是

22、参数）x 1 -2t21 -2t2（t是参数）双曲线令参数方程Ubta.为参数）欢迎阅读欢迎阅读x = 4 sin 0 变式训练2。P是双曲线（t是参数）上任一点，Fi , F2是该焦点：y =3ta n 日求厶FiF2的重心G的轨迹的普通方程。例3、已知圆0半径为1，P是圆上动点，Q（4，0）是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P 绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。变式训练3：已知P（x,y）为圆（x-1）2 （y-1）2 =4上任意一点，求x y的最大值和最小值。三、巩固与练习四、 小结：本节课学习了以下内容：熟练记忆把参数方程化为普通方程的几种方法。五、课后作业：见教材 53页 2.345圆的渐开线与摆线教学目的：知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程，了解摆线的生成过程及它的参数方程 过程与方法