第七章4正交小波基与多分辨分析

1、4 正交小波基与多分辨分析正交小波基与多分辨分析正交小波正交小波多分辨分析多分辨分析小波函数和小波空间小波函数和小波空间信号空间信号空间l2(r)的分解的分解双尺度方程双尺度方程标准正交小波基的构造标准正交小波基的构造滤波器系数滤波器系数h(k)和和g(k)的性质的性质mallat快速算法快速算法紧支集正交小波的性质紧支集正交小波的性质正交小波正交小波 定义：定义：设有允许小波 ( ) t，记 2,( )2(2)jjj kttk，其中, j k为任意的整数。如果函数族,| )2(2)(2,zkjkttjjkj构成空间 2( )l r的标准正交基, 则称 ( ) t是正交小波母函数或简称正交小波

2、 ,| ,j kj kz称为正交小波基。 函数族正交小波正交小波 对任意 )()(2rltf，存在唯一的展式： kjkjkjtctf,)()(其中zkjdtttfttfckjkjkj,)()()(),(,称为 f的小波系数小波系数正交小波级数分解正交小波级数分解 小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。 正交小波正交小波 两个正交小波的例：例例4.111,021 ( )1,120,th tt母 函 数其 它经过二进伸缩与平移可得到2,( )2(2),mmm nhthtnm nz是 2( )l r的一个

3、标准正交基，但此小波基是一族阶梯函数，连续性较差，不适合分析光滑性较好的信号。它的时间局部性非常好，但频域局部性不好 haar小波正交小波正交小波 shannon小波 sin( )ttt( ) t的一切平移所生成的函数系 ()()tnnz构成了子空间 2 ( )( )|( )0,sf tl rf的一个标准正交基 尺度函数2, 0)(| )()(22mfrltfsm令，则2ms具有标准正交基 .,)2(2)2(2sin2)2(222znmntntntmmmmmmm例例4.2正交小波正交小波 且对任意 mstf2)(有 sin2(2)( )(2)2(2)mmmmmn ztnf tfntn1222m

4、mmsv记在s中的正交补为，则22, 0)(| )()(122mmfrltfvm或22( )mml rv 于是正交小波正交小波 令11sin 2()sin()122( )2 (21)()12()2tttttt在时域，shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，是频率带限函数，具有好的局部化特性。 它的整的平移族 ()|tnnzv是的标准正交基的标准正交基 对任意 2,2(2)|mmmztkkz2mv是222(2)|,( )mmtkm kzl r构成的标准正交基shannon小波基 多分辨率分析是指满足下列性质的一系列子空间,jvjz1. 单调

5、性：012vvv2. 逼近性：3. 伸缩性：4. 平移不变性：5. riesz基存在性：20;()jjjzjzvvlr1( )(2 ),jjf tvftvjz00( )(),f tvf tnvnz 00, ()gvg tkv存在使得是 的riesz基， 0 ()( )kk zg t kval z2即生 成 ， 而 且 对 于 任 意 序 列均 有222()kkkk zk zk zaaa g tkbaka ba其中 , 为与无关的正数。( )g t此时还称为该多分辨分析的尺度函数。多分辨分析多分辨分析参考子空间v2v1v0多分辨分析多分辨分析由条件(5)可证明如下定理)()2(21)(212gk

6、gzk从而可构造正交尺度函数 0( ) tv使得2,( )2(2)|,jjj kjttkkzjzv 是的标准正交基 注：注：定理定理 ：正交基，事实上可取下式定义的函数 ：存在函数0)(vt ，使得 )(zkkt构成 0v的标准0v构造的一个标准正交基 )(zkkt由此说明可由 2( )l r的闭子空间0v的riesz基 ()g tk kz小波函数和小波空间)(,(tvzkk设 是正交多分辨分析，将 1kkvv在中的正交补子空间记作 kw，则 kkkwvv1从而得到2( )l r的一系列闭子空间 |kwkz满足： v2v1v0w2w1(1),jjwwjj2(2)0,( )jkk zj zwl

7、rw 1(3),( )(2 )kkkzg twgtw0,2,( ) ();,;,( )j kjj kttkkzwjzkzwjz kzl r(4)存在函数满足允许条件且为空间的标准正交基,那么所有，为空间的标准正交基 整个集合构成了的标准正交基。( ) t称为小波函数，jw称为尺度为j的小波空间(细节空间)信号空间l2(r)的分解jj,kw(t), kz span1jmj 1j 2mvwwwj 则有：ji , wwji vwjjjj+1jjjmm jvvwvw2jjj zj zl (r)wv j 1jj+1vvv( ) t假设由母小波产生的小波函数2,( ): ,( )j ktj kzl r是空

