例题与探究(4.2.1直线与圆的位置关系4.2.2圆与圆的位….doc

1、典题精讲例 1 求通过直线 l:2x+y+4=0及圆 C:x 2+y2 +2x-4y+1=0的交点 ,并且有最小面积的圆的方程 .思路分析 :对于直线与圆的位置关系 ,一般不求直线与圆的交点 ,而用圆心到直线距离来处理直线与圆的问题 .解法一 :画出如图4-2-6 示意图 ,圆的方程为 (x+1) 2+(y-2) 2=4.图 4-2-6设直线 l 与圆 C 交于 A 、B 两点 ,D 为 AB 的中点 ,则直线 CD 的方程为x-2y+5=0,x2 y50,13,6).由y4解得 D(2x0.55CD= |2 (1)24 |4 5,AD=4-41625.5555以 D 为圆心 ,AB 为直径的

2、圆是面积最小的圆,所求方程是 (x+ 13)2+(y-6)2=4.555解法二 :设圆的方程是(x2+y 2+2x- 4y+1)+ (2x+y+4)=0,即x+(1+ ) 2+(y+24)2=5 21616,4则此圆面积为5216165825S=4=( -) + ,4548圆面积最小 ,此时圆的方程是5x22当 = 时 ,+5y +26x-12y+37=0.5绿色通道 :圆中的最值问题一般都要利用数形结合思想进行求解.根据圆的性质 ,寻找最值取得的条件而求解,涉及所求的圆是经过直线与圆或圆与圆的交点时,也可利用圆系方程来求解,这样较为简便 .变式训练 1求圆心在直线 x-y-4=0上 ,且经过

3、两圆 x2+y 2-4x-3=0和 x2+y 2-4y-3=0的交点的圆的方程 .解: 画出如图 4-2-7,设经过两已知圆的交点的圆的方程为x2222+y -4x- 3+ (x+y -4y-3)=0,图 4-2-7则其圆心坐标为 (2 , 2).所求圆的圆心在直线 x-y-4=0 上 ,11221-4=0, 解得 = .113所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-3=0.例 2 求经过点 A(-2,-4) 且与直线 l:x+3y=26 相切于点 B(8,6) 的圆的方程 .思路分析 :本题利用待定系数法求圆的方程及直线与圆的位置关系. 若选用圆的标准方程,注意到圆的切线的性质,求出圆心坐标及

4、半径;若采用圆的一般方程,则通过待定系数法求D、E、F.图 4-2-8解法一 :设圆心为C(a,b),圆的方程为 (x-a)2+(y-b) 2=r2.(a2) 2(b4) 2(a8) 2(b6) 2.再由 |CA|=|CB|,CB l 可得b611.a()83解得 a= 11,b=3,r=125.故所求圆的方程为 (x-11)2+(y+3)2 =125.222222解法二 :设圆心为 C,则 CB l.故直线 CB 的方程为 3x-y-18=0.设直线 CB 与圆 C 的另一交点为P,连结 AP 、AB, 则 AP AB.直线 AP 的斜率为 -1,直线 AP 的方程为 x+y+6=0.由上述

5、两个方程 ,可得 P 点坐标为 (3,-9),而 C为线段 BP的中点 ,所以 C 点的坐标为 ( 11,3). 圆的半径为 |CB|=125.22211因此 ,所求圆的方程为(x-22 32125) +(y+) =.2222解法三 :设圆的方程为x +y +Dx+Ey+F=0,所以得方程组(2) 2(4) 2( 2)D(4)EF0,8 2628D6EF 0,E612(1.D)8322D4EF20,整理得8D6EF100,3DE36 .D11,解得 E3,故所求圆的方程为 x2+y 2-11x+3y-30=0.F30.绿色通道 :求圆的方程 ,一般可从圆的标准方程与圆的一般方程入手,至于选择哪

