实验二_时域采样和频域采样

1、一、实验目的时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟 信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信 息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。二、实验原理及方法1时域采样定理的要点：a) 对模拟信号Xa(t)以间隔T进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频 谱)?()是原模拟信号频谱Xa(j )以采样角频率s C1 S =2二/T)为周期进 行周期延拓。公式为：1 coXa(j = FTXa(t)二、Xa(j- jn-s)T n-.:b) 采样频率门s必须大于等于模拟信号最高频率的两倍

2、以上，才能使采样信 号的频谱不产生频谱混叠。利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一 个公式，以便用计算机上进行实验。理想采样信号Xa(t)和模拟信号Xa (t)之间的关系为：QOXa(t) =Xa(t)7、(t 7T)n 二二:对上式进行傅立叶变换，得到：qQ?a(jflH ：Xa(t)、(t- nT)ejtdtn =joOqQ；Xa(t)(t- nT)ejtdtn 二在上式的积分号内只有当t=nT时，才有非零值，因此：X (j。)=送 Xa(nT)eTTn=joo上式中，在数值上Xa(nT) = x(n)，再将二T代入，得到：X*a（ j）二_x（门）訂 nn =nO上式的右边就是序

3、列的傅立叶变换 X(e心)，即fa(j0) =X(e也)炉価上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量用“T代替即可。2、频域采样定理的要点：a) 对信号x(n)的频谱函数X(ej)在0 , 2彳上等间隔采样N点，得到XN(k) &呱各 ,k = 0,1,2,N -1则N点IDFT XN(k)得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的 主值区序列，公式为：Q0Xn(n) =IDFT Xn(“n 二 x(n iN ) Rn(n)i =oOb) 由上式可知，频域采样点数 N必须大于等于时域离散信号的长度 M(即 N剃)，才能使时域不产生混叠，则N点

4、IDFTXN(k)得到的序列xN(n)就是原序 列x(n),即xN(n)=x(n)。如果nM XN(n)比原序列尾部多N-M个零点；如果N_J式中A=444.128,=50-2冗，门0=50-2冗rad/s，它的幅频特性曲线如图2.1图2.1Xa(t)的幅频特性曲线现用DFT(FFT求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。按照Xa(t)的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即Fs=lkHz, 300Hz, 200Hn 观测时间选Tp =50mS。为使用DFT首先用下面公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用xi(n)，x2(n)，x3(n)表示。x(n) = xa(nT) = A

5、eT sin(C0nT )u(nT)因为采样频率不同，得到的X1(门)，x2(n)，x3(n)的长度不同，长度(点数) 用公式N二Tp汉Fs计算。选FFT的变换点数为M=64序列长度不够64的尾部加 零。X(k)=FFTx( n)，k=0,1,2,3,-,M-12 二k =k式中k代表的频率为M 。要求：编写实验程序，计算X1(n)、X2(n)和X3(n)的幅度特性，并绘图显示 析频谱混叠失真。Matlab源代码：A=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt (2)*pi;邛=50/1000;F1=1000;F2=300;F3=200;%观察时间Tp=50msT1=

6、1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3;%不同的采样频率n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1; %产生不同的长度区间n1,n2,n3x1=A*exp(-a* n1*T1).*si n(w0* n1*T1);%产生米样序列x1(n)x2=A*exp(-a* n2*T2).*si n(w0* n2*T2);%产生米样序列x2(n)x3=A*exp(-a* n3*T3).*si n(w0* n3*T3);%产生米样序列x3(n)f1=fft(x1,le ngth( n1);%米样序列x1(n)的FFT变换f2=fft(x2,le ngth( n2);%米样序

7、列x2(n)的FFT变换f3=fft(x3,le ngth( n3);%米样序列x3(n)的FFT变换k1=0:le ngth(f1)-1;fk1= k1/Tp;%x1( n)的频谱的横坐标的取值k2=0:le ngth(f2)-1;fk2=k2/Tp;%x2( n)的频谱的横坐标的取值k3=0:le ngth(f3)-1;fk3=k3/Tp;%x3( n)的频谱的横坐标的取值subplot(3,2,1)stem( n1,x1,.) title(a)Fs=1000Hz);xlabel( n);ylabel(x1( n); subplot(3,2,3) stem( n2,x2,.) title(

