复变函数教学资料2.3

1、2.3 2.3 连续性随机变量的分布连续性随机变量的分布 有定义可知连续型随机变量的分布函数任意实数 有x 定义定义1 1 设 是随机变量 的分布函x)(xf数，如果存在一非负可积函数 ，使得对)(xf,)()(xdttfxf 的概率密度函数，简称概率密度。x则称随机变量 为连续性随机变量， 为)(xfx 对于概率密度，由定义容易推得以下两条性质： 是连续函数，它完全由概率密度 所)(xf)(xf决定，在 的连续点处有)(xf).()(xfxf （1）;, 0)(xxf （2）. 1)(dxxf 反过来，假如有非负可积函数 满足：)(xg量的概率密度。 则 一定可作为某连续型随机变, 1)(d

2、xxg)(xg 利用以上关系可以推得随机变量 落入x某有限区间 内的概率为,(ba)()()(axpbxpbxapabdxxfafbf)()()( 类似可得 取值落入 内的概率x),( xxdttfxfxxp)()(1)(积。应当强调的是，连续型随机变量取某特定值的概率为0， 由定积分的几何意义可知， 取值落入x区间 内的概率即是以 轴上的区间x,(ba,(ba为底，以曲线 为顶的曲边梯形的面)(xfy 0)(lim)(0 xxxxdttfxxp从而)()(bxapbxap)()(bxapbxap分布函数为：遍布 区间，并且取每一点的可能性是相,ba 例例1 1（均匀分布） 如果随机变量 取值

3、x同的，则称 服从 区间上的均匀分布，,bax记为 其概率密度为.,baux., 0,1)(bxaxbxaabxf., 1, 0)(bxbxaabaxaxxf密度为指数分布。 例例2 2（指数分布） 若随机变量 的概率x. 0, 0, 0,)(xxexfx其中 为大于0的常数，则称 服从参数 的x 显然 且, 0)(xf1|)(00 xxedxedxxf 解解 （1）由指数分布的定义可得 范围内。所以 是一概率密度。)(xf 例例3 3 变量 服从参数为 的指数分布x015. 0 （1）试计算 取值大于 的概率100x （2）若要求 ，问 应在什么1 . 0)( xxpx)100(1)100(

4、xpxp1000015. 0100015. 01)(1dxedxxfx 指数分布经常被用来近似描述各种“寿命”到的时刻，随机服务系统中的服务时间等都电话问题中的通话时间，传呼台首次传呼来分布，如无线电元件的寿命，动物的寿命，常假定是服从指数分布的。223. 0015. 05 . 1100015. 0edxex （2）若要求 即, 1 . 0)( xxp, 1 . 0015. 0015. 0 xtdte积分有 得, 1 . 0015. 0 xe5 .153x 指数分布有类似于几何分布的“无记忆又风趣的称指数分布是永远年轻的。性” 。对于任意的, 0, 0tststseeesxptsxpsxtsx

5、p)()()()|(活 年的概率与已经活过的年龄无关，所以t即 假如把 理解),()|(txpsxtsxpx为人的寿命，则上式表明已活了 年之后再s度为 例例4 4（分布）若随机变量 的概率密x,x,x,ex()xfx000)(1其中 则称 服从参,)(, 0, 001dxexxx数为 和 的 分布，记为).,(x 显然， ，而且 0)(xf1)(1)()(0101dyeydxexdxxfyx计算中经常用到，在数理统计中也有重要应 用。密度为分布是指数分布。 分布在水文统计的概率其中用到变换 。特别地，当 时，xy1 例例5 5（正态分布）若随机变量 的概率 x,21)(222)(xexfx

6、的正态分布，记为2),(2nx其中 为常数 。称 服从参数为 和 ,0x 显然，对任一 且, 0)(),(xfxdyedxeiyx22)(2222121其中用到变换xy12121200222222 rdrdedxdyeiryx格单调递减，函数的最起来像钟的形状，所以 为一概率密度函数，其图像关于)(xf 对称， 时严格单调递增， 时严xxx大值是 ， 越大图21像越扁平， 越小图像越向 集中，图像看x0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -3-2-101234 正态分布是我们日常生活中应用最广泛如果某随机变量的取值充满某空间，而且取的一种连续型变量的概率

7、分布。一般来讲，在偏中间的值多，偏两头的值少，大都近似不大，则这个指标近似服从正态分布。实际指标的随机因素很多，而每个因素的作用都服从正态分布的，一般地，若影响某一数量中遇到的很多的概率分布都可用正态分布来近似。另一方面，正态分布具有许多良好的上，正态分布都是十分重要的。性质。因此无论是在理论研究还是应用研究 特别地，当 时，对应的正态分1, 0布称为标准正态分布，记为 相应的概率) 1 , 0(n密度和分布函数分别用 和 表示)(x)(x,21)(22xex,21)(22xtdtex,x两函数的图形如图2-3 所示 标准正态分布分布函数 的性质：)(x （1）21)0( （2）,rx)(1)

8、(xx4 . 0)(xx)(x0 . 1x 这是由于),(1)(1)()()(xdssdssdttxxxx其中用到变换 . st 若 那么 事实上),(2nxn(0,1)-xy)yp(xy-xpy-2t-y-2)-(x-dte21dxe21222那么其中用到变换 为 的分布函数，.-xt)(xfx).(-xpx)p(xf(x)xx一般地， 则),(2nx,)(abbxap.9973. 01)3(2)3()3()3(xp上式表明 取值落入区间 的概率)3,3(x 解解高达 称为 法则%,73.993 例例6 6 设 计算（1）),36,10( nx);2(xp（2）;41 xp)6102(1)2(1)2(xpxp（1）.9772. 0)2()2(1（2）分布，计算：61036105)53()41(xpxp 6131651613651883. 065613 例例7 7 假设某种电池寿命（单位： ）为h一随机变量。它服从参数为 和 的正态300235 (1)这种电池寿命在 小时以上的概率。250 (2)确定数字 ，使电池寿命落在区间x 内的概率不低于 。 xx300,300%90 解解 (1)设电池的寿命为 则x)35,300(2nx)250(1)2