第五章概率统计随机数应用实验VIP

1、随机数应用实验随机数应用实验 随机数与统计直方图随机数与统计直方图相遇问题与保险问题相遇问题与保险问题平面多边形填充图平面多边形填充图积分计算蒙特卡罗方法积分计算蒙特卡罗方法均匀分布随机数均匀分布随机数matlab产生均匀随机数方法产生均匀随机数方法: rand(m，n) 产生产生mn个个 0,1 之间之间均匀随机数均匀随机数.随机数等可能落入区随机数等可能落入区间间0，1内长度相等子区间中。内长度相等子区间中。o1引例引例1. 观察观察12个个1 14 4之间整型随机数情况之间整型随机数情况 1+ fix(4*rand(1,12) ans= 4 1 3 2 4 4 2 1 4 2 3 4引例

2、引例2. 观察观察1000个随机点分布情况个随机点分布情况p=rand(2,1000);x=p(1,:);y=p(2,:);plot(x,y,b.)例例2. 观察观察1000 个随机数在个随机数在0,0.5,0.5,1分布情况分布情况function f=myrand(n)if nargin=0,n=1000;endx=rand(1,n);index=find(x0.5);f1=length(index);f=f1,n-f1;第一次实验第一次实验: 490 510第二次实验第二次实验: 497 503第三次实验第三次实验: 508 492第四次实验第四次实验: 511 489统计直方图统计直方

3、图其中其中,data是需要处理的数据块是需要处理的数据块,绘图原理绘图原理:利用利用data中最小数和最大数构成一区间中最小数和最大数构成一区间,将将区间等分为区间等分为n个小区间，统计落入每个小区间的数据个小区间，统计落入每个小区间的数据量。以数据量为高度绘小矩形，形成直方图。如果省量。以数据量为高度绘小矩形，形成直方图。如果省略参数略参数n，matlab将将n的默认值取为的默认值取为10。 直方图也可以用于统计计算直方图也可以用于统计计算n=hist(data，n)计算结果计算结果n是是n个数的一维数组，分别表示个数的一维数组，分别表示data中各个中各个小区间的数据量。这种方式只计算而不

4、绘图。小区间的数据量。这种方式只计算而不绘图。直方图绘图方法直方图绘图方法: hist(data，n)12345010002000n5 = 1969 2010 2018 1999 2004例例5.1 统计统计10000个均匀随机数在五个均匀随机数在五个小区间的分布个小区间的分布 。data=rand(10000,1);figure(1),hist(data,5)n5=hist(data,5)figure(2),bar(n5,r)1234505001000150020002500即观察即观察10000 个随机数在个随机数在0,0.2,0.2,0.4, 0.4,0.6,0.6,0.8,0.8,1分

5、布情况分布情况00.20.40.60.8105001000150020002500例例3. 观察观察1000个平面随机点在单位个平面随机点在单位正方形内的分布情况正方形内的分布情况p(x,y)的坐标均是的坐标均是0,1上均匀随机数上均匀随机数, ,function f=myrand2(n)if nargin=0,n=1000;endp=rand(n,2);x=p(:,1);y=p(:,2);i1=find(x0.5&y=0.5&y=0.5&y=0.5);i4=find(x=0.5);f(1,1)=length(i1);f(2,1)=length(i2);f(2,2)=length(i3);f(

6、1,2)=length(i4);bar3(f,c)ans = 244 233 259 264引例引例3. 实验观察实验观察10个个1 14 4之间随机数情况之间随机数情况 1+3*rand(12,1) 一般区间一般区间a，b上的均匀随机数上的均匀随机数 产生方法产生方法r=a+(b-a)*rand 3.5715 3.8260 2.2964 1.5788 3.2588 2.7813 1.5296 3.6680 3.0507 3.2386第第1 1次次 3.1760 1.9510 3.3711 1.1578 2.9026 3.3670 1.5339 1.0643 1.5349 1.5648第第2

7、2次次 2.7197 3.9160 2.8790 1.8892 3.5416 1.7736 1.4228 1.8419 1.1686 1.8978第第3 3次次随机数注记随机数注记rand(m,n)产生区间产生区间(0,1)上均匀分布的上均匀分布的mn个随机数个随机数. 产生整型随机数方法产生整型随机数方法产生产生“0”和和“1”随机数随机数:fix(2*rand)产生产生“1”到到“100”整型随机数整型随机数: 1+fix(100*rand)均匀分布随机变量均匀分布随机变量 x u(0 , 24), y u(0 , 24)如果甲船到达码头后停留如果甲船到达码头后停留2小时小时,乙船到达码头

8、后停留乙船到达码头后停留1小时小时. .问两船相遇的概率有多大？问两船相遇的概率有多大？ 例例5.2 相遇问题相遇问题: 甲甲、乙两船在乙两船在24小时内独立地随机到小时内独立地随机到 达码头达码头. 设两船到达码头时刻分别为设两船到达码头时刻分别为 x 和和 ys1s2xyo242422122424),(ssdyxp 21225 . 0 s22235 . 0 s24,0 , 21| ),( yxxyxyxdfunction f=shipmeet(n)if nargin=0,n=2000;endp=24*rand(2,n);x=p(1,:);y= p(2,:);i=find(x=y&y=x+2

