最后冲刺系列解析几何专题系列一圆锥曲线的基本量问题

1、解析几何专题系列一：圆锥曲线的基本量问题 考情分析把握方向圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高考的命题的热点之一，其特点是用代数 的方法研究和解决几何问题，所以它是数形结合思想的典型载体。圆锥曲线的 基本量是江苏近几年来高考中的热点问题，在近三年的高考中均有所体现，考 查内容如下表所示：高考年份填空题解答题知识点2010 年第6题中心在坐标原点的双曲线的标准方程、圆锥曲线的统一定义2011 年第18题椭圆的标准方程2012 年第8题第19题双曲线的性质、椭圆的性质、直线方程、两点间的距离公式由上表可以看出，在江苏近三年的高考中，主要考察的是圆锥曲线的基本量及 其方程（特别是离心率的考查），弱化了

2、直线与圆锥曲线的位置关系，而且又以 椭圆与双曲线的性质考查为主。备考策略提升信心1江苏高考的圆锥曲线的考查方式与其他新课标地区不同，淡化双曲线与抛物 线，淡化直线与圆锥曲线的关系，以椭圆为载体的综合问题是考查的重点。2. 新型的圆锥曲线的试题主要呈现以下特点：（1）在曲线的准线、渐近线、离 心率上做文章，围绕圆锥曲线的定义、性质、几何量的含义进行解题，主要考 查处理有关问题的基本技能、基本方法；（2）椭圆处于更加突出的位置，几乎 所有的解答题都会围绕椭圆展开；（3）与圆一起出现，特别是直线与圆的位置 关系，相切的内容更是常考内容。a,b,c表示关系式中的量，再代入求3. 找出题中的等量关系（或

3、不等关系）利用 解小题训练激活思维1. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y 25. 已知R、F2分别是椭圆令 乞1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则84|PFpfPF2 |的取值范围是.答案：02、2 2提示：整体消元；或焦半径公式（文科学生适当掌握一些焦半径（椭圆）知识会有帮助）2 26. 设P为双曲线$ y? 1（a 0,b 0）上除顶点外的的任意一点，F1 , F2分别为左右a b = 4x的准线交于A B两点，AB = .3,则C的实轴长为匚2 22. 已知双曲线笃与1（a 0,b 0）的右焦点为F,若以F为圆心的圆a bx2 y2 6x 5 0与此双曲线的渐近

4、线相切，则该双曲线的离心率为答案：3 552 23. 设双曲线 匕1的左、右焦点分别为Fl, F2，点P为双曲线上位于第一象限45内一点，且VPF1F2的面积为6，则点P的坐标为色-勺,25提示：注重方法的选择2 24. （2012苏北四市元月）已知椭圆的方程为 笃召1（a b 0），过椭圆的右焦a b点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P,Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若PQM为正三角形，则椭圆的离心率为 3点，F1PF2内切圆交实轴于点 M则FiM F2M值为. b 2变式训练：已知B为双曲线占1(a 0,b 0)的左准线a b与X轴的交点，点A(0,b)，若满足AP 2aB的点P在双曲线

5、上，则该双曲线的离心率为 .2变式拓展分类解密题型一：直接求出a,c，求解ea,c易求时，可利用率心率公式e -来解决。a2与1(a b 0)过点P(3,1)，其左右焦点分别是b2F1,F2，且F1P F2P 6，则椭圆的离心率为 题型二：构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助 a、b、c之间的关系，构造 a、c的关系(特别是齐二次 式)，进而得到关于 e的 一元方程，从而解得离心率 e。2 2例2:已知F1、F2是双曲线 务 y2 1 ( a 0,b 0 )的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形 MF1F2,a b若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 c解：如图，设 MF1的

6、中点为P，贝U P的横坐标为 一，由焦半径公式 PF1exp a ,22即c cc a，得c2 c2 0，解得a2a ae -13 ( 1、3 舍去)a题型三：采用离心率的定义以及椭圆的定义(或统一定义)求解例3： ( 1)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 。说明：本题目的在于强化定义的运用核心问题聚焦突破2 2如图，在平面直角坐标系xoy中，A,A2,B,B2为椭圆笃 占1(a b 0)的四个顶点，a bF为其右焦点，直线AB?与直线BF相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线 段0T的中点，则该椭圆的离心率

7、例1:已知圆锥曲线的标准方程或2(2012扬州期末)已知椭圆 笃a为e 2J 5解: e2ca 2a2c2ci2 iPFi PF22 2c 2c,2 i2(2)设椭圆X2a2当i (ab0,b0)的右焦点为Fi，右准线为li ,若过Fi且垂直于x轴的弦的长等于点Fi到li的距离，贝卩椭圆的离心-y为Fi到准线11的距离，根据椭圆的第二定义,iAFi 2 AB 丄|AD | AD 2率是 解：如图所示，AB是过Fi且垂直于x轴的弦， AD li于D，二AD题型四：建立a,c不等关系求解离心率的范围2 2例4： (i)若双曲线笃 每i (a 0,b 0) 上横坐标为竺的点到右焦点的距离a b2大于

