添加辅助线解特殊四边形题答案.docx

1、添加辅助线解特殊四边形题特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线. 下面介绍一些辅助线的添加方法 .一、和平行四边形有关的辅助线作法1利用一组对边平行且相等构造平行四边形例 1 如图，已知点 O是平行四边形 ABCD的对角线 AC的中点，四边形 OCDE是平行四边形 .求证 :OE 与 AD互相平分 .2利用两组对边平行构造平行四边形例 2 如图，在 ABC中，E、F 为 AB上两点，AE=BF，ED/AC，FG/AC交 BC分别为 D，G.求证 :ED+FG=AC.3利用对角线互相平分构造平行四边形例 3 如图，已知 AD是 A

2、BC的中线， BE交 AC于 E，交 AD于 F，且AE=EF.求证 BF=AC.二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例 4 如图，在 ABC中， ACB=90， BAC的平分线交 BC于点 D，E是 AB上一点，且 AE=AC，EF/BC 交 AD于点 F，求证：四边形 CDEF 是菱形 .例 5 如图，四边形 ABCD是菱形， E为边 AB上一个定点， F 是 AC上一个动点，求证 EF+BF的最小值等于 DE长.三、与矩形有辅助线作法例 6如图，已知矩形 ABCD内一点， PA=3，PB=4，PC=5.求 P

3、D 的长 .四、与正方形有关辅助线的作法例 7 如图，过正方形 ABCD的顶点 B 作 BE/AC，且 AE=AC，又 CF/AE.1求证： BCF=2 AEB.五、与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的 . 主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形； （2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等 .例 8 已知，如图，在梯形 ABCD中， AD/BC，AB=AC，BAC=90，BD=BC，BD交 AC于点 0. 求证： CO=CD.例 9 如图，在

4、等腰梯形 ABCD中， AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DE BC于 E. 求 DE的长 .六、和中位线有关辅助线的作法例 10 如图，在四边形 ABCD中， AC于 BD交于点 0，AC=BD，E、F 分别是 AB、CD中点， EF 分别交 AC、BD于点 H、G.求证： OG=OH.答案例1例2例3例 1：证明 : 连结 AE、OD，因为是四边形 OCDE是平行四边形，所以 OC/DE，OC=DE，因为 0 是 AC的中点，所以 A0/ED，AO=ED，所以四边形 AODE是平行四边形，所以 AD与 OE互相平分 .说明：当已知条件中涉及到平行， 且要求证的结论中和平行四边形的性质

5、有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形 .例 2：证明 : 过点 E作 EH/BC, 交 AC于 H,因为 ED/AC, 所以四边形 CDEH是平行四边形 , 所以 ED=HC,又 FG/AC,EH/BC, 所以 AEH=B, A= BFG,又 AE=BF,所以 AEHFBG,所以 AH=FG,所以 FG+DE=AH+HC=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时， 可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题 .例 3：证明：延长AD到 G，使 DG=AD，连结 BG，CG，因为 BD=CD，所以四边形 ABGC是平行四边形，所以 AC=BG，AC/BG，所以 1=4，因为 AE

6、=EF，所以 1=2，又 2=3，所以 1=4，所以 BF=BG=AC.例4例5例6例 4：证明：连结 CE交 AD于点 O，由 AC=AE，得 ACE是等腰三角形，因为 AO平分 CAE，所以 AOCE，且 OC=OE，因为 EF/CD，所以1=2，又因为 EOF=COD，所以 DOC可以看成由 FOE绕点 O旋转而成，所以 OF=OD，所以 CE、DF互相垂直平分 . 所以四边形 CDEF是菱形 .例 5 证明：连结 BD、DF.因为 AC、BD是菱形的对角线，所以 AC垂直 BD且平分 BD，所以 BF=DF，所以 EF+BF=EF+DFDE，当且仅当 F 运动到 DE与 AC的交点 G

7、处时，上式等号成立，所以 EF+BF 的最小值恰好等于 DE的长 .说明：菱形是一种特殊的平行四边形， 和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多， 常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；例 6 解：过点 P 分别作两组对边的平行线 EF、GH交 AB于 E，交 CD于 F，交 BC于点 H，交 AD于 G.因为四边形 ABCD是矩形，22222222222所以 PF =CH=PC-PH ，DF=AE=AP-EP，PH+PE=BP，22222222222所以 PD=PC-PH +AP-EP =PC+AP-PB =5 +3 -4=18，所以 PD=3 2 .说明：本题主要是借助矩形的四个

8、角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与 PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长 .例7例8例 7：证明：连接 BD交 AC于 O，作 AHBE交 BE于 H.在正方形 ABCD中， ACBD，AO=BO，又 BE/AC，AHBE，所以 BOAC，1所以四边形 AOBH为正方形，所以 AH=AO=2 AC，因为 AE=AC，所以 AEH=30，因为 BE/AC，AE/CF，所以 ACFE是菱形，所以 AEF=ACF=30，因为 AC是正方形的对角线，所以 ACB=45，1所以 BCF=15，所以 BCF=2 AEB.说明：本题是一道综合

9、题， 既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质. 通过连接正方形的对角线构造正方形 AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题 .例 8： 证明：过点 A、D分别作 AEBC，DFBC，垂足分别是 E、F，则四边形 AEFD为矩形，因为 AE=DF，AB=AC，AEBC，BAC=90，11所以 AE=BE=CE=2BC， ACB=45，所以 AE=DF=2 ，又 DFBC，所以在 RtDFB中， DBC=30，180DBC75又 BD=BC，所以 BDC=BCD=2，所以 DOC=DBC+ACB=30+45=75.所以 BDC=DOC，所以 C0=CD.例 9：解：过点 D作 DF/AC，交 BC的延长线于 F，则四边形 ACFD为平行四边形，所以AC=DF，AD=CF，因为四边形 ABCD为等腰梯形，所以 AC=DB，BD=FD，因为 DEBC，所以111BE=EF=2 BF=2 (BC+CF)=2 (BC+AD)1= 2 10=5.因为 AC/DF,BDAC,所以 BDDF,因为 BE=FE,所以 DE=BE=EF=5,即 DE的长为 5.例9例10例 10：证明：取