线性代数知识点总结第一章

1、线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式anai2a21 ai2、a ii把表达式 a ii a22ai2a2i称为a 21a 1212所确定的二阶行列式，并记作a 22ai1a21a22ai1 a22ai2a2i.结果为一个数。同理，把表达式aiia22a33ai2a23a31ai3a2ia32aiia23a32ai2a2ia333|3822*31,称为由数a11ai2ai3aiiai2ai3表a21a22a23所确定的三阶行列式，记作a2ia22a23。a31a32a33a3ia32a33ai1ai2ai3即a21a22a23= aiia22a33ai2a23a3iai3a

2、2ia32aiia23a32ai2a2ia33ai3a22a3i,a31a32a33二三阶行列式的计算：对角线法那么注意：对角线法那么只适用于二阶及三阶行列式的计算。 利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组a X|耳2 X2a?i X|a?2X2b2设Daiiai20Dia2ia22biai2那么XiDib2a22Daiiai2a2ia22aii XiQ2X2对三兀方程组a2i X|822X2a3iXia32X2aiiai2ai3设Da2ia22a230 ,a3ia32a33Dai2aiiD2b?a?2a2ib2aiibiD2X2a2ib2Daiiai2a2ia22ai3X3bi8

3、23X3b2 ,a33X3b3b1a12a13a11b1a13a11a12b1D1b2a22a23,D2a21b2a23,D3a21a22b2b3比2a33為b3a33a31a32bs那么xD1,X2D2 , X3D3。课果本上没有DDD注意：以上规律还能推广到 n元线性方程组的求解上。第二节：全排列及其逆序数全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列或排列。n个不同的元素的所有排列的总数，通常用R 或An表示。课本P5逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列的奇偶

4、性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。课本P5计算排列逆序数的方法：方法一：分别计算出排在1,2,L ,n 1,n前面比它大的数码之和即分别算出1,2,L , n 1,n这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。课本上没有第三节：n阶行列式的定义a11a12La1 na21a22La2nMMOMan1an2Lann定义：n阶行列式D等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积aip,a2p2L anpn的代数和，其中

5、pi P2pn是1, 2 ,，n的一个排列，每一项的符号由a11a12La1n0a22La2nMMOM00Lann其逆序数决定。DD的det aij ，其中aj为行列式元。根据定义，有Da11a21Ma12a22Man1an2LLOLa1na2nMannt 12L n1aia22L annaiia22L %n 也可简记为t pip2L Pna1Pta2p2 LanPnpi p2L Pn说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；2、n阶行列式是n!项的代数和；3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n个元素的乘积；4、 aip1a2p2

6、L a%的符号为1 t，t的符号等于排列 pi, P2,.Pn的逆序数5、一阶行列式 aa不要与绝对值记号相混淆。推论1： 上,F三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积a110ai2a1 na22Ma2nMt 12L n1a11a22 L annai1 a22 L annann推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积,副对角行列式的值等于以其副对角线上各元的乘积。121 2 Ln，N21Onn即2L n第四节：行列式的性质D的转置行列式。1性质说明行列式与它的转置行列式相等。 行列式中行与列具有同等地位，因此但凡对行成立的行列式的性质的对列也成立。性质互换行列式的两行 ri或列C

7、iCj ，行列式变号。推论如果行列式有两行列完全相同，那么此行列式为零。性质行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数krj k，等于用数k乘此行列式；推论推论性质 性质1245D的某一行列中所有元素的公因子可以提到D的外面;D中某一行列所有元素为零，那么行列式中如果有两行列元素成比例，那么此行列式为零.假设行列式的某一列行的元素都是两数之和，那么D=0。a11a12La1 na11a21Lan1a21a22La2nf Ta12a22Lan2,DMMOMMMOMan1an2anna1na2nLann行列式dt称为行列式定义 记Da11a12L佝a1i)La1na21a22L2ia2i)La2nM

8、MMMan1an2L(aniani)Lanna1 a12La La1 na11a12LSiLa1 na21 a22La2ila2na21a22La2iLa2nLLLLLLLLLLan1an2LaniLannan1an2LaniLannD性质6行列式的值不变。把行列式的某一列行的各元素乘以同一数然后加到另一列行对应的元素上去,计算行列式常用方法：利用定义；利用运算 ri kj把行列式化为上三角形行列式，从说明 立。而算得行列式的值。行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质但凡对行成立的对列也同样成第五节行列式按行列展开余子式在n阶行列式中，把元素 aj所在的第i行和第j列划去后，留下来的n 1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作My。代数余子式 记Aj1 i j M ij，叫做元素aij的代数余子式。引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除i，ji, j元外aij都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即 D ajAj。a11a12La21a22LMMOan1an2La2nMai n定理 n阶行列式 D的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即Dai1Ai1(i 1,2,L , n)或Da1 jA1 ja2j A2j Lanj Anj ，(j1,2,L,n)011L1X1X2LXn扩展范德