6、一种方程形式更恰当 ,这要根据题目所给的条件来确定.总之 ,要让所选择的方程形式使解题过程简单.变式训练 2自点 A(-3,3) 发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射 ,其反射光线所在直线与圆 x2+y 2-4x-4y+7=0 相切 ,如图 429,求光线 l 所在直线的方程 .图 4-2-9解法一 :依题意 ,设直线 l 的方程为y-3=k(x+3),即 kx-y+3k+3=0, 利用平面几何知识 ,点 C到直线 l 的距离为 1,即 | 2k23k3| =1,k 21化为 24k2+50k+24=0.解得 k1=433,k2=.434故所求直线方程为y-3=(x+3) 或 y-3=

7、(x+3),43即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0.22解法二 :如图 4-2-10,由已知 ,圆的标准方程为(x-2) +(y-2) =1.图 4-2-10由题意知 k0,于是 l 的反射点的坐标是3(1k )(,0).k因为光线入射角等于反射角,所以 ,反射线 l 所在直线的方程是 y=-k x+ 3(1k ) .k整理得 kx+y+3k+3=0.这条直线与已知圆相切 ,因而圆心到它的距离等于半径1,即 | 5k5 | =1,12k2+25k+12=0.1k 2解得 k=34或 k=.43所以 l:3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0.例 3 已知曲线 C:x=4y 2

8、(-2 y和2)直线 y=k(x-1)+3只有一个交点 ,求实数 k 的取值范围 .思路分析 :恰当地作出图形是解本题的关键.将所给曲线和直线画在一个坐标系下,曲线为半圆,直线过定点 ,从图形中可以发现两者只有一个交点的情况.解: 如图 4-2-11,曲线 C 表示是以 (0,0)为圆心 ,2 为半径的右半圆 ,直线过 (1,3) 点 .图 4-2-11由图可得15kAM =1,kBM = =5,11 1k5.又| k3 |2解得 k=-1261=2,3k +6k-5=0,(舍正 ).k 23 k 取值的集合为 k|1 k5或 k=-1- 2 6 .3绿色通道 :依据曲线交点的情况,寻求解析式

9、中未知系数的取值范围问题,通常都借助于图象,数形结合会帮助我们迅速发现符合条件的部分图象,从而找到结果 .变式训练3若直线 y=x+k 与曲线 x=1y 2 恰有一个公共点,求 k 的取值范围 .图 4-2-12答案 :曲线 x= 1y2可变形为22,即单位圆的右半部分(包括边x +y=1(x 0),它表示半圆界),y=x+k 表示的是斜率等于1 的平行直线系 ,根据图象容易知道 -1k1或 k=2 .例 4设圆满足 :截 y 轴所得弦长为 2;被 x 轴分成两段圆弧 ,其弧长的比为 3 1.在满足条件的所有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程 .思路分析 :可设所求圆的

10、标准方程为(x-a) 2+(y-b) 2 =r2,它有三个待定系数 a、 b、r.将条件等价转化为所截圆弧所对的圆心角的度数为90,进而可求出 r 与 b 的关系 .将条件等价转化为 r与 a 的关系 .最后利用算术平均值不等式或方程有实数解的条件:判别式不小于 0等方法求出a、b、 r.解法一 :设圆的圆心坐标为P(a,b),半径为 r,则点 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 |b|、 |a|.由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧的圆心角为90,于是圆 P 截 x 轴所得弦长为2 r,故 r2=2b2.又圆 P 截 y 轴所得的弦长为2,所以有 r2=a2+1,从而得 2b2-a2=1.点

11、 P(a,b)到直线 x-2y=0的距离为 d= | a2b | .a所以22222225d=|a-2b| =a +4b -4ab=2a +2b -4ab+1=2(a-b) +1 1,当且仅当 a=b 时 ,上式取等号 ,此时 5d2=1, 从而 d 取得最小值 .由此有ab,2b2a 21,解此方程组得a1,或 a1,b1,b1.由 r2=2b2,知 r 2=2.故所求圆的方程是(x-1)2222+(y-1) =2或 (x+1) +(y+1)=2.解法二 :同解法一得 d= | a2b | ,5故 a-2b= 5 d.于是 a2=4b 2 5 bd+5d2 ,将 a2 =2b2-1 代入式

