数字信号处理第三版第二章

1、第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换信号傅里叶变换之间的关系之间的关系 2.5 序列的序列的z变换变换 2.6 利用利用z变换分析信号和系统的频域特性变换分析信号和系统的频域特性 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散

2、系统 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1 序列傅里叶变换的定义序列傅里叶变换的定义 定义定义()( )jj nnx ex n e(2.2.1) 为序列为序列x(n)的傅里叶变换，用的傅里叶变换，用ft(fourier transform)表表示。示。 ft成立的成立的充分必要条件充分必要条件是序列是序列x(n)绝对可和，即满绝对可和，即满足下式：足下式： ( )nx n (2.2.2) 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 ft反变换定义为：反变换定义为：(2.2.4) (2.2.1)和和(2.2.4)式组成式组成一对傅里叶

3、变换公式一对傅里叶变换公式。一些绝对不可和的序列（如周期序一些绝对不可和的序列（如周期序列），其傅里叶列），其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。变换可用冲激函数的形式表示出来。第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 【例例2.2.1】设x(n)=rn(n)，求x(n)的傅里叶变换。解解 当n=4时，其幅度与相位随频率的变化曲线如图2.2.1所示。 )2/sin()2/sin(e )ee (e)ee (ee1e1 ee )()e (2)1( j2/j2/j2/j2/j2/j2/jjj10jjjnnrxnnnnnnnnnn第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散

4、信号和时域离散系统 图2.2.1r4(n)的幅度与相位曲线 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 2.2.2 序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换的性质1. ft的周期性的周期性 在定义式在定义式(2.2.1)中，中，n取整数，下式成立：取整数，下式成立： (2)()( ),jjm nnx ex n em为整数为整数 (2.2.6) 序列的傅里叶变换是频率序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是的周期函数，周期是2。 这样这样x(ej)可可以展成傅里叶级数，以展成傅里叶级数，(2.2.1)式就是傅里叶级式就是傅里叶级数的形式，数的形式，x(n)是其系数。是其系数。 (

5、)( )jj nnx ex n e由于由于ft的周期性，一般的周期性，一般只分析只分析或或02之间的之间的ft第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 2. 线性线性 11221212()( ),()( ),( )( )()()jjjjx eft x nxeft x nft ax nbx nax ebxe则则 设设 式中式中a, b为常数。为常数。 3. 时移与频移时移与频移 设设x(e j) = ftx(n)，则：，则：(2.2.7)0000( ()()( )()j njjnjft x nnex eft ex nx e (2.2.8) (2.2.9) ）第第1章章 时

6、域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 4. 对称性对称性 先了解先了解共轭对称共轭对称与与共轭反对称共轭反对称以及它们的性质：以及它们的性质： 定义：定义：设序列设序列xe(n)满足满足 xe(n)=x*e(-n) 则称则称xe(n)为共轭为共轭对称序列对称序列。共轭对称序列的共轭对称序列的性质性质： 将将xe(n)用其实部与虚部表示：用其实部与虚部表示： xe(n) = xer(n)+jxei(n) 两边两边 n 用用 n 代替，并取共轭，得：代替，并取共轭，得： x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n) xer(n) = xer(-n) (2.2.11) xei(n)

7、 = -xei(-n) (2.2.12)v 共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。对比两式，对比两式，得：得：第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 共轭反对称序列的共轭反对称序列的性质性质： 将将x0(n) 用实部与虚部表示：用实部与虚部表示： xo(n) = xor(n)+jxoi(n) 得：得： xor(n) = -xor(-n) (2.2.14) xoi(n) = xoi(-n) (2.2.15)v 共轭反对称序列的实部是奇函数，共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数而虚部是偶函数。定义：定义：满足下式

8、的序列称满足下式的序列称共轭反对称序列：共轭反对称序列： xo(n) = -x*o(-n) (2.2.13)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 v 一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， 即：即： x(n) = xe(n)+xo(n) (2.2.16) xe(n), xo(n)可以分别用原序列可以分别用原序列x(n)求出求出 将将(2.2.16)式中的式中的n用用-n代替，代替， 再取共轭得到：再取共轭得到： x*(-n) = xe(n)-xo(n) (2.2.17) 比较两式，比较两式， 得得 ：1( ) (

