2021-2021版高中数学第1章导数及其应用1.2.3简单复合函数的导数学案苏教版选修2-2

1、1. 2.3简单复合函数的导数【学习目标】1.理解掌握复合函数的求导法那么.2.能够结合已学过的法那么、公式，进行一些复合函数的求导.问题导学新知接究点点落实知识点复合函数的概念及求导法那么函数 y= 2x + 5+ In x, y= ln(2 x + 5) , y = sin( x + 2).思考1这三个函数都是复合函数吗？思考2 试说明函数y= ln(2 x+ 5)是如何复合的?思考3 试求函数y= ln(2 x+ 5)的导数.复合函数的概念一般地，对于两个函数 y f(u)和u g(x)，如果通过变量 u, y 可以表示成，那么称这个函数为函数 y f(u)和u g(x)的复合函数，记作

2、 y复合函数的求导复合函数y f ( g( x)的导数和函数y f( u) , u g(x)的导数间的法那么关系为y x=，即y对x的导数等于型探究类型一复合函数的概念 例1以下函数是否为复合函数，假设是，说明是怎样复合而成的?2 3 y = (2 x);(2) y = sin x2;n y = cos( 4 x); y = In sin(3x 1).反思与感悟 根据复合函数的定义，假设是一个复合函数， 分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，弓I入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数.跟踪训练1写出由以下函数复合而成的函数.2(1) y = cos u, u= 1 + x ；(2) y =

3、In u, u= In x.类型二求复合函数的导数例2求以下函数的导数：2X1y=32x + 1(3) y = 5log 3(1 - x);2n(4) y = x cos(2 x )32跟踪训练 2 (1)假设 f(x) = (2x+ a),且 f (2) = 20,那么 a=(2) y= ln2，贝U y| x= 1 =e3(3) y= sin x + cos 3 x，贝H y，= 类型三复合函数导数的综合应用 例3求曲线y二一21在点4, 1处的切线方程.A/x 3x2 反思与感悟 (1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，切线的方程或 斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.

4、(2)先求出复合函数的导数，假设切点，那么求出切线斜率、切线方程；假设切点未知，那么先 设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用.跟踪训练3设f(x) = ln( x+1) + x + 1 + ax+ b(a, b R且为常数)，曲线y = f(x)与直线 3y= 2X在点(0,0)相切.求a, b的值.1 函数 y= sin 3x是由函数复合而成的.2. 设 f (x) = e_x 那么 f (x) =.3. 函数y= (1 2x)4在x =亍处的导数为 .14. 过曲线y=2上一点，使曲线在该点的切线平行于x轴，求切线方程.1 + x

5、规律与方法、1.复合函数求导的步骤2求复合函数的导数的注意点：1分解的函数通常为根本初等函数；2求导时分清是对哪个变量求导；3计算结果尽量简洁.提醒：完成作业 合案精析问题导学知识点思考1 函数y= ln(2 x + 5) , y = sin( x + 2)是复合函数，函数y= 2x+ 5+ In x不是复合函数.思考2 设u= 2x + 5,贝U y = In u,从而y= ln(2 x+ 5)可以看作是由 y= In u和u= 2x+ 5, 经过“复合得到的，即y可以通过中间变量 u表示为自变量x的函数.1 2思考 3 y，= 2 (2x+5)，二 2xT5.x的函数f(g(x)y uu

6、x y对u的导数与u对x的导数的乘积题型探究例1解(1) y = (2 x2)3是由y = u3及u= 2-x2复合而成.y = sin x2是由y= sin t及t = x2复合而成.nn(3) y = cos( 4 x)是由 y = cos u 及 u= 4 x 复合而成. y = In sin(3 x 1)是由 y= In u, u= sin t 及 t = 3x 1 复合而成.跟踪训练 1 解 (1) y= cos(1 + x2). y = In(Inx).例2解(1)函数y= 32x 1看作函数y= 3u与函数u= 2x 1的复合，y = y u u x = (3 ) (2 x 1)

7、=(2In 3)3 u= 2 3 2x1 In 3.1 1 y =4= (2x + 1) 4,函数y =4看作函数y = u4与u= 2x + 1的复合.2x + 12x + 1y = y u u x= (u4) (2 x+1)=4u5 X 2= 8(2 x + 1) 582x + 15函数y= 5log 3(1 x)看作函数 y = 5log su与函数u= 1 x的复合.55ux = (5Iog 3u) (1-x)=扇 X ( 1)=x函数t = cos(2x专)看作函数t = cos u与u= 2x 专的复合.cos(2n nX)= (cos u) (2x)=2sin u= 2sin(2

8、 x2n2 y = (x ) cos(2 x 3) + x cos(2n2n=2xcos(2 x ) 2xsin(2 x 3).跟踪训练 2(1)1(2)1en 32(3)3sin xcos x 3sin 3 x2(x2 3x)(2x 3),2 1例 3 解 y= ( x 3x) 2】=11.123 y =2在点 4, 2 处的切线斜率为k= y T x= 4 =-x (4 3X4) x (2 x4 3)yjx 3x2225=花，15切线方程为 y 2= 16(x 4)，即 5x+ 16y 28= 0.跟踪训练 3 解 由 y = f (x)过点(0,0)得 b= 1 , f (x) = ln( x + 1) + x + 1+ ax 1, 1 1f (x) =+ a,x+13 3又曲线y = f (x)与直线y= qx在点(0,0)相切，即曲线y = f (x)在点(0,0)处切线的斜率为 刁313-f 0 = 2，即 1 + 2+ a= 2，二 a= 0.达标检测1. y = u3及 u= sin x 2. ex 3.04.解