-线性调频通信技术

1、第七章线性调频通信技术线性调频（LFM）是一种不需要伪随机编码序列的扩展频谱调制技术。由于线 性调频信号占用的频带宽度远大于信息带宽， 所以也可以获得很大的系统处理增 益。线性调频信号又称鸟声（Chirp）信号，因为其频谱带宽落于可听范围，则听 若鸟声，所以又称Chirp扩展频谱（CSS）技术。LFM技术在雷达、声纳技术中有 广泛应用，如在雷达定位技术中，它可在增大射频脉冲宽度、提高平均发射功率、 加大通信距离同时又保持足够的信号频谱宽度，不降低雷达的距离分辨率。1962年，M.R.Wiorkler将CSS技术用于通信中，它以同一码元周期内不同的Chirp速率表达符号信息。研究表明，这种以Ch

2、irp速率调制的恒包络数字调制技术抗 干扰能力强，能显著减少多径干扰的影响，有效地降低移动通信带来的快衰落影 响，非常适合无线接入的应用。进入21世纪以来，将CSS技术用于扩频通信的 研究发展日益活跃，尤其随着超宽带（UWB）技术的发展，将CSS技术与UWB 的宽带低功率谱相结合形成的 Chirp-UWB通信，它利用Chirp技术产生超宽带 宽，具备二者优势，增强了抗干扰与抗噪声的能力。目前CSS技术已成为传感网络通信标准IEEE802.15中物理层候选标准。7.1 LFM信号的表征与特性7.1.1信号表征线性调频（LFM）信号是指瞬时频率随时间成线性变化的信号。假设在一个信 码持续时间T内，

3、信号的瞬时频率变化如图7-1所示。也就是说，假设信号的 瞬时角频率i为:(7-1)式中，0=2 f0 , f0为中心频率，F为瞬时频率变化范围，即围绕f0的两倍频 率偏移。由于信号的瞬时角频率与瞬时相位(t)之间为微分关系，即i dt(t)(7-2)所以，LFM信号的时域表达式可以写为(设振幅归一化,初始相位为零)：F 2f (t) cos (t) cos( ot t2)(7-3)从而有对应图7-1的时域波形f(t)如图7-2所示WiJWF一WWFT 0 I2 2图7-1 LFM信号的瞬时频率F按照处理增益的定义，现在信号的高频带宽近似等于 F，信息带宽为1/T， 故频谱扩展带来的处理增益等于

4、 F/1/T= FT，此即时间带宽积，通常选用FT1 在信号匹配滤波检测的分析中可以看到， FT就是匹配滤波器输出的最大峰值。7.1.2信号频谱特性现在来分析(7-3)式表示的LFM信号f(t)的频谱特性。为便于推导与计算， 常采用复信号表示形式。众所周知，一个时间波形是时间的实函数，而复函数的 实部就表示了这个时间波形，例如 cos( 0t) Reej 、。用复函数来表示实函数 的目的在于方便傅里叶变换的处理运算，例如：F ejotF cos()tjsin()t ,F cos(t) ( o)(o)，-可编辑修改 -F sin( t) j ( o)( o)都包含有正负频率谱，但是Fejot (

5、 o)(o)j j ( o)(o)2(o),只包含正频率谱，此结果表明，复信号ej ot的频谱与实信号cos( ot)的正频率谱相同，只是倍数不同。大家知道，实信号频谱含有正，负频率分量，但是正负频完全可以用率普的振幅谱对称，相位谱反对称，因此对于一个实信号时间波形,对应复信号来求其频谱，结果是等效的。下面应用此结论来求LFM信号时间波11-可编辑修改-形f(t)的频谱。对于(7-3)式f(t)的复数形式可表示为(7-4)F(t)严存对F(t)实施傅里叶变换，可得F(t)频谱P()P( ) F F(t)F 2itT/2 j( o )t tF(t)ejtdt -T/2eT dtj2 .2Tt 2

