柔性悬臂梁的主动控制

1、柔性悬臂梁的主动控制吕毅宁在各类太空结构和超高层结构中，大柔性结构（如柔性梁、柔性板等）的应 用日益广泛。由于大型柔性复杂结构极易受到外部以及结构自身的影响而发生振 动。剧烈的振动会严重影响结构的正常工作，导致系统的性能下降英至失效，直 接威胁整个结构的安全。长期的振动还可能造成结构的疲劳破坏。因此，对大柔 性结构的振动抑制有非常重要的工程意义。采用传统的以减振垫、约束阻尼结构等为代表的被动控制方法对这类结构进 行振动控制往往不能达到很好的效果。近年來，以压电晶体作为作动元件的主动 控制方法在对大柔性结构的主动控制中得到了广泛的应用。柔性悬臂梁作为典型的大柔性结构，以其结构简单和便于实验验证在

2、这类结构的 控制方法研究中得到广泛应用。本文在柔性悬臂梁中集成作为压电传感器与执行器的压电陶瓷对悬臂梁的 自由振动进行了主动控制数值模拟。一悬臂梁的弯曲振动方程梁弯曲振动的运动方程田叭（丁）= “叭W） ,（0。厶）（I）dxAot式中，加是单位长度梁的质量。边界条件y（0,/） = 0 力（x,r）=.引 v=O悬臂梁弯曲振动的特征值问题考虑梁的同步运动，设）W） = Y（咖）（3）可得，倂一0g） = O ,0七dxEI边界条件切g)dr茁CM)x=L=0=0(2)y(o)= o,Frd2Y(x)EIv=L=o.=0(5)吕 毅宁:lwinmgtsinghua.OT解之得如下的特征方程,(

3、6)cqs pLchfiL = -吕 毅宁:lwinmgtsinghua.OT上式要用数值方法来求解，并可求得特征值如下,吕 毅宁:lwinmgtsinghua.OT特征函数Csh/3丄(sni 0丄-shp厶)(sin prx- shprx)+ (cosQ L-chprLosprx-chprx吕 毅宁:lwinmgtsinghua.OT,0 = 1,2,00)(8) 则各阶模态如下儿(xj) = Yr(x)qr(t) ,(r = 1,2,.,8)(9)二压电传感原理和压电控制原理1) 压电传感原理参考压电学，上册，孙慷，张福学，国防工业出版社，1984年5月第1版。 晶体在人一方向上的的极化

4、强度与六个独立的应力分量(或者与六个独立的应变分量)成正比，即匕”兀(10)P/JjSj(11)式中，称为压电应变常数，%-称为压电应力常数，Tj, ( j = 12,3,4,5,6 )是六个独立的应力分量，Sj , ( j = 1,2,3,4,5,6 )是六个独立的应变分量，Pm , (m = 1,2,3 )是在心方向上产生的极化强度。在各向异性电介质中电位移D和外加电场强度E以及极化强度P之间满足下面的关系，P = o/E(12)。=更(13)D = E + P(14)式中，是介电常数，6是电场强度E为0时的介电常数。对于柔性梁振动，主要考虑沿梁长度方向的应变，且考虑外加电场强度为0。此

5、时，可以将上面的公式简化为，2 = 3忆=3小$(15)式中，片是电场强度E为0时压电片的弹性常数。传感压电片输出的电压信号为匕(/)= K/Z(兀0心(16)pJ Ip/2式中，是X位置处的压电片的应变，可以近似为该贴片处的梁的应变。吕毅宁:hTmmg(%吕 毅宁:lwinmgtsinghua.OT2) 压电控制原理对悬臂梁进行一维简化后的逆压电方程6 = 5厶匕(/孙(17)式中，为弹性模量，叭为压电片的厚度，匕为所施加的控制电压。三数值模拟1) 问题弹性悬臂梁受到初始横向力作用，在/ = 0时刻撤除该力，则梁发生弯曲自由振 动。对该振动进行主动压电控制。2) 求初始条件(18)在横向力Q