9、);j=find(y=x&x=y+1);f=(length(i)+length(j)/nplot(x,y,b.) ,hold online(0,22,2,24)line(1,24,0,23)line(0,24,0,24)相遇问题的统计试验相遇问题的统计试验f = 0.118521225 . 0 s22235 . 0 s1&| ),(2 yxxyyxd2&| ),(1 xyyxyxd22122424),(ssdyxp = 0.1207例例5.5 有一千名以上的小学生参加保险公司的平安保有一千名以上的小学生参加保险公司的平安保险险, ,参加保险的小学生每人参加保险的小学生每人一年一年交保险费交保险

10、费50元元. .若一年若一年内出现意外事故内出现意外事故, ,保险公司赔付一万元保险公司赔付一万元。统计表明，。统计表明，每年每年一千名一千名小学生中平均有小学生中平均有两名两名学生出事故。模拟保学生出事故。模拟保险公司获利的数据险公司获利的数据 分析：小学生出意外事故的概率为分析：小学生出意外事故的概率为p=0.002，由于对出由于对出事故的小学生，保险公司一次性赔付一万元事故的小学生，保险公司一次性赔付一万元。一年中一年中保险公司赔付费不超过总的保险收费则会获利，每年保险公司赔付费不超过总的保险收费则会获利，每年保险公司所获利润为总保险收费减去总的赔付费。保险公司所获利润为总保险收费减去总

11、的赔付费。模拟八年中每年出事故的小学生人数模拟八年中每年出事故的小学生人数, ,以及八年中保险以及八年中保险公司获利的数据。公司获利的数据。function puples,profits=safely(n)p=0.002;join=50;pay=10000;all=join*nx=rand(n,8);puples=;for k=1:8 xk=x(:,k); ik=find(xk=p);pk=length(ik); puples=puples,pk;endpays=pay*puples;profits=all-pays;p1,p2=safely(1500)p1 = 3 7 1 1 2 1 2 2

12、p2=45000 5000 65000 65000 55000 % %八年出事故人数模拟八年出事故人数模拟% %八年赔付金模拟八年赔付金模拟 % %八年利润模拟八年利润模拟x1=0:.01:1;y1=sqrt(x1);x2=1:-.01:0;y2=x2.2;fill(x1,x2,y1,y2,r) 平面多边形填充图方法平面多边形填充图方法 fill( )y1=-1:.1:2;y2=2:-.1:-1;x11=y1.*y1;x22=y2+2;fill(x11,x22,y1,y2,r) x1=-1:0.1:1; y1=x1.2.(1/3); x2=1:-0.1:-1; y2=2-x2.2; fill(

13、x1,x2,y1,y2,c)y =x2 , x = y 2 所围区域所围区域y= x 2 与与 y2 = x 所围区域所围区域y =2 x2 , ,y3 = x2 所围区域所围区域例例5.13计算两条抛物线计算两条抛物线 y =x2 ，x = y 2 所围图形的面积所围图形的面积. 蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基，或称计算机随机模拟方法，是一种基于于“随机统计随机统计”的计算方法。方法源于美国在第二次的计算方法。方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划曼哈顿计划”。在正方形区域在正方形区域d内投入内投入n个点，统计坐标满足个点，统

14、计坐标满足 xyx 2的点的点p(x，y)的数目的数目m。面积近似。面积近似计算公式为：计算公式为：s=m/n data=rand(1000,2);x=data(:,1);y=data(:,2);ii=find(y=x.2);m=length(ii);s=m/1000s = 0.3276例例5.14计算二重积分计算二重积分 ddxdyxy2其中其中d为为 y= x 2 与与 y2 = x 所围区域所围区域。 分析分析：由于由于d的边界曲线交点为的边界曲线交点为：(1，1)，(4，2)，被积函数在求积区域内的最大值为被积函数在求积区域内的最大值为16。积分值是一个积分值是一个三维图形所围体积，该

15、三维图形位于立方体区域三维图形所围体积，该三维图形位于立方体区域 (x，y，z) |0 x 4，1 y 2，0 z 16 该立方体区域的体积为该立方体区域的体积为192 192 function v=mlab514(n)data=rand(n,3);x=4*data(:,1);y=-1+3*data(:,2);z=16*data(:,3);ii=find(x=y.2&x=y+2&z=x.*(y.2);m=length(ii);v=192*m/n;蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法:7.1040 8.4480 8.0640 8.2560符号结果符号结果：7.5857 给定曲线给定曲线 y =2 x2 和和 y3 = x2，用定积分计算两曲线围成平面用定积分计算两曲线围成平面区域面积区域面积 显然曲线的交点为显然曲线的交点为：p1( 1，1 )、p2( 1，1 ) .平面区平面区域位于