8、间的标准正交基，令：j+1jj( )vvw ,( )( )( )( )f tf tftftftj+1,kj+1,kk zj,kj,kj,kj,kk zk z设则=,细节分量近似分量hmhmhmh=m+mmmxhymzm设 为hilbert空间，为 的一个闭子空间，在 中的正交补空间为，即，且。则任意，都存在唯一的分解：x=y+z,其中，(t)()a,b(t)a,b()中心t00at0+b0/a有效宽度dtdadtd/a使用db1小波对一维信号leleccum进行 3层分解，得到近似分量和细节分量，如图示0200400600800100012001400160018002000200300400

9、500600原 始 信 号0200400600800100012001400160018002000-50005001000小 波 分 解 结 构低 频 系 数 和 高 频 系 数图4-1例例4.3双尺度方程双尺度方程010111,( )( )( )kvvwvttvt由于，所以，也属于 空间，可以用来线性表示1,1,( )( )( )2( ) (2)( )( )( )2( ) (2)kkkkkkth kth ktktg ktg ktk1,1,( ),( ),kkh kg k 其中之间的内在联系。和的基函数和函数、相邻尺度空间和相邻尺度空间双尺度方程描述了两个kjkjkjjjjjwvvv, 11

10、1,01,01,( )( )( )( )( )( )jjkkjjkkth kttg kt双尺度方程( )()()22( )()()22hg频域表示( ),( )( ),( )fouriertt其中为的变换标准正交小波基的构造标准正交小波基的构造尺度函数的性质：-1 (t)dt1 、低通特性带通特性比较 0t(t) - d低通滤波器带通滤波器k -2 | (t)|1, (t-k)1 (a. e) 、jjj,kj,n-3 vw (t)(t)dt0、，即：j,mj,k-1, km4 (t)(t)dt0, km、01nnn z-j nnn z5 vv(t)2h(2t-n), h(t), (2t-n)h

11、( )h() (), h( )e222、其中：0-1nnn z-j nnn z6 wv (t)2g(2t-n), g(t), (2t-n)g( )g() (), g( )e222、其中：标准正交小波基的构造h()和()的关系：22kjkj 1( )h() ()22h()h() ()222h()()22kjkjjkj 1j 1j 1( )limh()()h()(0)h()2222标准正交小波基的构造h()的条件：2j n2k z(n)(t) (t-n)dt1|( )| ed21|(2 k)|1222|h()|h()|1222j n22k zk z|(2 k)| ed |h(k)| |(k)|12

12、22222m zm z|h(2m )| | (2m )|h(2m )| |(2m )|1222222 |h()|h( )|1标准正交小波基的构造g()的条件：(t)(t-n)利用与的正交性同理可得：h()与g()的联合条件：(t)(t)利用与的正交性同理可得：22 |g ()|g ()|1 h( )g( )h()g()0标准正交小波基的构造两尺度序列hn的条件：znnj -n2h) h( ),2()2h()(e其中：k - (t-k)1 (a. e) )()( -kjk-e-(t)dt1 1 h(0) 1(0) 2h kk0) h( zm0 0,)(2mkkk0h(-1) 标准正交小波基的构造

13、hn和gn的关系：nn1-nnn1-n 2ng(-1) hg(-1) h2222 |h()|h( )|1|g( )|g()|1 h( )g( )h()g()0g()eh()22-j /2 标准正交小波基的构造标准正交小波基的构造22kkkkk |h()|h( )|1h2(-1) h0j tjjj 1j 11( )h()(t)h()ed222j /2nn z( ) g() ()eh() ()2222 (t)2g(2t-n)或者1、选择满足条件的两尺度序列hn2、计算尺度函数(t)3、计算母小波(t)滤波器系数滤波器系数h(k)和和g(k)的性质的性质1.( )2,( )0kkh kg k2.(0

14、)1,(0)0( )( )hghg ，相当于低通滤波器，相当于高通滤波器。123.( )(),( )()()222jjjjhgh递推关系(2 ), (2 )()4.(2 ), (2 )()(2 ), (2 )0h nk h nlklg nkg nlklh nkg nl正交关系2222( )()15.( )()1( ) ( )() ()0hhgghghg频域关系-j16.( 1), ( )-e()kkkghgh mallat快速算法快速算法/2,/2,( ),( )( )2(2)( ),( )( )2(2)jjj kj krjjj kj krcf ttf ttk dtdf ttf ttk dt,

15、+1,+1,(2 )(2 )j kjmmj kjmmcch mkdcg mkmallat塔式快速分解算法+1,(2 )(2 )jkj mj mmmcch kmdg kmmallat塔式快速重构算法mallat算法结构示意图cm+2cmcm+1dm+1dm+2cm+2cmcm+1dm+1dm+2(a)分解(b)重建mallat快速算法快速算法mallat快速算法快速算法 初始系数的选取/2,( /2 )2( )nnn kcmf kmt dt其中首先根据实际信号( )f t，确定逼近空间nv，然后选取,nnnfvff使最小，即nnffv是 在中的最佳逼近。初始函数的选取，本质上是系数, n kc的

