解排列组合问题的十八种常用策略ppt课件

1、陈列组合常见题型及战略陈列组合常见题型及战略福州第八中学 高二数学选修2-3授课教师张艳授课教师张艳例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有反复数字可以组成多少个没有反复数字 五位奇数五位奇数. 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_13C13C14C14C34A34A由分步计数原理得由分步计数原理得=28813C14C34A 7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排

2、成一列的花盆里, ,假设假设两种葵花不种在中间，也不种在两端的花两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？盆里，问有多少不同的种法？25451440A A练习题例例2. 72. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法55A22A22A=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素

3、进展陈列，复合元素，再与其它元素进展陈列， 同时对相邻元素内部进展自排。同时对相邻元素内部进展自排。 55A种种 不同的方法不同的方法 46A55A46A相相相相独独独独独独四四. .定序问题空位插入战略定序问题空位插入战略例例4.74.7人排队人排队, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:( (倍缩法倍缩法) )对于某几个元素顺序一定的陈列对于某几个元素顺序一定的陈列问题问题, ,可先把这几个元素与其他元素一同可先把这几个元素与其他元素一同进展陈列进展陈列, ,然后用总陈列数除以这几个元然后用总陈列数除以这几个元素之间的全陈列数素之间的全

4、陈列数, ,那么共有不同排法种数那么共有不同排法种数是：是： 7733AA空位法想象有空位法想象有7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其他的三个种方法，其他的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，那么共有种坐法，那么共有 种种 方法方法 47A147A插入法插入法) )先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人, ,共有共有1 1种排法种排法, ,再再 把其他把其他4 4四人依次插入共有四人依次插入共有 方法方法4 4* *5 5* *6 6* *7 7练习题1010人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人, ,要要求从

5、左至右身高逐渐添加，共有多少排法？求从左至右身高逐渐添加，共有多少排法？510C五五. .重排问题求幂战略重排问题求幂战略例例5.5.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法67允许反复的陈列问题的特点是以元素为研讨允许反复的陈列问题的特点是以元素为研讨对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，普通地各个元素的位置，普通地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的陈列数为个位置上的陈列数为 种种n nm m1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目

6、单，开演前又添加了两个新节目.假设将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 422. 2. 某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯, ,下电梯的方法下电梯的方法 87练习题六六. .环排问题线排战略环排问题线排战略例例6. 56. 5人围桌而坐人围桌而坐, ,共有多少种坐法共有多少种坐法? ? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其他4人共有_ 种排法即 44AA AB BC CE ED DD DA AB BC CE E5-1)5-1)！1m

7、nmA练习题6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排. 先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其他的其他的5人在人在5个位置个位置上恣意陈列有上恣意陈列有_种种,那么共有那么共有_种种.前排后排后排24A14A55A24A55A14A普通地

8、普通地,元素分成多排的陈列问题元素分成多排的陈列问题,可归结为一排思索可归结为一排思索,再分段研讨再分段研讨.例例8.8.有有5 5个不同的小球个不同的小球, ,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内, , 每盒至少装一个球每盒至少装一个球, ,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法. .解解: :第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个组成复合元共 有有_种方法种方法. .再把再把5 5个元素个元素( (包含一个复合包含一个复合 元素元素) )装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法. .25C44A根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的

9、方法共有_25C44A练习题一个班有一个班有6 6名战士名战士, ,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人现从中选现从中选4 4人完成四种不同的义务人完成四种不同的义务, ,每人每人完成一种义务完成一种义务, ,且正副班长有且只需且正副班长有且只需1 1人人参与参与, ,那么不同的选法有那么不同的选法有_ _ 种种192192九九. .元素一样问题隔板战略元素一样问题隔板战略例例9.有有10个运发动名额，在分给个运发动名额，在分给7个班，每个班，每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：由于解：由于10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之

10、间构成个空隙。一排。相邻名额之间构成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mnC练习题 1010个一样的球装个一样的球装5 5个盒中个盒中, ,每盒至少一每盒至少一 有多少装法？有多少装法？2 .x+y+z+w=1002 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解求这个方程组的自然数解 的组数的组数49C我们班里有我们班里有4343位同窗位同窗, ,从中任抽从中任抽5 5人人, ,正

11、、正、副班长、团支部书记至少有一人在内的副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种抽法有多少种? ?十一十一. .平均分组问题除法战略平均分组问题除法战略例11. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？解解: 分三步取书得分三步取书得 种方法种方法,但这里出现但这里出现 反复计数的景象反复计数的景象,无妨记无妨记6本书为本书为ABCDEF 假设第一步取假设第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 该分法记为该分法记为(AB,CD,EF),那么那么 中还中还有有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,

12、CD)共有共有 种取法种取法 ,而而 这些分法仅是这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法一种分法,故共故共 有有 种分法。种分法。222642CCC222642CCC33A222642CCC33A平均分成的组平均分成的组,不论它们的顺序如何不论它们的顺序如何,都是一都是一种情况种情况,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以 (n为均为均分的组数分的组数)防止反复计数。防止反复计数。nnA1 将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队, 有多少分法？有多少分法？544138422C C CA2.2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级