12、,整理得 2b245 db+5d 2+1=0. 把它看作关于b 的一元二次方程,由于方程有实根,故判别式非负 ,2于是=8(5d -1) 0,2解得 5d 1.所以 5d2 有最小值1,从而 d 有最小值5 .52将其代入式得2b 4b+2=0,将 b=1 代入 r2=2b 2,得 r2=2. 又由 r2 =a2+1,得 a=1.综上 ,解得 a=1,b= 1,r2 =2.由|a-2b|=1,知 a、 b 同号 .于是 ,所求圆的方程是(x-1) 2+(y-1) 2=2 或 (x+1) 2 +(y+1) 2=2.绿色通道 :解题的过程就是实现条件向结论转化的过程 .对于直线与圆 ,需要综合平面

13、几何、解析几何、代数知识 ,将条件转化成熟悉的形式 ,以便用常规的解题思路求解 .变式训练4已知圆的半径为10,圆心在直线 y=2x 上 ,圆被直线 x-y=0截得的弦长为42 ,求圆的方程 .解法一 :设圆的方程为 (x-a)2 +(y-b) 2=10.由圆心在直线y=2x 上,得 b=2a.联立直线与圆的方程,得 2x 2-2(a+b)x+a 2+b 2-10=0.122x1+x 2=a+b,x 1x2=(a +b -10).2由弦长公式 ,得1 k 2( xx)24x x22(a b) 22(a 2b 210)42 .121化简 ,得 a-b= 2.由得a=2,b=4 或 a=-2,b=

14、-4.所求圆的方程为(x-2) 2+(y-4) 2=10 或 (x+2) 2+(y+4) 2=10.解法二 :根据半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形 , 由勾股定理可得弦心距d= r 2(4 2)210 82 .2又弦心距等于圆心(a,b)到直线 x-y=0的距离 ,d= | ab | .2 | ab | = 2 .2又已知 b=2a,可解得 a=2,b=4 或 a=-2,b=-4.所求圆的方程为 (x-2) 2+(y-4) 2=10 或(x+2) 2+(y+4) 2=10.问题探究问题如何求过点 (x0,y0)的切线方程？导思 :求经过某一点的切线时,只需再找到直线上一点或直线的斜率即可

15、.确定直线斜率的方法有:(1)k=tan,0, ) (, );22(2)k=y2y1 (x2x1);x2x1(3)l 1 l 2k1=k 2;(4)l 1 l2k1k2=-1.此外 ,还可通过待定系数法求斜率k,即先设出直线的方程,再依据题意列一个含有k 的方程 ,通过解方程求得斜率k.特别注意的是 :设斜率为 k,认为 k 是存在的 ,对于 k 不存在的情况要结合题意进行检验 .若 k不存在时有意义 ,需加上相关的直线 .探究 :(1)若点 (x 0,y0) 在圆 x2+y2=r 2 上,则切线方程为 x0x+y 0y=r 2.若点 (x0,y0) 在圆 (x-a) 2+(y-b) 2 =r

16、2 上 ,则切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y 0 -b)(y-b)=r 2 .222相切的切线方程为 y=kxr1 k2且与圆(2) 斜率为 k 且与圆 x +y =r.斜率为 k(x-a) 2+(y-b) 2=r2 相切的切线方程求法 ,可以设切线为y=kx+m, 然后变成一般式kx-y+m=0, 利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出m,即 | kabm | =r.k 21(3) 若 点 (x0,y0) 在 圆 (x-a) 2+(y-b) 2=r 2的 外 面 , 则 设 切 线 方 程 为 y-y0 =k(x-x 0), 变 成 一 般 式kx-y+y 0-kx 0 =0,因为

17、与圆相切 ,所以有 | ka b y0kx0 | =r.k 21由此解出 k,若此方程有两组相等实根,则还有一条斜率不存在的切线,务必要补上 .出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂， 今天下三分， 益州疲弊， 此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。“能 ”，是以众议举宠为督：亲贤臣， 远小人， 此先汉所以兴隆也； 亲小人， 远贤臣， 此后汉所以倾颓也。 先帝在时，每与臣论此事， 未尝不叹息痛恨于桓、 灵也。 侍中、尚书、 长史、 参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