2021年苏州市中考一轮复习第19讲《直角三角形》讲学案

1、2021年中考数学一轮复习第19讲?直角三角形?【考点解析】知识点一：直角三角形的性质【例题】2021青海西宁2分如图，OP平分AOB，AOP=15，PCOA，PDOA于点D，PC=4，那么PD=2【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形【分析】作PEOA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得ACP=AOB=30，由直角三角形中30的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD【解答】解：作PEOA于E，AOP=BOP，PDOB，PEOA，PE=PD角平分线上的点到角两边的距离相等，BOP=AOP=15，AOB=30，PCOB，ACP=AOB=30，在Rt

2、PCE中，PE=PC=4=2在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，PD=PE=2，故答案是：2【变式】2021泰安，23，3分如图，在RtABC中，ACB90，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，假设F30，DE1，那么BE的长是 【解析】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质根据同角的余角相等、等腰ABE的性质推知DBE30，那么在直角DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半即可求得线段BE的长度 【解答】解：ACB90，FDAB，ACBFDB90，F30，AF30同角的余角相等又AB的垂直平分线DE交AC于E，EBAA30，直角DBE中，BE2DE2【

3、点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形解题的难点是推知EBA30知识点二：直角三角形的判定【例题】2021潍坊，9，3分一渔船在海岛A南偏东20方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80方向向海岛C靠近同时，从A处出发的救援船沿南偏西10方向匀速航行20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为 A海里/小时 B 30海里/小时 C海里/小时 D海里/小时答案：D考点：方向角，直角三角形的判定和勾股定理点评;理解方向角的含义，证明出三角形ABC是直角三角形是解决此题的关键【变式】3分2021桂林第8题

4、以下各组线段能构成直角三角形的一组是A30，40，50B7，12，13C5，9，12D3，4，6考点：勾股定理的逆定理分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定那么可如果有这种关系，这个就是直角三角形解答：解：A、302+402=502，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、72+122132，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、52+92122，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、32+4262，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；应选A点评：此题

5、考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断知识点三勾股定理及其逆定理的应用【例题】2021山东省东营市3分在ABC中，AB10，AC2，BC边上的高AD6，那么另一边BC等于( )A10B8C6或10D8或10【解析】勾股定理、分类讨论思想，在图中，由勾股定理，得BD8;CD2;BCBDCD8210. 在图中，由勾股定理，得BD8;CD2;BCBDCD826.应选择C.【点拨】此题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的

6、长.【变式】2021陕西3分如图，在ABC中，ABC=90，AB=8，BC=6假设DE是ABC的中位线，延长DE交ABC的外角ACM的平分线于点F，那么线段DF的长为A7 B8 C9 D10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DFBM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题【解答】解：在RTABC中，ABC=90，AB=8，BC=6，AC=10，DE是ABC的中位线，DFBM，DE=BC=3，EFC=FCM，FCE=FCM，EFC=ECF，EC=EF=AC=5，DF=DE+EF=3+5=8应选B知识点四：直角三角形的综合应用【例

7、题】2021四川眉山3分把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45得到正方形ABCD，边BC与DC交于点O，那么四边形ABOD的周长是A B6 C D【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45得到正方形ABCD，利用勾股定理的知识求出BC的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD，从而可求四边形ABOD的周长【解答】解：连接BC，旋转角BAB=45，BAD=45，B在对角线AC上，BC=AB=3，在RtABC中，AC=3，BC=33，在等腰RtOBC中，OB=BC=33，在直角三角形OBC中，OC=33=63，OD=3OC=33，四边形ABOD的周长是：2AD+O

8、B+OD=6+33+33=6应选：A【点评】此题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质此题难度适中，注意连接BC构造等腰RtOBC是解题的关键，注意旋转中的对应关系【变式】2021四川巴中，29，10分如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B 1求证：ADFDEC；2假设AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长【解析】1利用对应两角相等，证明两个三角形相似ADFDEC；2利用ADFDEC，可以求出线段DE的长度；然后在在RtADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度 【解答】1证明：ABCD，ABCD，ADBC，C+B=

9、180，ADF=DECAFD+AFE=180，AFE=B，AFD=C在ADF与DEC中，ADFDEC2解：ABCD，CD=AB=8由1知ADFDEC，DE=12在RtADE中，由勾股定理得：AE=6【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，防止出错【典例解析】【例题1】2021四川内江等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，那么点P到三边的距离之和为( )A B C D不能确定答案B考点勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。解析如图，ABC是等边三角形，AB3，点P是三角形内任意一点，过