13、共有六个班级，现从外地转 入入4 4名学生，要安排到该年级的两个班级且每名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排班安排2 2名，那么不同的安排方案种数为名，那么不同的安排方案种数为_ 2226422290ACC A十二十二. .构造模型战略构造模型战略例例12. 12. 马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯, ,现要关掉其中的现要关掉其中的3 3盏盏, ,但不能关但不能关 掉相邻的掉相邻的2 2盏或盏或3 3盏盏, ,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏盏, ,求满足条件的关灯方法有多少种？求满足条件的关

14、灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在解：把此问题当作一个排队模型在6 6盏盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种35C一些不易了解的陈列组合题假设能转化为非常熟习的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观处理练习题某排共有某排共有1010个座位，假设个座位，假设4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120十三. 合理分类与分步战略例例13.13.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员, ,其中其中8 8人能人能 能唱歌能唱歌,5

15、,5人会跳舞人会跳舞, ,现要上演一个现要上演一个2 2人人 唱歌唱歌2 2人伴舞的节目人伴舞的节目, ,有多少选派方法有多少选派方法? ?解：10演员中有演员中有5人只会唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞 3人为全能演员。人为全能演员。以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人能否人能否选上唱歌人员为规范进展研选上唱歌人员为规范进展研讨讨. .只会唱只会唱的的5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种,只会唱的只会唱的5人中只需人中只需1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种,只会唱的只会唱的5人中只需人中只需2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种，由分类计数种，由分类计数原理共有

16、原理共有_种。种。2233CC112534CCC2255C C2233CC112534CCC2255C C+ + +解含有约束条件的陈列组合问题，可按元素的性质进展分类，按事件发生的延续过程分步，做到规范明确。分步层次清楚，不重不漏，分类规范一旦确定要贯穿于解题过程的一直。1.1.从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人参与某个座人参与某个座 谈会，假设这谈会，假设这4 4人中必需既有男生又有女生，人中必需既有男生又有女生，那么不同的选法共有那么不同的选法共有_ _ 练习题2. 3成人2小孩乘船玩耍,1号船最多乘3人, 2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2

17、只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.十四十四. .实践操作穷举战略实践操作穷举战略例例14.14.设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,5 3,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号一样恰好有两个球的编号与盒子的编号一样,.,. 有多少投法有多少投法 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种 还剩下3球3盒序号不能对应， 利用实践操作法，假设剩下操作法，假设剩下3,4

18、,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，那么号盒时，那么4,5号球有只需号球有只需1种装法种装法3 3号盒号盒4 4号盒号盒5 5号盒号盒34525C十四十四. .实践操作穷举战略实践操作穷举战略例例14.14.设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,5 3,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号一样恰好有两个球的编号与盒子的编号一样,.,. 有多少投法有多少投法 解：从5个球

19、中取出2个与盒子对号有_种 还剩下3球3盒序号不能对应，25C利用实践操作法，假设剩下操作法，假设剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，那么号盒时，那么4,5号球有只需号球有只需1种装法种装法,25C 同理同理3号球装号球装5号盒时号盒时,4,5号球有也号球有也只需只需1种装法种装法,由分步计数原理有由分步计数原理有2 种种 练习题 同一寝室同一寝室4 4人人, ,每人写一张贺年卡集中起来每人写一张贺年卡集中起来, , 然后每人各拿一张他人的贺年卡，那么四张然后每人各拿一张他人的贺年卡，那么四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)

20、2.2.给图中区域涂色给图中区域涂色, ,要求相邻区要求相邻区 域不同色域不同色, ,现有现有4 4种可选颜色种可选颜色, ,那么那么 不同的着色方法有不同的着色方法有_种种213457272十五十五. 分解与合成战略分解与合成战略例例15. 3003015. 30030能被多少个不同的偶数整除能被多少个不同的偶数整除分析：先把分析：先把3003030030分解成质因数的乘积方式分解成质因数的乘积方式 30030=2 30030=23 35 5 7 7 11111313依题依题 意可知偶因数必先取意可知偶因数必先取2,2,再从其他再从其他5 5个个 因数中任取假设干个组成乘积，一切因数中任取假

21、设干个组成乘积，一切 的偶因数为：的偶因数为：012345555555C C C C C C例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面 直线解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 面体共有_每个四面体有_对异面直线,正方体中的8个顶点可连成_对异面直线481258C3 3358=174分解与合成战略是陈列组合问题的一种最分解与合成战略是陈列组合问题的一种最根本的解题战略根本的解题战略, ,把一个复杂问题分解成几把一个复杂问题分解成几个小问题逐一处理个小问题逐一处理, ,然后根据问题分解后的然后根据问题分解后的构造构造, ,用分类计数原理和分步计数原理将问用分类计数原理和分步计数原理将问题合成题合成, ,从而得到问题的答案从而得到问题的答案 , ,每个比较复每个比较复杂的问题都要用到这种解题战略杂的问题都要用到这种解题战略例例16.16.用用1,2,3,4,51,