9、)()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn(2.2.18) (2.2.19) 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 在频域，函数在频域，函数x(ej)也有类似的概念和结论：也有类似的概念和结论： x(ej) = xe(ej)+xo(ej) (2.2.20) 共轭对称部分共轭对称部分xe(ej)和共轭反对称部分和共轭反对称部分xo(ej) 满足：满足： xe(ej) =x*e(e-j) (2.2.21) xo(ej) = -x*o(e-j) (2.2.22) 同样有下面公式：同样有下面公式： 1()()()21()()()2jjjejjjoxe

10、x exexex exe(2.2.23) (2.2.24) 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 ft的对称性的对称性 (a) 将序列将序列x(n)分成实部分成实部xr(n)与虚部与虚部xi(n) x(n) = xr(n) + jxi(n) 进行进行ft，得：，得： x(e j) = xe(e j) + xo(e j) 式中式中 xr(n)和和xi(n)都是实数序列。都是实数序列。xe(ej) 具具有共轭对称性，其实部是偶函数，虚部是奇函数。有共轭对称性，其实部是偶函数，虚部是奇函数。 xo(ej) 具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。具有共轭反对称性

11、质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。 结论结论： x(n) = xr(n) + jxi(n) x(e j) = xe(e j) + xo(e j)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 (b) 将序列分成共轭对称部分将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部和共轭反对称部分分xo(n)，即：，即： x(n) = xe(n)+xo(n) (2.2.25) 由由(2.2.18)式和式和(2.2.19)式：式： 1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn 将上面两式分别进行将上面两式分别进行ft，得：，得： ftxe(n)=1/2x(

12、ej)+x*(ej)= rex(ej)= xr(ej) ftxo(n)=1/2x(ej) -x*(ej)= jimx(ej)= jxi(ej) 因此对因此对(2.2.25)式进行式进行ft得到：得到： x(ej) = xr(ej)+jxi(ej) (2.2.26)结论结论： x(n) = xe(n) + xo(n) x(ej) = xr(ej) + jxi(ej)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 x(n) = xe(n) + xo(n) x(ej) = xr(ej) + jxi(ej)x(n) = xr(n) + jxi(n) x(e j) = xe(e j)

13、+ xo(e j)利用利用ft的对称性的对称性，可得以下四个结论：可得以下四个结论：（1） x(n)为为实序列实序列（xi(n)=0），得），得x(ej) = xe(ej)为共轭为共轭对称函数，即对称函数，即 x(ej) = x*(e-j)（2） x(n)为为实偶序列实偶序列（ xi(n)=0且且x(n)= x(-n)，x0(n)=0），），得得x(ej)为实偶函数，即为实偶函数，即 x(ej) = x(e-j)（3） x(n)为为实奇序列实奇序列（xi(n)=0且且x(n)= -x(-n)，xe(n)=0），），得得x(ej)为纯虚奇对称函数，即为纯虚奇对称函数，即 x(ej) = x*(e

14、-j)=-x(e-j)（4） x(n)为为实因果序列：实因果序列：x(n)= xe(n) +xo(n) ，0, 00, )(0),(2)(nnnxnnxnxee或：或：0, 00, )0(0),(2)(nnxnnxnxox e(n)=1/2x(n)+ x(-n) x o(n)=1/2x(n) - x(-n)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 对对实因果序列实因果序列，只要知道，只要知道xr(ej) ，就可求得，就可求得x(n)，过程如下：过程如下：已知已知：xr(ej)=ftxe(n) xe(n) x(n) x(ej) 已知已知xi(ej)和和 x(0) ：jxi

15、(ej) xo(n) x(n) x(ej)v 对实对实因果因果序列：序列：其傅里叶变换其傅里叶变换x(ej)的实部的实部包含了包含了x(ej)或或x(n)的全部信息，即的全部信息，即x(ej) 中有冗余信息中有冗余信息。第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例例 2.2.3 x(n)=anu(n)， 0a1， 求其偶函数求其偶函数xe(n) 和和奇函数奇函数xo(n)。 解：解： x(n) = xe(n)+xo(n)(0),01( ),021(),02xnx nnxnn( )ex n 1,01,021,02nnnanan第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散