6、；F( O)(7-5)进行变量代换，令x式中，1T2jTT o T/24卜e-T/2)2，则上式变为dt.T P( ) e 4 FIdx(7-6)7( o22；F( 0(7-6)式计算结果如下:2cosx2 dx22sinx2 dx2(7-7)式中，方括弧内积分可引用特殊函数积分 (Fresnel积分表可查到)c()20 cos(t )dt 与 s()2o sin(t )dt来计算，从而有P( ) e勺 2Fc1()js1()式中,ci(Sl(这样可得F(t)，也即f(t)的振幅谱与相位谱分别为ip( )i J 汎)si2( )1/22()arctan 和)T( - o)ci()(7-8)(7

7、-9)(7-10)(7-11)(7-12)-可编辑修改 -当处理增益FT=50时的| P( )|与()分布如图7-3所示。图7-3 LFM信号的振幅谱|P( )|与相位谱()分布由图7-3可以看出，相位谱()由两部分组成，(7-12)式第二项决定的群时延=2()与成直线关系，它是主要部分；而第一项arcta n哄值在d&()带宽F内很小，基本上呈均匀分布，称之为残余相角。所以()的群时延特性基本为线性。振幅谱|P( )|在B=F的带宽内基本是平坦起伏的均匀分布，也即 95%的信 号能量分布在带宽 B内。图7-4是fo 560MHz, F =160MHz的电路产生的LFM 信号在频谱仪上显示的谱

8、形，基本为一等幅矩形谱，与理论分析基本一致。图7-4频谱仪显示的LFM信号频谱7.1.3信号检测特性对接收的LFM信号的检测方法有多种，原理上应用匹配滤波器概念进行检测。匹配LFM信号频谱|P( )|的匹配滤波器传递函数应为H( ) P*( )e j T(7-13)式中，P*()为LFM信号频谱P()的共轭T为匹配滤波器时延。对于P()，(7-11)式与(7-12)式,可以近似|P( )|在B=F频带内是一均匀分布的常数，按照M(t)2H( )P( )ej td0 F(7-16)P()；加4 F 0, 0 F0 F(7-14)令 T(0 )2H( ) Se 4 F e j T(7-15)设匹配

9、滤波器输入为LFM的复数信号形式，输出为又可写为M(t)10 F e (t T)e j 0(t0 FT)ej 0(t T)do)(t 巧ej 0(t T)(7-17)(7-17)式括弧内积分等效于宽度为F的频域门函数-积分,F即(7-17)式等效为M(t) F +1 丫 ej( )(t T)d( o) ej (t T)(7-18)(7-18)式内傅里叶积分可应用常用的的傅里叶变换对:Sa (2t)1f(7-19)22式中，2为频域门函数带宽，这里2F，(7-18)式的门函数是以f0为中心,宽度为F的波形，因此M(t)，帀 Sd F(t T)eJ 0(t T)亍nF：(t J cos 0(tT)

10、J sin 0(t T)(7-20)F(t T)检测输出为LFM的实信号，故对上式取实部得到输出So(t) ReM(t)有 sin F(t T)F (t T)cos o(tT)(7-21)这是主瓣宽度为1/F,峰值振幅为、匸的压缩脉冲形式，如图7-5所示匹配滤波图7-5 LFM信号的匹配滤波输出波形显然，时间带宽积FT愈大，也即处理增益越高，检测效果越好。假设信道为白高斯噪声信道，进入匹配滤波器的单边功率谱密度为n。，噪声是不匹配滤波器的，因此，匹配滤波器输出噪声功率为N noF。若对匹配滤波器输出信号1峰值采样，则有平均信号功率S 2FT，这是假设输入信号振幅A=1下得出的一般形式则为SA2