6、作用下梁的变形由平衡方程Ely； = Q和边界条件(19)吕 毅宁:lwinmgtsinghua.OT(20)可得,初始模态状态(21)3) 求解模态方程qr(t)+co；qr(t) = Qrt)，(广=1,2,.,s)(22)式中，0(。是主动控制力。主动控制力由压电晶体根据给定的控制电压得到。这里根据压电传感器输出的电 位变化来得到控制电压，其具体描述如下。Qr(t) = qt)Yr(x)dx(23)式中，qt)是分布横向载荷，坐标变换关系(24)吕 毅宁:lwinmgtsinghua.OT由压电晶体作动器对梁的弯矩得到的等效分布横向载荷为qt) =48M。式中，是压电晶体作动器对梁的弯矩

7、，且式中，bp是压电晶体的宽度是梁的厚度。由此可得压电晶体作动器对梁的控制力,Qr(t) =买（耳+恥(25)(26)(27)式中，匕是给定的控制电压，实际应用中可以根据测量得到的压电传感器电压进行反馈得到。在数值模拟中，根据数值计算得到的该处的虚拟压电 传感器电压进行反馈控制來确定匕。在本文中，给定，匕=a匕（28）式中，a是一个给定常数。4）主动控制梁的响应）0）=工乞（比0）（29）r=l5）数值模拟结果悬臂梁、压电陶瓷以及与模态相关的参数的选取如表1, 2, 3。EIPALhQl.e578e330*2e-60.62e-350表1.悬臂梁的参数表2.压电陶瓷的参数选取E”5Jfp2552

8、5e-126.39el0240015.66e-120.3e-310e-3表3.模态相关参数假设选取模态数n4吕毅宁:lwmmgtsmghua.OTqi q2aox)A642O611 毅宁：lwinmg(11 毅宁：lwinmg(图1.未加主动控制的梁的自由振动11 毅宁：lwinmg(8n0246图1主动控制后梁的振动四结论1）本文在柔性悬臂梁中集成作为压电传感器与执行器的压电陶瓷对悬臂梁 的自由振动进行了主动控制数值模拟；2）数值模拟结果表明主动控制对柔性悬臂梁的自由振动有很明显的衰减作 用；3）根扁文中所述的主动控制原理，其对柔性梁结构的强迫振动的主动控制 同样有效。吕 毅宁:lwmmg(

9、%附录：MATLAB计算程序function beamactivecontrol clear all; clc;format long;%format short;n=4;L=600e-3; %x0=0 1;EI=0 1;row=7 8e3;A=30e-3*2e-3;m=row*A;Q=2;%zeta_i=1:n;%zeta_w=(2*ze/ (2*L) *pi) 八2 *sqrt(ET/m) zeta=get_eigval(n)timespan二0:0.01:12;tmp=size(timespan);qrdqr=zeros(tmp(2) / n*2);for ii=l:nzetai=zet

10、a (ii);w(ii)=zetai *zetai *sqrt(EI/m/LA4);% qrO(ii)=1.0/iiA2;qrO(ii)=get_qr0(YZ y0z Qz EIZ Lzmz zetai);endwqrOalpha(1:n)=1;for ii=l:n% iizetai=zeta(ii);wi=zetai *zetai *sqrt(EI/m/LA);time,qrdqr(:/2*ii-l:2*ii)=ode45(get_q,timespan,qrO(ii);0t fwiz Lz zetai,zeta,wz qrO,alpha(ii);%qrrrA dqrr=ode45(get_q

11、,timespan, qrO; 0, z wz Lz zetai);% cx=size(qrrr)% cy=size(dqrr)% cxx=size(qrr)% cyy=size(dqr)end qrdqr%fid=fopen(1NoControldat1z 1w1);fid=fopen(1ActiveControl1z 1w1);fprintimeqlq2q3q4 n1 );for ii=l:size(time)fprintf(fid,1 %10.7f%15.7f %15.7f %15.7f %15.7fn1,time(ii)/qrdqr(iiz1:2:2*n);end%fprintf (f

12、id, 1 timedqldq2dq3dq4dq6dq7dq8 n 1 );%for ii=l:size(time)% fprin $107f%157f %157f %157f %157fn1,time(ii)/qrdqr(iiz 2:2:2*n);%endfclose(fid);dqr=zeros(tmp(2),1);x0=100 e-3;for ii=l:n/2dqr(:)=dqr(:)+qrdqr(:,2*ii-l)*Y(xOzL,zeta (ii);endfid=fopen(1ActiveControlzesult dat1 / 1w1);fprintimeqlq2q3q4q5q6q7