16、信号和时域离散系统 5. 时域卷积定理时域卷积定理 设设 y(n)=x(n)*h(n), 则则 y(e j)=x(e j)h(e j) (2.2.32) 定理说明，定理说明， 两序列卷积的两序列卷积的ft，服从相乘的关系。，服从相乘的关系。 对对lti系统，其输出的系统，其输出的ft等于输入信号的等于输入信号的ft乘以单位脉乘以单位脉冲响应的冲响应的ft。 因此因此求系统的输出求系统的输出信号，信号， (1)可以在时域用卷积公式可以在时域用卷积公式(1.3.7)； (2)可以在频域按照可以在频域按照 (2.2.32)式，求出输出的式，求出输出的ft，再作逆，再作逆ft求出输出信号。求出输出信号

17、。第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 6. 频域卷积定理频域卷积定理 设设y(n) = x(n)h(n)，则：，则：(2.2.33) 定理说明，定理说明，在时域两序列相乘，对应在时域两序列相乘，对应频域为频域为卷积关系。卷积关系。 7. 帕斯维尔帕斯维尔(parseval)定理定理 定理说明定理说明，信号时域的总能量等于频域的总能量信号时域的总能量等于频域的总能量。这里频域总能量是指这里频域总能量是指|x(e j)|2在一个周期中的积分再乘以在一个周期中的积分再乘以1/(2)。(2.2.34) 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 2.

18、3 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式及傅里叶变换表示式 2.3.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 设设 是以是以n为周期的周期序列，为周期的周期序列， 由于周期性，由于周期性， 可以展成傅里叶级数：可以展成傅里叶级数：( )x n2( )jknnkkx na e(2.3.1)式中式中ak是傅里叶级数的系数。是傅里叶级数的系数。-k1 x(z)存在的条件是存在的条件是|z-1|1， 由由x(z)表达式表明，极点是表达式表明，极点是z=1，单位圆上的，单位圆上的z变换不存变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，在，或者说

19、收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用更不能用(2.5.4)式求式求ft。该序列的该序列的ft不存在，但如果引进奇异函数不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里，其傅里叶变换可以表示出来叶变换可以表示出来(见表见表2.3.2)。该例说明该例说明一个序一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内内z变换是存在的。变换是存在的。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 2.5.2 序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其序列的特性决定其z变换收敛域，了解序列特性与收变换收敛域，了解序列特性与收敛域的一些关系

20、，有助于敛域的一些关系，有助于z变换的使用。变换的使用。 x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它其它其其z变换为：变换为：21( )( )nnn nx zx n z1. 有限长序列有限长序列 如序列如序列x(n)满足：满足： 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 x(n)为有界序列为有界序列，由于是有限项求和，除，由于是有限项求和，除0与与两点是两点是否收敛与否收敛与n1、n2取值有关外，整个取值有关外，整个z平面均收敛。平面均收敛。 若：若：n10，出现，出现z-n项，则收敛域不包括项，则收敛域不包括z=0点；点；如果是因果序列，收敛域包括如果是因果序列，收敛

21、域包括z=点。点。v有限长序列的收敛域表示如下：有限长序列的收敛域表示如下：21( )( )nnn nx zx n zn10， n20， 0|z|:n10， 00， 0|z|:第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例例 2.5.2 求求x(n)=rn(n)的的z变换及其收敛域。变换及其收敛域。解解： 1101( )( )1nnnnnnnzx zrn zzz这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。 从从x(z)的分母看到的分母看到z=1似乎是似乎是x(z)的极点，但同时分子的极点，但同时分子多项式在多项式在z=1时也有一个零点

22、，极零点对消，时也有一个零点，极零点对消，x(z)在单位圆在单位圆上仍存在。上仍存在。第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 2. 右序列右序列 右序列是在右序列是在nn1时，序列值不全为零，而在时，序列值不全为零，而在nn1 时，时，序列值全为零的序列。序列值全为零的序列。 v第一项为有限长序列，设第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为，其收敛域为0|z|。 v第二项为因果序列，其收敛域为第二项为因果序列，其收敛域为rx-|z|，rx-是第二项是第二项最小的收敛半径。最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为将两收敛域相与，其收敛域为rx- |z|。如果是因果序