11、2FT。输出信噪比/S、 A2FT Eb()ON 2n0F 2n0其中，Eb A2T为信号能量。输入信噪比N2n F 2noFT从而有SS(-)o (FT)(-)i(7-22)NNLFM信号的匹配滤波特性表明信号有极强的自相关特性。分析表明，LFM信号还有极好的互相关特性，检测时对于非匹配滤波器的LFM信号能量将均匀地散落在2T时间间隔之中，这个特性作为通信信号的数据符号识别特别重要。7.2 Chirp通信信号产生与检测 721 Chirp通信信号一般形式通信的二元数据也可用LFM信号，常称为Chirp信号来传输。最常用做法是用围绕着中心频率fo的正向和负向频率斜升变化来代表二元信码”与”0”

12、,表示为1信码f (t) cos( 0t对应0信码f(t) cos(0t-#t2)(7-23)f (t)随频率变化的时频关系如图7-6所示O图7-6 f(t)的时频关系图接收端采用两个相应的匹配滤波器来检测。这个通信过程可以简单地如图7-7所示。图7-7采用正负斜率Chirp信号通信过程代表信码1 ”的正斜率Chirp信号通过匹配滤波器的情况已在 7.1.3中作了 分析，匹配滤波器输出是一个峰值功率正比于时间带宽积FT的压缩脉冲，通过取样判决可以恢复出信码 1 ”代表信码0”的负斜率Chirp信号通过对应的负斜 率匹配滤波器可得出与正斜率匹配滤波器相同结论的压缩脉冲，通过取样判决确定信码0 ”

13、正、负斜率Chirp信号经信道传输，都会对两个匹配滤波器形成输 入，下面分析一下，若负斜率Chirp信号输入正斜率匹配滤波器会产生什么样的 结果？作为匹配正斜率Chirp信号的匹配滤波器传递函数H ()如(7-15)式表示,现设其输入为不相匹配的负斜率 Chirp信号，即f (t) cos( ot2T(7-24)对于复数F (t)输入,正斜率匹配滤波器的傅里叶变换输出1s(t)20)2T/2 j(T/2 eF2dejtd1z(j()e0t *2(7-25)式中,z(). 22 j 2x e 2 dx1t(Tt)t)相应的复数表示F(t) ej(0+上式中，z()取近似值后，可得出F 2j( o

14、t -t2) , T t T(7-26)0, t T,t TS(t) e T 4上式表明，不匹配的负斜率Chirp信号输入，滤波器输出是一个均匀分布在 2T范围内的低幅度值。假若 Chirp信号的时间带宽积(处理增益)FT=50，输入 信号振幅为1时，匹配输出相对于不匹配输出有 50倍差距，可以获得明显的检 测效果。除正、负斜率外，也可以用不同斜率值来表达信码符号1 ”与0”显然，上述的匹配滤波特性反映了 Chirp信号的自相关与互相关特性。图 7-8为信号中 心频率f0=400MHz，带宽F=40MHz ,T=1 ns时的Chirp信号自相关特性与正、 负斜率Chirp信号的互相关特性的仿真

15、验证，可以看出，仿真结果与理论分析基 本一致。图7-8 Chirp信号自相关与互相关特性图7-9为不同斜率 Chirp信号的互相关特性，图中分别对照了斜率40MHz/ms 与60MHz/ms 以及40MHz/ms 与100MHz/ms 两种状况下的互 相关特性。可以看出，随着两Chirp信号的斜率差距加大，互相关幅值逐渐减小图7-9 不同斜率Chirp信号的互相关按照白高斯纹道下，不同斜率(又称调频率)Chirp信号的二元差分检测，其Q(误码率与信噪比关系为，Eds2(tdt为二元信号与s2(t)的差分能量，在s1(t)与s2(t)的能量相等为Ed下，有Pe Q 刑 e)丄 i erfEb(1