8、它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 2 2解析：由题意可知(3a -)e (3a -)即3e i 3丄解得e 22 c 2 c 22 e利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关系求解.2 2(2)双曲线笃 岭i (a0,b 0)的两个焦点为Fi、F2,若P为其上一点，且 a b|PFi|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为分析：求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦 点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析：T |PFi|=2|PF2|,|PFi|?|PF2|=|PF2|=2a , |PF2| c a 即2a c a3a c所以双曲线离心率的

9、取值范围为i e 3点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论(双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a )则可建立不等关系使问题迎刃而解2 2变式训练：设椭圆笃 爲1的左、右焦点为F1,F2，左准线为I , P为椭圆上一点, a b若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围PQ I，垂足为Q ,为(丄22(3)已知椭圆笃a2爲1(a b 0)右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OPb2X0解：设P点坐标为(X0,y0),则有 a22X02 yc_ b2ax0y。20消去y。2得(a22 2b )X03a X0a2b2 0若利用求根公式求X0运算复杂，应注

10、意到方程的一个根为a,由根与系数关系知ax。2, 2a b72a bXoXo变式训练：椭圆G :b 0)的两焦点为Fi( c,0), F2(c,0)，椭圆上存在点，亠 UULUV UUUUV M 使 FM F2M0.则椭圆离心率e的取值范围为解析：设M(x,uumv uuuuv ,y),FM F2My2 c2将y2b2身x2代入得x2a2以a b2Q 0 x2a2求得于e 12 点评：笃 a2 y b21(a b 0)中 I xa，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解垂直于PA则椭圆的离心率e的取值范围为参数范围问题中经常使用，应给予重视.运用函数思想求解离心率例5:设a 1，则双曲线2 X

11、 2 a2右1的离心率e的取值范围是解析：由题意可知e2b 1(a b 0)的左、右焦点分别为题型五：圆锥曲线定义、焦半径公式的运用2 例6：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆与 ax（第 19 题）Fi(c, 0), F2(c,0).已知(1,e)和e, -3都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.(i)求椭圆的方程;(2)设A, B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AFi O与直线BF2平行，AF2与BF,交于点P.(i )若AFi BF2 -26，求直线AFi的斜率;(ii )求证：PFi PF2是定值.变式训练：已知某椭圆的交点是F( -4,0 ) ,F2(4,0 ),过点F2且垂直于x轴

12、的直线与 椭圆的一个交点为B，且FiB F2B 10 ,椭圆上不同的两点A(xi,yi) ,，满足条件F2A, F2B, F2C成等差数列。(i)求该椭圆的方程；求弦AC中点的横坐标。【专题总结画龙点睛】精要归纳：1. 离心率问题的求解方法：(i)建立一个关于a,b,c的齐次等式，再消除b，求出 e ; (2)建立一个关于a,b,c的齐次不等式，再消除b，求出e的范围；(3)利用 定义或题中蕴含的几何关系，直接建立等式或不等式来求解 e。(4)在求解圆锥 曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结， 择

13、优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.2. 圆锥曲线的显着特点是用代数的方法解决几何问题，它的重点是用数形结合 的思想把几何问题转化为代数问题。在圆锥曲线问题中转化后常出现多字母的 等式(不等式)的化简，对字母运算能力要求较高。求圆锥曲线的标准方程包 括“定位”和“定量”两方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是确定a2、b2的具体值，常用待定系数法。专题检测水到渠成2 2 2x ya1.设点P在椭圆三+ 2= 1(ab0)上，直线l的方程为x=；，且点F的坐a bc标为(一c, 0)，作PQL l于点

14、Q若P、F、Q三点构成一个等腰直角三角形，则椭圆的离心率e =22.如图，已知椭圆笃a2b 1(a b 0)的左、右准线分别为匚，且分别交x轴于C, D两点，从h上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点 F被x轴反射后与*交于点B，若75，则椭圆的离心率等于 AF BF，且 ABD23.已知双曲线笃aAR(:gyi1I221,(a 0,b 0)的左，右焦点分别为Fi,F2，点P在双曲线的右支上，且|PFi| 4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为解：门旳=4冋門|?眄|=3眄22,尸冋c a即& c1 e 53所以双曲线离心率的取值范围为24.已知F1 , F2分别为笃a2 了的最小值为8a ,PF22解析 lPF1l(2a El)2 4a2一点，若PFlPF2PF2PF2支上存在一点P,使PF22a，5. ( 11年苏北四市二模).5a 一 a c3(a 0,b 0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任则该双曲线的离心率的取值范围是PF2 4a2.4a2 4a 8a，欲使最小值为8a，需右c a 即 2a c a所以 1 e 3.2 2-x y2= 1(a b 0) -a bPQL l，垂足为Q e的取值范围是在平面直角坐标系 xOy中，椭圆二+ A, P是椭圆上一点，I为左准线，的左焦点为F