13、q8 nf);for ii=l:size(time)fprintf(fid, %107f%15 7fn,time(ii)rdqr(ii);end%fprintf (fid, 1 timedqldq2dq3dq4dq5dq6dq7dq8 n 1 );%for ii=l:size(time)% fprin *107f%157f %157f %157f %15 7fXntimedi) , qrdqr (ii, 2 : 2 : 2*n);%endfclose(fid);function zeta=get_eigval (n)for k=l:nzeta(k)=fzero(inline(1 cos(x)c

14、osh(x)+11)/pi*(2*k-l)/2 );end%x=0:01:n*pi;%figure(1)%plot(xfcos(x)*cosh (x)+10)%axis(0 n*pi 一001 0.01);function primey=get_q(tz y,wi,L,zetai,zeta,qrOz alpha) primey=y(2); -wi *wi *y(1)+Qrk(t,Lz zetai,zetaz wz qrO,y(2); %primey=y(2); -wi *y(1);%primey=y(2); 一wi *y(1) + (-alpha) *y(2);function qr0=get

15、_qr0(Y,yOzQ,EIzLzm,zeta)qr0=quadl(YyOz 0 ，L# / zLz zeta,El,Q);function y=Qrk(tfLfzetai,zeta,qrOz y2)%x0z Epe,alpha,klz d31z sllz hzlpx0=100 e-3;Epe=6 39el0;alpha=0 5; kl=l 0;%kl=2400;d31=-255 25e-12;s：L：L = ：L 0/ (15 66e-：L2) ;h=2e-3; lp=10e-3;%/*for With Active Control*y=quadl(xYz 0,lp/2 0， z /x0z

16、Lz zetai);y=y*48 / (lpA3) *Vc (t, alpha, x0z klz d31 z sllz h, lp, Lz zeta, qr0zy2)；%*for With Active Control*/for No Activefor No Active Control%/*%Control%y=0 0;%* function y=Vc(t,alpha,x0z klz d31z sllz h,lp,Lz zeta,qr0z y2) format long;y=alpha*kl*d31*sll*h/20;y=y *(Y(xO+lp/2 0/Lz zeta)-2 0 *Y(x0

17、z L,zeta)+Y(xO-lp/2 0rL,zeta)/(lp吕毅宁:hTmmg(%*lp/4.0);%y=sum(一y(qr0 *sin(w *t);%y=-y (1)( 一 q:rO(l) *sin (w (1) *t);y=y(l).*(-y2)；%if (abs(y)1.e-6)%y=00;%end%y=y(1) .*(-qr(1) *sin(w(1) .*t)+y(2) .*(-rO(2) .*sin(w(2) .*t);- %y=-alha*Vs (t) ; %Vs (t) is to be got from sensor as part of feedback signal;

18、function y=Vc_openloop(t,alpha,xOz klz d31f sllzh,Ip,Lz zetaF w,qrO) format long;y=alpha*kl*d31*sll*h/2.0;y=y *(Y(xO+lp/2 0/zeta)-2 0 Y(xOz Lz zeta)+Y(xO-lp/2 0rL, zeta)/(lp *lp/4.0);%y=sum(一y(qr0 *sin(w *t);y=-y(1) .*(-qrO(1) .*sin (w(1) .*t);if (abs(y)1 e-6)%y=00;end%y=y(1) .*(-qr(1) *sin(w(1) .*t

19、)+y(2) .*(-rO(2) .*sin(w(2) .*t);- %y=-alha*Vs (t) ; %Vs (t) is to be got from sensor as part of feedback signal;function y=Vc_closeloop(t,alpha,xOz kl,d31z sllz hzlpz L,zeta, wz qrO) format long;y=alpha*kl*d31*sll*h/2.0;y=y *(Y(xO+lp/2 0/zeta)-2 0 Y(xOz Lz zeta)+Y(xO-lp/2 0rL,zeta)/(lp *lp/4.0);%y=sum(一y(qr0 *sin(w *t);keth=alpha/2/vz (1);wp=w(1)*sqrt(1-kethketh);z=-y(1) *alpha (一exp(-keth*w(1)*t) *qrO(1)sin(wp *t) ; %+y(2).*(qrO(2) *cos(w(2) .*t);