16、 e)2n。22n。(7-27)1 T式中e为相关系数，e(t)S2(t)dt。Eb 0例1.用LFM信号传输二元数据，设发 1 ”码时，频率从1950kHz线性增 长到2050kHz，发0 ”码时，频率从2050kHz 线性地减小到1950kHz，振幅 A=1，接收端的匹配滤波器与数码 1 ”的信号匹配。设数据速率为1千比特/秒。 试求当发送数据为1 ”与0”时，匹配滤波器的输出值为多少？解：已知LFM信号频率变化范围为1950kHz2050kHz ，得频率带宽度 F=2050-1950=100 kHz ;数据速率 R=1kbps f T=1/R=10 -3s；在 A=1 下，有发送数码1”

17、时，匹配滤波器输出为压缩脉冲峰值 VmaxFT . 100 10V ；发送数码0 ”时，滤波器不匹配，故输出值很低，据(7-26)式，约为Vmin 1V。7.2.2 Chirp信号调制通信用的Chirp信号调制通常分为两类：二元正交键控 (BOK)与直接调制 (DM)。上节中谈到的分别用正负斜率或不同斜率值Chirp信号代表二元数据符号1 ”与0”，就等于BOK调制。这种方式正是简单地利用了不同斜率Chirp信号脉冲之间的正交性来实现的。直接调制(DM)能进一步提高调制频率？。在直接调制中，将 Chirp脉冲的 展宽和压缩过程直接看成一种扩频调制与解调，而与数据调制基本无关。这一概 念如同直接

18、序列扩频调制一样，只是把扩频序列换成Chirp脉冲信号。基于这一 概念，可以采用DPSK、QPSK、4 DPSK等幅值多维调制方式来提高数据传输速率。图7-10示出了 QPSK调制的Chirp信号产生图，首先在中频IF出产 生QPSK调制脉冲信号，再用该信号驱动 Chirp脉冲产生电路得到DM调制的 Chirp信号输出。IFfo图7-10 QPSK方式的Chirp信号直接调制直接调制（DM）方式还有利于利用Chirp信号所具有的多维正交性实施Chirp信号的多维调制与多址应用。Chirp信号的产生方法大致归结为四种：（1）直接频率调制用纹波控制正、反向线性锯齿波电压直接控制压控振荡器（VCO）

19、来产生正、反斜率的Chirp信号，基本的原理如图7-11所示。图7-11 正反斜率Chirp信号直接频率调制产生原理图图7-12 图7-11 上各点时域波形图7-11上各点时域波形如图7-12所示，这里设正反向斜率 Chirp信号起 点频率相同，则中心频率不同。显然，这种方式很难保证数据转换时刻Chirp信号的频率准确性与相位连续性，损伤了信号的频谱特性，不利于匹配滤波与相 干检测。为此，可将图7-11中VCO改变为锁相环（PLL）控制的VCO,利用锁相 环路的宽带载波跟踪功能来保证 Chirp信号起点频率的准确性，频率与相位可与 基准时钟信号取得同步。这种直接频率调制的改进电路如图7-13所

20、示。此外，信号的频率准确性与相位还同锯齿波电压的线性度及电压稳定性有关，因此对于锯齿波电压产生电路也提出了较为苛刻的要求。图7-13 带PPL的直接频率调制Chirp信号产生原理图(2) CDDS 方式在直接式数字频率合成CDDS的结构中加入一级频率累加器就构成了CDDS，可用来产生正向或反向 Chirp信号。原理组成如图7-14所示。这是种数字生成Chirp信号的方法。FcKcDDS CDDS图7-14 CDDS产生Chirp信号原理图在图7-14上，受起始频率控制字Fc与频率斜升控制字Kc的控制，频率累 加器在时钟控制下产生线性上升瞬间频率增量。相位累加器则在瞬时频率增量控 制下生成线性调