23、列，如果是因果序列， 收敛域定为收敛域定为rx- |z|。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 v 如果如果n20, z=0点收敛，点收敛，z=点不收敛，其收敛域为点不收敛，其收敛域为0|z|0，则收敛域为，则收敛域为0|z|n2， 序列值全为零的序列。序列值全为零的序列。 其其z变换为：变换为： 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 4. 双边序列双边序列 一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和，其和，其z变换为：变换为：x(z)的收敛域是的收敛域是x1(z)和和x2(z)收敛域的公

24、共收敛区域。收敛域的公共收敛区域。v 如果如果rx+rx-，其收敛域为，其收敛域为rx-|z|rx+ ，这是一个环状域，这是一个环状域v 如果如果rx+ rx- ，两个收敛域没有公共区域，两个收敛域没有公共区域，x(z)没有收敛没有收敛域，域， 因此，因此，x(z)不存在。不存在。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例例2.5.5x(n)=a|n|, a为实数，求为实数，求x(n)的的z变换及其收变换及其收敛域。敛域。解解第一部分收敛域为第一部分收敛域为|az|1，得，得|z|a|1; 第二部分收敛域为第二部分收敛域为|az1|a|。如果。如果|a|1, 两部分

25、的公共收敛域为两部分的公共收敛域为|a|z|a|1, 其其z变换如下式变换如下式:如果如果|a|1，则无公共收敛域，因此，则无公共收敛域，因此x(z)不存在。当不存在。当0aa，求其逆，求其逆z变变换换x(n)。解解： 用留数定理求解，用留数定理求解， 要先找出要先找出f(z)的极点，的极点，极点有：（极点有：（1）z=a （2）当）当n0时，时，z=0也是极点也是极点其中极点其中极点z=0与与n的取值有关：的取值有关：n0时，时，n=0不是极点。不是极点。 n0时，时，z=0是一个是一个n阶极点。阶极点。 因此要因此要分成分成n0和和n0两种情况求两种情况求x(n)。 第第1章章 时域离散信

26、号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 （1）n0 时，只有一个时，只有一个极点极点：( )re ( ), ()nz anx ns f z azzazaa （2）n0时，增加时，增加z=0的的n阶极点，不易求留数，采用留数辅阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查助定理求解，检查(2.5.10)式是式是否满足，由于否满足，由于n0，只要，只要n-m0，(2.5.10)式就满足。式就满足。 本例满足本例满足(2.5.10)式。式。n-m-n1 (2.5.10)图图 2.5.4 例中例中na，根据前面分析的序，根据前面分析的序列特性对收敛域的影响知道，列特性对收敛域的影响知道，x(n)一

27、定是因果的右序列，这一定是因果的右序列，这样样n0部分一定为零，无需再求。部分一定为零，无需再求。第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例例2.5.7已知已知, 求其求其逆变换逆变换x(n)。解该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序解该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列列x(n)，必须先确定收敛域。分析，必须先确定收敛域。分析x(z)， 得到其极点得到其极点分布如图分布如图2.5.5所示。图中有两个极点：所示。图中有两个极点：z=a和和z=a1，这样收敛域有三种选法，它们是这样收敛域有三种选法，它们是 （1） |z|a1|，对应的，对应的x(n)是因果序列；是因

28、果序列；（2） |z|a|，对应的，对应的x(n)是左序列；是左序列；（3） |a|z|a1|:这种情况的原序列是因果的右序列，无须求这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n0时的时的x(n)。当。当n0时，时，f(z)在在c内有两个极点：内有两个极点：z=a和和z=a1，因此因此2111( )(1)(1)naf zzazaz211()()naza za za第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 最后表示成：最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。 1( )res ( ), res ( ),x nf z af z a12211(1)(1)()()()(1)()(

29、)nnz az aazazzazazaaza za zannaa第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 （2） 收敛域为收敛域为|z|a|:这种情况原序列是左序列，无须计算这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况。实情况。实际上，当际上，当n0时，围线积分时，围线积分c内没有极点，因此内没有极点，因此x(n)=0。n0时，时，c内只有一个极点内只有一个极点z=0，且是，且是n阶极点，改求阶极点，改求c外外极点留数之和。极点留数之和。n0时时, 1( )res ( ), res ( ),x nf z af z a 122111(1)(1)()()()()()()nnz

