2017用构造法求数列的通项公式

1、.用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列- 等差数列 等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用例 1:（ 06 年福建高考题） 数列 an中, a11,an 12an1则 an( )A 2nB 2n1C 2n1D 2 n 1解法1： an 1 2an1an11 2an22(an1)又 a112an11an21an1 是首项为2 公比为 2 的等比数列an12 2n 12n ,an2n1,所以选 C解法2归纳总结： 若数列an 满足 an 1pa n

2、q( p1, q 为常数），则令 an 1p(an) 来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。例 2：数列an中， a11, a23,an 23an 12an ，则 an。解： an 2an 12(an 1an )a2a12anan 1为首项为2 公比也为2 的等比数列。anan 12 n 1 ，（ n1）n1时. 下载可编辑.an(anan 1) (an 1an 2 )(a2 a1 ) a12n12n 22 112n2n112显然 n=1 时满足上式an2n1小结：先构造an 1an等比数列，再用叠加法, 等比数列求和求出通项公式，例 3：已知数列an中 a15, a22, an

3、 2an 13an 2 , ( n 3) 求这个数列的通项公式。解：a n2 a n 13 a n 2anan 13(an 1an 2 )又 a1a27, anan1形成首项为7，公比为 3 的等比数列，则 anan 173n 2 又 an3an 1(an 13an 2 ) ，a23a113 ， an3an 1 形成了一个首项为 13，公比为 1 的等比数列则 an3an 1( 13) ( 1) n 2 34an7 3n 113 ( 1) n 1an73n 113 ( 1) n 144小结：本题是两次构造等比数列， 属于构造方面比较级， 最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。例 4：设数列

4、an的前项和为Sn , 若 2an2nSn 成立， (1) 求证：ann 2n 1 是等比数列。(2) 求这个数列的通项公式证明： (1) 当n1, b a12(b1)a1 ,a12. 下载可编辑.又 ban2n(b1)Sn ban 12n 1(b1)Sn 1 ban 1ban2n(b 1) an 1an 1ban2n当 b 2时，有 an 1 2an 2nan 1(n1)2n2an2n(n1)2n2 (ann 2n 1 )又 a1 21 1 1ann 2n 1 为首项为1，公比为2 的等比数列，(2)ann 2 n 12n 1 ,an(n1) 2 n 1小结：本题构造非常特殊，要注意恰当的化

5、简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。例 5：数列 an满足 a13, an1 2an 32n1 ，则 anA (3n1)2 nB (6n3)2n 1C 3(2n1) 2 n 1 D (3n 2)2n 1解： an 12an 3 2n 1,an 1an32n 12 nan1an3, 又a132n12n22an构成了一个首项这3，公差为3 的等差数列，2n2. 下载可编辑.an332n(n 1) 33n22an22n 1(3n3)(6n3) 2n 1 所以选 B。2小结：构造等比数列，注意形an，当 nn1 时，变为 an 1 。2n2n

6、 1例 6 ： 已 知 函 数 f ( x) ( x2) 2 , (x0) ， 又 数 列 an中 a12 ， 其 前 n 项 和 为Sn , (nN) ，对所有大于1 的自然数 n 都有 Snf (Sn 1 ) ，求数列an 的通项公式。解：f ( x) ( x2 ) 2 , Snf (Sn 1 ) ( Sn 12) 2SnSn 12 , SnSn 12S1a12Sn是首项为2 ，公差为2 的等差数列。Sn2(n ! )22n,Sn2n2 。n 2时， anSnSn 12n22(n 1)24n 2且当 n1时， a12 41 2符合条件通项公式为an4n2例 7：（ 2006 山东高考题）已

7、知 a12 ，点（ an , an 1 ）在函数 f ( x) x 2x 的图象上， 其中 n 1,2,3,求数列 an的通项公式。解：f ( x) x 22x又 (an ,an 1 ) 在函数图象上an 1an 22an. 下载可编辑.an 11a22a1(an1) 2nnlg(an 11)2 lg(an1)lg(an11)2, lg( a11)lg 3lg( an1)lg( an1)是首项为 lg3 公比为 2 的等比数列lg an 1n1lg 32 n 12lg 3an132n 12 n11an 3小结：前一个题构造出Sn 为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，后一个题

8、构造lg an1为等比数列 , 再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点， 因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识， 以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁 , 揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。例 8：(2007 天津高考题 ) 已知数列an 满足 a12, an 1ann 1(2) 2 n ，（ nN * ）其中0 ，求数列的通项公式方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求an 的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。解： an 1ann 1( 2) 2n ,( n N *,0)n 1n( 2 )( 2 )n1a

9、n 1ann 1an 12)n 1an2n1,n 1(n( )。所以n 1( 2 )n1n( 2 )n1,a120an 1an. 下载可编辑.所以an( 2 )n为等差数列，其首项为0，公差为1；nan2nn 1, an( n 1)n2nn( )例 9：数列 an中，若 a12， an 1an，则 a413anA 2B 16C 8D 3191554解：an1an,113an1313anananan1又 11,1是首项为 1 公差 3 的等差数列。a12an211(n1)356n5an2an23n2,6n52a422所以选 A64519变式题型：数列an 中， a12, an12an，求 an13an解：an12an,113an3 1 11 3anan 12an2 2 an令 11 ( 1), 则23 ,3an 12an2131 ( 13),又 135an12ana1213是首项为5公比为1 的等比数列an22. 下载可编辑.135 ( 1) n 1 ,135 ( 1) n 1an22an2 2an15 (1 ) n 1322小结 : an 1f (an ) 且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构造