21、频的二次瞬时相位增量。由相位增量寻址波形存储器得到相应频率量的幅度量化值，经过 D/A变换可得到连续频率变化阶梯波，用低通滤波器 滤去高频分量，就得到线性调频，即Chirp信号的输出。CDDS方式产生Chirp信号有线性度高、可编程、稳定性好、可靠性高等优 点，而且有DDS芯性可用。为满足设计要求，通常在 CDDS原面加一个PLL 信频电路，展宽Chirp信号频带实现中心频率搬移，还可进一步抑制杂散。(3) 正交调制方法Chirp信号可以分解成为正交与同相分量方式，即12 2 2f(t) cos( 1tt ) cos t cos 2 f0t sin t sin2 f0t2I (t) cos2

22、f0t Q(t) sin 2 f0t(7-28)式中F为调频斜率；I(t) cos t2为同相分量，Q(t) sint2为正交分量,这里可以采用数字方式来产生l(t)与Q(t),在进行正交调制产生f (t),如图7-15 所示。这种产生方式的优点在于I、Q分量产生的灵活性。可以很方便地通过改 变I、Q分量实现Chirp信号的直接调制。当然，这种需要混频调制的方式有可 能带来杂散、谐波与相位噪声等影响。图7-15 正交调制方式Chirp信号产生(4)声表面(SAM)色散延迟线方式这是一种无源Chirp信号产生方法。若Chirp信号起始频率为人，带宽B， 时间间隔T，则首先产生一个时宽to 1 B

23、矩形宽脉冲去调制频率为fi的中频振 荡信号，然后通过一带宽为B的中频矩形带通滤波器得到sinXX形包络调制中 频窄脉冲，最后用该窄脉冲直接激励SAWChirp色散延迟线得到所需 Chirp信号。这里的SAWChirp色散延迟线直接根据所需的 Chirp信号形式进行叉指设 计。SAW色散延迟线方式的优点在于应用方便，可靠性高，但是SAW器件存在有2030dB接入损耗，为得到足够的输出Chirp信号幅度，要求驱动冲击信号幅度很高7.3 Chirp 信号的接收检测通常， Chirp 信号的接收检测时经天线接收的信号通过低噪声放大器 (LNA) 后送入匹配滤波器实现 Chirp 信号波形压缩， 通过包

24、络检波提取压缩脉冲， 再经 采样判决等处理恢复出数据。显然， Chirp 信号的匹配滤波压缩是关键技术。关 于匹配滤波原理在 7.3.1 中已有阐述， 这里主要介绍实现 Chirp 信号匹配压缩的 三种主要实现方式：(1) 时域数字脉冲压缩采用 IQ 正交双通道处理，优点在于可以避免接收信号的随机相位影响。系统接收到的 Chirp 信号为s(t) a(t)cos( 0t(t)a (t ) cos cos 0t)(t) a(t)sin sin 0t(t)(7-29)其中(t)t2为线性频率变化部分，a(t)为信号的振幅起伏。用频率为f0 的正弦波进行正交相位检波，其中 I 路零中频信号输出为XI

25、 (t) a(t)cos cos (t) a(t)sinI(t)cos Q(t)sinsin (t)(7-30)Q 路零中频信号输出为XQ(t) I(t)cos Q(t)sin(7-31)其中 I(t) a(t)cos (t) ，Q(t) a(t)sin (t ) ，将上述信号的数字化写成复形式为X( n) Xi( n) jXQ (n)。假设 hi (n)、hQ( n)分别为 X, n)、XQ(n)匹配滤波响应,则对应 X ( n )的接收匹配滤波器响应为 h(n)hI(n)jh Q ( n ) ，匹配滤波的输出为X(n) h(n)YX(In()n)jYhI (nn)XQ(n)hQ(n)jXI

26、(n)hI(n) XQ(n)hQ(n)(7-32)YI (n)jYQ(n)实际输出Y(n).Y2i(n)Y2q(n)，经过数模变换(ADC)后就得到压缩信号y(t)体实现框图如图7-16所示。Y(n)输入求模YQ(n)Y(n)图7-16 Chirp信号的时域压缩过程(2) 频域数字脉冲压缩假设接收到的Chirp信号形成为s(t) a(t)cos ot (t)，其中(t) t2为 线性调频部分。经本地fo载波相干检波后，得到同相(I路)零中频信号 Vi (t) a(t)cos (t)、正交(Q路)零中频信号VQ(t) a(t)sin (t)，经快速傅氏变换 (FFT)后与匹配滤波器的频率响应 H