30、az aazazzazaa za zaa za za ()nnnnaaaa 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 最后将最后将x(n)表示成封闭式：表示成封闭式：x(n)=(anan)u(n1)（3） 收敛域为收敛域为|a|z|a1|:这种情况对应的这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数是双边序列。根据被积函数f(z)，按，按n0和和n0两种情况分别求两种情况分别求x(n)。n0时，时，c内只有内只有1个极点：个极点：z=a, x(n)=resf(z), a=ann0时，时，c内极点有内极点有2个，其中个，其中z=0是是n阶极点，改求阶极点，改求c外极点留数

31、，外极点留数，c外极点只有外极点只有z=a1， 因此因此x(n)=resf(z), a1=an最后将最后将x(n)表示为表示为即即 x(n)=a|n|0( )0nnanx nan第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 2.5.4 z 变换的性质和定理变换的性质和定理1. 线性线性 设设 x(z)=ztx(n), rx- |z| rx+ y(z)=zty(n), ry- |z| ry+ 则则 zt a x(n)+b y(n) =ax(z)+by(z), r m-|z|r m+ (2.5.15)其中：其中： rm+= min rx+ ,ry+ rm-= max rx- ,

32、ry-即即z变换的收敛域变换的收敛域(rm-，rm+)是是x(z)和和y(z)的公共收敛域，的公共收敛域，若无公共收敛域则若无公共收敛域则z变换不存在。变换不存在。第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 2. 序列移位序列移位 设设 x(z)=ztx(n), r x-|z|r x+ 则则 ztx(n-n0)= z-n0x(z), r x-|z|r x+ (2.5.16)3. 乘指数序列乘指数序列 设设 x(z)=ztx(n), r x-|z|r x+ y(n)=anx(n), a为常数为常数 则则 y(z)=ztanx(n) =x(a-1 z) |a|r x- |z|

33、 |a|r x+ (2.5.17)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 4. 序列乘序列乘n 设设 ( ) ( )( )( )xxxxx zzt x nrzrdx zzt nx nzrzrdz 则则(2.5.18) 5. 复序列的共轭复序列的共轭 设设6. 初值定理初值定理 设设 x(n)是因果序列，是因果序列，x(z)=ztx(n)(0)lim( )xxx z(2.5.20) 则则第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 7. 终值定理终值定理 若若x(n)是因果序列，其是因果序列，其z变换的极点，除可以变换的极点，除可以有一个有一个一阶极

34、点在一阶极点在z=1上上，其它极点均，其它极点均在单位圆内，则在单位圆内，则 ：终值定理也可用终值定理也可用x(z)在在z=1点的留数表示：点的留数表示：如果单位圆上如果单位圆上x(z)无极点，则无极点，则x()=0。 (2.5.22) 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 9. 复卷积定理复卷积定理如果如果 ztx(n)= x(z)， r x-|z|r x+ zty(n)= y(z), r y-|z|r y+ w(n) = x(n)y(n)则则w(z)的收敛域的收敛域 (2.5.24) (2.5.25)8. 序列卷积序列卷积 设设 第第1章章 时域离散信号和时域离

35、散系统时域离散信号和时域离散系统 10. 帕斯维尔帕斯维尔(parseval)定理定理 那么那么 v 平面上，平面上，c 所在的收敛域为：所在的收敛域为：11max(,)min(,)xxyyrvrrr设设 (2.5.27)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 2.5.5 利用利用z变换解差分方程变换解差分方程 用用z变换求解差分方程，将差分方程变成了代数方程，变换求解差分方程，将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。使求解过程简单。 n阶线性常系数差方程为：阶线性常系数差方程为：利用线性和序列移位性利用线性和序列移位性对于对于n阶差分方程，求其解必须已知阶差分方程

36、，求其解必须已知n个初始条件。个初始条件。 设设x(n)是因果序列（是因果序列（x(n)=0,nmax(|a|,|b|)1111( )2(),0nnny nbabnab式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。11111bzbazaba|,*2bzwhenbbn第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 因果因果(可实现可实现)系统系统其单位脉冲响应其单位脉冲响应h(n)一定满足当一定满足当n0时，时，h(n)=0，那么其系统函数，那