10、点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AHBC于H那么BH，AH连接PA，PB，PC，那么SPABSPBCSPCASABCABPDBCPECAPFBCAHPDPEPFAH应选BPBADEF答案图CH【例题2】2021四川内江如图12所示，点C(1，0)，直线yx7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，那么CDE周长的最小值是_答案10考点勾股定理，对称问题。解析作点C关于y轴的对称点C1(1，0)，点C关于x轴的对称点C2，连接C1C2交OA于点E，交AB于点D，那么此时CDE的周长最小，且最小值等于C1C2的长OAOB7，CB6，ABC4

11、5AB垂直平分CC2，CBC290，C2的坐标为(7，6)在C1BC2中，C1C210即CDE周长的最小值是10xyO答案图CBAEDC1C2故答案为：10【例题3】4.2021黑龙江龙东6分如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为1，3、4，12，1，先将ABC沿一确定方向平移得到A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是1，2，再将A1B1C1绕原点O顺时针旋转90得到A2B2C2，点A1的对应点为点A21画出A1B1C1；2画出A2B2C2；3求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换【分析】1由B点坐标和B1的坐标得到ABC向右

12、平移5个单位，再向上平移1个单位得到A1B1C1，那么根据点平移的规律写出A1和C1的坐标，然后描点即可得到A1B1C1；2利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2，点B1的对应点为点B2，点C1的对应点为点C2，从而得到A2B2C2；3先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA1为半径，圆心角为90的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长【解答】解：1如图，A1B1C1为所作；2如图，A2B2C2为所作；3OA=4，点A经过点A1到达A2的路径总长=+=+2【中考热点】【热点1】2021福建龙岩12分图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站

13、和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图88的格点图是由边长为1的小正方形组成1求1路车从A站到D站所走的路程精确到0.1；2在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图要求：与图1路线不同、路程相同；途中必须经过两个格点站；所画路线图不重复【考点】作图应用与设计作图；勾股定理的应用【分析】1先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值；2根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可【解答】解：1根据图1可得：，CD=3A站到B站的路程=9.7；2从A站到D站的路线图如下：【热点2】2021四川南充如图，在RtABC中，ACB=90，BAC的平分线

14、交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆1求证：AB为O的切线；2如果tanCAO=，求cosB的值【分析】1如图作OMAB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明2设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题【解答】解：1如图作OMAB于M，OA平分CAB，OCAC，OMAB，OC=OM，AB是O的切线，2设BM=x，OB=y，那么y2x2=1 ，cosB=，=，x2+3x=y2+y ，由可以得到：y=3x1，3x12x2=1，x=2.75，y=1.25，cosB=0.6【点评】此题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半

15、径，这条直线就是圆的切线，学会设未知数列方程组解决问题，属于中考常考题型 【热点3】2021湖北随州10分爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形如图1、图2、图3中，AM、BN是ABC的中线，ANBN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形设BC=a，AC=b，AB=c【特例探究】1如图1，当tanPAB=1，c=4时，a=4，b=4；如图2，当PAB=30，c=2时，a=，b=；【归纳证明】2请你观察1中的计算结果，猜测a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论【拓展证明】3如图4，AB

16、CD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BECE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长【考点】四边形综合题【分析】1首先证明APB，PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题连接EF，在RTPAB，RTPEF中，利用30性质求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题2结论a2+b2=5c2设MP=x，NP=y，那么AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题3取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明ABF是中垂三角形，利用2

17、中结论列出方程即可解决问题【解答】1解：如图1中，CE=AE，CF=BF，EFAB，EF=AB=2，tanPAB=1，PAB=PBA=PEF=PFE=45，PF=PE=2，PB=PA=4，AE=BF=2b=AC=2AE=4，a=BC=4故答案为4，4如图2中，连接EF，CE=AE，CF=BF，EFAB，EF=AB=1，PAB=30，PB=1，PA=，在RTEFP中，EFP=PAB=30，PE=，PF=，AE=，BF=，a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，故答案分别为，2结论a2+b2=5c2证明：如图3中，连接EFAF、BE是中线，EFAB，EF=AB，FPEAPB，=，设FP=x，EP=y，那么AP=2x，BP=2y，a2=BC2=4BF2=4FP2+BP2=4x2