27、 (f)相乘，乘积信号作快速傅氏逆变换(IFFT) 即可得到脉冲压缩信号y(t)，其实现系统结构见图7-17.使用流水线工作方式， 用批处理方式完成数据采集、FFT、复相乘、IFFT等，这种方式处理速度高，工 作稳定，重复性好，具有较大的工作灵活性。(3) 声表面波(SWA)色散压缩线实现方式可以实现Chirp色散压缩线的SAW器件主要有两种方式：叉指器件(IDT) 和反射阵压缩器(RAC)，叉指器件换能器结构也有两种，一是不作加权的线性 Chirp换能器，一是采用切指加权的加权线性Chirp换能器。RAC利用沟槽阵列对声表面波的反射来实现色散，能达到很高的BT，但制造工艺复杂。目前，国内相关

28、研究单位已制造出采用加权叉指器件实现的SAWChirp器件，器件标 称中心频谱为1GHz ,色散带宽 600MHz ,色散时间0.15 s ,实现Chirp信号时域展宽的脉冲展宽线的斜率为负，其幅度频率响应如图 7-18所示，脉冲压缩 采用了加权来压缩时域旁瓣，其幅度频响如图 7-19所示。可见使用SAW压缩 延时线来实现Chirp脉冲的压缩可以使接收设备大为简化。本地f0图7-17 Chirp信号的频域压缩过程图7-18 SAWChirp脉冲展宽幅度频响图7-19 SAWChirp脉冲压缩线频响图Chirp信号为典型的非平稳信号，除采用传统的匹配滤波接收方式外，还可以考虑利用各种时频分析技术

29、进行变换域分析，提取接收Chirp信号特征，从中可以进一步提取出传输信道特征， 在此基础上可以完成信道估计。信道均衡、多径分集接收、定位测距等功能。已有研究表明，Radon-Wigner 变换、分数阶Fourier变换(FRFT)对特定 的Chirp信号有能量聚集特性，Chirp-Fourier变换可同时匹配Chirp信号的中 心频率和调制频率，同样具有能量聚集效应，可以实现Chirp信号的检测和参量 估计。一个公认的观点是，任何一种时频分布如果对线性调频信号不能提供良好 的时频聚集性，那它便不适合用作非平稳信号时频分析的工具。由此可见，其它 的时频变换分析工具，如Wigner-Ville 分

30、布、Wigner-Hough 变换、模糊函数、 进化谱估计、线性调频小波(Chirplet)等均可考虑用来实现Chirp信号的检测和参量估计。下面的7.3节将对分数阶傅里叶变换作专门的叙述。7.3 Chirp信号的分数阶傅里叶变换7.3.1基本概念分数阶傅里叶变换(FRFT)是一种时频变换，可以理解为Chirp的基分解FRFT的基本定义：定义在t域函数f (t)的P阶分数阶傅里叶变换是一种线性积分运算Xp(u) F Pf(t)f(t)Kp(u,t)dt (7-33)式中P为分数阶傅里叶变换的阶数；为变换域与时间轴之间的旋转角度,P 2 ； u为分数域的横轴；Kp(u,t)为分数阶傅里叶变换的变

31、换核，其为12COt exp(jcot匹)sinKp(u,t)(t u), 2n(t u),(2n 1)(7-34)因此有Xp(u)12COt e2j cot2jfx(t)e 2cotjtu跖 dt , nx(u), 2nx( u),(2n 1)(7-35)由(7-34)式看出，分数阶傅里叶变换核实质上是一组调频率为cot的Chirp信 止 cot号，其初始频率为ucsc ( u/sin )，复包络为,(1 j cot )/2 e 2。分数阶 傅里叶域由该组完备正交基所表征，通过改变旋转角度，使可以得到不同调频率的基。当2时，分数阶傅里叶变换就成为了传统的傅里叶变换，分解基也由Chirp信号变