37、么其系统函数h(z)的收敛域一定包含的收敛域一定包含点，点，即即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某收敛域在某个圆外。个圆外。( )nh n 稳定稳定系统系统要求要求 ，对照，对照z变换定义，系统稳定变换定义，系统稳定要求要求收敛域包含单位圆收敛域包含单位圆。 如果如果系统因果且稳定系统因果且稳定，收敛域包含，收敛域包含点和单位圆，那点和单位圆，那么收敛域可表示为：么收敛域可表示为： r|z|， 0r1 v 系统因果且稳定，系统因果且稳定，h(z)的极点集中在单位的极点集中在单位圆圆的内部。的内部。v 具体系统的因果性和稳定性可由系统函数的具体系统

38、的因果性和稳定性可由系统函数的极点分布极点分布确定。确定。第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例例2.6.1 已知已知 ，分析其因果性分析其因果性和稳定性。和稳定性。211( ),01(1)(1)ah zaazaz解：解：h(z)的极点为的极点为z=a，z=a-1，如图所示。，如图所示。 (1)收敛域收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应：域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应：h(n)=(an-a-n)u(n)(见例题见例题2.5.7)，这是一个因果序列，但不收

39、敛。，这是一个因果序列，但不收敛。 (2)收敛域收敛域0|z|a，对应的系统是非因果且不稳定系统。其，对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(见例题见例题2.5.7)，这是一个非因，这是一个非因果且不收敛的序列。果且不收敛的序列。 (3)收敛域收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示所示。第第

40、1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 下面分析本例这种系统的下面分析本例这种系统的可实现性可实现性：在在h(z)h(z)的三种收敛域中，前二种系统不稳定，不能选用；的三种收敛域中，前二种系统不稳定，不能选用；在最后一种收敛域中，系统稳定但非因果，还是不能具体在最后一种收敛域中，系统稳定但非因果，还是不能具体实现。实现。严格地讲，这种系统是无法具体实现的。严格地讲，这种系统是无法具体实现的。但是我们利用数字系统或计算机的存贮性质，可以近似实但是我们利用数字系统或计算机的存贮性质，可以近似实现第三种情况。现第三种情况。方法方法：将图：将图2.6.1(a)2.6.1(a)的的

41、h(n)h(n)从从-n-n到到n n截取一段，再向右移，截取一段，再向右移，形成如图形成如图2.6.1(b)2.6.1(b)所示的所示的h(n)h(n)序列，将序列，将h(n)h(n)作为具体实现作为具体实现的系统单位脉冲响应。的系统单位脉冲响应。n n愈大，愈大，h(n)h(n)表示的系统愈接近表示的系统愈接近h(n)h(n)系统。系统。具体实现时，预先将具体实现时，预先将h(n)h(n)存贮起来，备运算时应用。存贮起来，备运算时应用。v这种非因果但稳定系统的近似实现性，是数字信号处理技这种非因果但稳定系统的近似实现性，是数字信号处理技术比模拟信息处理技术优越的地方。术比模拟信息处理技术优

42、越的地方。第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性利用系统的极零点分布分析系统的频率特性 将将(2.6.2)式因式分解，得：式因式分解，得： 式中：式中：a=b0/a0，影响传输函数的幅度大小；，影响传输函数的幅度大小； cr是是h(z)的的零点零点，dr是其是其极点极点。 零点零点cr和极点和极点d 的分布影响系统的特性。的分布影响系统的特性。 下面用几何方法来研究系统零极点分布对系统频率特下面用几何方法来研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。性的影响。将将(2.6.4)式分子分母变为正幂次，得：式分子分母变为正幂

43、次，得：00( )( )( )miiiniiibzy zh zx za z(2.6.4) 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 11()11()( )()()()()mrn mrnrrmjrjjn mrnjrrzch zazzdech eaeed设系统稳定，将设系统稳定，将z=e j，得到频率响应函数：，得到频率响应函数： (2.6.5) (2.6.6) 若若n=m，则：，则：(2.6.7)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 jrrjrrc becd bed 和和 分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用极坐标表：极坐标表：rc b rd b将将 和和 表示