16、选取1、小波变换法2、直接选取法3、取样函数法1,1()2lnknjjkcfj其中尺度函数的支撑区间是0,l，且尺度函数连续只作不同频带的信号分解时可用该法，不适于提取分形指数和作时频分析,()2nknnncfnk其中( )sinc() ()mttm dt mallat快速算法快速算法 边界效应 实际的数字信号总是有限长序列，而大多数小波滤波器的长度都大于1，所以mallat算法在信号的边界上必然将滤波器强行截去一部分后再作用于这个有限长序列来实现小波分解。这样，经过后续处理后重构得到的信号与原始信号不可避免的在边界上产生较大的误差。 边界延拓 设实际的数字信号长度为n，即c=c0,c1,cn

17、-1，又设滤波器的长度为m。进行小波分解时只需要在信号的两端个延拓l个元素即可，其中l为m/2的上整数(大于m/2的最小整数)。mallat快速算法快速算法 零延拓 简单的周期延拓：n长序列以n为周期进行延拓缺点：若输入信号在边界点的值与零有很大的差别，补零 在边界处产生很大的阶跃变化，从而给这一局部引 入大量的高频成分；数据量增加缺点：当信号序列的两端边界值相差很大时，延拓后的信 号将存在周期性的剧烈突变，在边界附近引入高频 成分mallat快速算法快速算法 以边界点为对称中心的周期延拓( ),0,.,1( )(22),.,230,s nnns nsnnnnn其它 延拓后信号一个周期内有两个

18、对称中心。 当采用有限长滤波器c(n)对延拓后的信号进行滤波时，输出信号也是周期为2n-2的周期序列。 如果c(n)不具有任何对称性，那么输出信号将没有输入信号那样的对称性，为了完全重构，必须取一个完整的长度2n-2的主周期，然后下采样，使计算量增大了几乎一倍。 1. 将信号延拓为( )s n( )s n2. 将( )s n作以2n-2的周期延拓mallat快速算法快速算法()( )(1)(1)xn = x nx nn = x n+ n 以及但滤波器有对称性，输出序列具有对称性。此时为了完全重构，只需保留0,n-1的数据，不需要保留整周期的数据。此时输出序列以-0.5和n-1.5为对称中心，也

19、可只取0,n-1的数据()(1)(1)(2)xnx nx nnx n+ n 以及若滤波器的长度为偶数时，输出序列具有如下的对称性：若滤波器的长度为奇数时，输出序列具有如下的对称性：mallat快速算法快速算法 边界值重复的周期延拓()( )()()xnx nx nnx nn 以及( 1)( )(1)()xn = x nx nnx nn 以及采用偶数长的对称滤波器时，输出序列的对称关系为：可只取半个主周期0,n-1的数据，然后下采样(丢弃独立的样本值x(n)，但并不影响下采样)采用奇数长的对称滤波器时，输出序列的对称性为：此时输入序列是以-0.5和n-0.5为对称中心的偶对称序列 与前面方法不同

20、的是，在作对称延拓时重复原信号的边界值，使得s(n)成为一个长度为2n的对称序列设三个频率为4hz，6hz，29hz的正弦波叠加为f tttt( )=sin(8)+sin(12)+sin(58) 设采样区间为0,1，采样间隔为2-8秒，采样点数为256， 所得离散信号为f(k)=f0,f1,f255，其中fk=f(k/256) 由于28=256，可取c8,kmf(k/28)， 由于重构时还需要除以m，所以可取c8,kf(k/28) 采用简单的周期延拓 采取db4小波要求对信号分解与滤波，从中滤去29hz的成分315,0kkc315,0kkd636,0kkc636,0kkd1277,0k kc1

21、277,0kkd2558,0kkc例例4.4解： 重构过程也进行周期延拓12763317,06,05,031316363635,05,06,06,06,01271271272557,07,07,08,0cccccckkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkdddddd重构算法中，令，为零，利用重构公式由和求出；再由和求出 ；最后由 和求出，利用db5小波对一维信号leleccum进行3层多尺度分解和重构。例例4.5原始信号、近似信号、细节信号及重构信号的图形见图4-2、4-3、4-4。解：重构后的误差为 err = 1.6717e-0090500100015002000250030003

22、500400005001000原 始 信 号020040060080010001200140016001800200005001000ca1近 似 信 号 ca101002003004005006007008009001000010002000ca2近 似 信 号 ca2图 4-20200400600800100012001400160018002000-40-2002040cd1细 节 信 号 cd101002003004005006007008009001000-50050cd2细 节 信 号 cd2图4-3050010001500200025003000350040000200400600原 始 信 号05001000150