32、成了正交完备的三角函数系。如同单频正弦信号经过傅里叶变 换就必然会在某个单频基上成为冲激函数一样，一旦需要滤波处理的Chirp信号 与某组基的调频率吻合，那么该信号也就必然在该组基中的某个基上形成一个函 数，而在别的基上则为零。这点说明了 Chirp信号在分数傅里叶变换域上具有很 好的时频聚焦性。同时它又是个线性变换F Paf(t) by(t) aXp(u) bYp(u)(7-36)信号与噪声叠加后的分数阶傅里叶变换等于各自分别进行分数阶傅里叶变换的叠加。利用上述两点便可以对不同调频率的Chirp通信信号在分数阶傅里叶变换域上进行检测处理。7.3.2 Chirp通信信号的FRFT检测如上所述，

33、Chirp信号在分数阶傅里叶变换域有很好的能量聚集性，因此可 以用FRFT来检测接收的Chirp信号的能量聚集的峰值点位置及峰值大小，以进行采样判决，恢复出数据。基本思路是以旋转角为变量进行扫描，求观测信号的分数阶傅里叶变换，从而形成信号能量在参数(，u)平面上的二维分布。FRFT 的计算可借助于FFT实现，使得以旋转角为变量的计算量大大减小。算法的计算复杂度将取决于所采用的搜索算法及离散FRFT的计算。对于通信用的Chirp信号，不同调频率的Chirp信号在相应阶次P的分数 傅里叶变换域内均能实现能量聚集，而噪声却不会。分数阶傅里叶变换的变换阶次P与旋转角度、信号调频率 存在对应关系。当P

34、(0,2)时，有cot , P 2cot(P 2)(7-37)假定接收的实Chirp信号用复信号表示，为便于处理用同步检波方式将射频Chirp信号下搬移至基带。设基带 Chirp信号为2f (t) Aexp(j2 fot j t j ), t 0,T为对应于分数阶傅里叶变换离散算法的模型，将其改写为f (t) Aexp(j2 fmt j t2 j ), t T/2,T/2且fmf。t/2。其对应分数阶傅里叶变换为T/2222Fa(u)A.,1jCOt “d (t COt 2UtCSC U COt 电(t 2fmt) j dtU2 COtT/2 j et2 (COtT/2)ej2t(fmUCSC

35、 )dt(7-38)(7-39)(7-40)式中定义 式中1/ .2已归入 处理的基 带信号振 幅A中。将 COtfm UCSC代入(7-40)式中，可得到f(t)的分数阶傅里叶变换的振幅谱，用其模值平方表示能量峰值，则有21 Fa ( U ) 1 maxa2t2|sin |(7-41)由于实际传输的是实Chirp信号，其FRFT谱与复Chirp信号的FRFT谱相 同，只是能量降低了一半，多了一个对称谱。如果直接对以同步检波方式混频到 基带的实Chirp信号进行检波处理，应当根据基带信号参数，先计算出二元数码 1，0码元相应的分数阶傅里叶变换域上峰值点位置Um0、Umi，再直接在该点进行采样判

36、决。实基带Chirp信号的解调检测步骤如下：(1)将同步接收后的信号混频到基带，然后将输入的实基带信号按码元周期下分别作P0， P1阶分数傅里叶变换(0COt(P0 /2)、1cot( P1 /2)。(2)对变换结果取模平方后，按确定的采样位置Um。、Umi进行采样判决检测组成示意图如图7-20所示。Umo与Umi分别为P0阶与Pi阶分数阶傅里叶 变换域上能量峰值点位置。从时频谱滤波角度看，分数阶傅里叶变换可以解释为 信号在时频平面内绕原点旋转任意角度后所构成的分数阶傅里叶域的表示。故对Umo、Umi的峰值点的采样可以用以Umo与Umi为中心频率的宽带带通滤波器，适 当选择带宽取得信号能量的滤

37、波输出。如果恢复原时域信号，可将滤波后作反向旋转回时间域便可得到抑制了噪声的原信号图7-20 Chirp-rate 二元调制的检测示意图例2试证明一个正负调频率的实Chirp信号的分数阶傅里叶变换的能量峰点相等，峰点位置相反，即UmoUmi证明：题意表示二元数码的 Chirp信号正负调频率o ， i因此有cot o COt( o)arg cot()按FRFT处理后能量峰值|Fa(U)爲a2t2|sin |sin o sin ii不影响峰值，故峰值相等。据fm U csc 公式， UmOfm / csc O ,Umifm /CSC i，um01 mCSC 01 mcsc( 1 )mCSC 1um

38、0um1。7.4性能分析7.4.1误码率通常通信中，伴随Chirp信号传输的还有信道噪声n(t) , n(t)为加性高斯白噪声，因此有接收解调的输入信号为x(t) Acos(2 fott2) n(t)t 0, T(7-42)式中 F /T为Chirp信号的调频率使用匹配滤波器(MF)方式检测,由(7-27)式得到误码率与信号噪声功率比关系为erf (7-43)式中Eb A2?为信号码元能量；n为高斯白噪声的单边功率谱密度； 为Chirp信号的相关系数，使用分数阶傅里叶变换(FRFT)方式检测,由(7-41)式得到取样峰值平方模值| Fa(u)|2 2A T / |sin()| o由于 |sin

39、()| 1/1 cot2|，1 cot22，所以有sin(7-44)故而有Fa(2maxA2TF EbF(7-45)在任何的分数阶傅对于信道的高斯噪声，噪声能量均匀分布在整个时频平面内, 立叶变换域上均不会出现能量密集，可近似认为FRFT对噪声呈现出线性过滤特性。图7-20表示的FRFT为二元差分检测方式进行比较判决的信号平方幅度为2Fa( )max EbF ；输入噪声经FRFT的线性过滤器上下支路噪声和为2nF ，所以有误码率Pe QJ erf(7-46)图7-21为匹配滤波与FRFT检测的误码率pe和互关系曲线。由于FRFT是非相 n。干检测方式，相对于匹配滤波器(MF)的最有性能差了大概

40、约3dB 图图7-21误码率曲线7.4.2锁相环同步混频对性能的影响前面提到，为便于处理，通常将接收的射频 Chirp信号以同步检波方式混频 到基带，同步混频常采用锁相环电路来实现。锁相环 (PLL)具有优良的锁定与跟 踪性能，可为同步混频提供稳定的本地相干载波。例如，让锁相环锁定在Chirpf。信号的初始频率，即(7-42)式的fm上，就可以将Chirp信号的射频频谱搬移到Pe基带频域上，图7-22表示了这个频谱搬移的实现过程。图中相干载波频率是由锁相环的VCO提供，它是锁相环从输入的二元速率调制的 Chirp信号中提取的。 显然，锁相环提取的相干载波中不可避免的存在随机的稳态相位误差n。相干载波SL(t)的表示为E(t) Vcos( otn)(7-47)经过同步混频，稳态相位误差n会传递到基带Chirp信号上，它会影响到匹配滤波器与FRFT检测的性能。我们对一个f。560MHz , T的Chirp信号用集成锁相环提取相干载波，并在均方根相位抖动n为时给出了分析计算与系统仿真的误码率曲线，如图 7-23所示。图7-22 Chirp信号同步混频过程图7-23存在相位抖动下的Pe分析和仿真曲线从图7-23看出，相干检测的匹配滤波器相对于非相干 FRFT处理有大约3dB的增益，系统仿真亦验证了这个结论。相位抖动会导致