8、b)Fs=300Hz);xlabel( n);ylabel(x2( n); subplot(3,2,5) stem( n3,x3,.) title(c)Fs=200Hz);xlabel( n);ylabel(x3( n); subplot(3,2,2) plot(fk1,abs(f1)title(a) FTxa( nT),Fs=1000Hz); xlabel(f(Hz);ylabel(幅度)subplot(3,2,4)plot(fk2,abs(f2)title(b) FTxa( nT),Fs=300Hz); xlabel(f(Hz);ylabel(幅度)subplot(3,2,6) plot(

9、fk3,abs(f3)title(c) FTxa( nT),Fs=200Hz); xlabel(f(Hz);ylabel(幅度)实验图像:200(a)Fs=1000Hz-200204060度 幅1000(a) FTxa(nT),Fs=1000Hz5001000500f(Hz)(b) FTxa(nT),Fs=300Hz1T 400 度200卩00(b)Fs=300Hz2001500510n(c)Fs=200Hz300100 200 f(Hz)(c) FTxa(nT),Fs=200Hz-200结果分析:由图2.2可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的 周期延拓。当采样频率为10

10、00Hz时频谱混叠很小；当采样频率为 300Hz时，在 折叠频率150Hz附近频谱混叠很严重；当采样频率为200Hz时，在折叠频率110Hz 附近频谱混叠更很严重。由实验图像可以看出，时域非周期对应着频域连续。对连续时间函数对采样使其 离散化处理时，必须满足时域采样定理的要求，否则，必将引起频域的混叠。要 满足要求信号的最高频率Fc不能采样频率的一半（Fs/2）,不满足时域采样定理， 频率将会在co = n附近，或者f=Fs/2混叠而且混叠得最严重。2、频域采样理论的验证给定信号如下：n 10 _ n _13x（n） = 27 - n 14 三 n 乞 26.0其它编写程序分别对频谱函数X（e

11、）=FTx（n）在区间0,2二上等间隔采样32和16点,得到 X32（k）和 X16（k）：X32（k） =X（ej ）k =0,1,2,31X16（k） =X（ej）二 k16k =0,1,2,15再分别对X32（k）和X16（k）进行 32 点和 16 点 IFFT，得到 x32（n）和x16（n）:X32（n） =IFFTX32（k）】32 , n =0,1,2/ ,31心（n） =IFFTX16（k）16, n =0,1,2/ ,15分别画出X（ej）、X32（k）和X16（k）的幅度谱，并绘图显示x（n）、x32（n）和治小） 的波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。提示：频域

12、采样用以下方法容易变程序实现。 直接调用MATLAB函数fft计算X32（k）二FFTx （n儿就得到X （e八）在 0,2门的32点频率域采样 抽取X32（k）的偶数点即可得到X（ei）在0,2二的16点频率域采样 兀6（“，即 X16（k）=X32（2k） , k =0,1,2，15。 当然也可以按照频域采样理论，先将信号x（n）以16为周期进行周期延拓，取其主值区（16点），再对其进行16点DFT（FFT）,得到的就是X（M）在，2二 的16点频率域采样Xi6(k)。Matlab源代码：M=27;N=32; n=O:M;%产生M长三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2); xb=

13、 ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa,xb;Xk=fft(xn,1024);%1024 点 FFTx(n),用于近似序列 x(n)的 TFX32k=fft(xn,32);%32 点 FFTx(n)x32n=ifft(X32k); %32 点 IFFTX32(k)得到 x32(n) X16k=X32k(1:2:N);%隔点抽取 X32k 得到 X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2);%16 点 IFFTX16(k)得到 x16(n)subplot(3,2,2);stem( n,xn, .);box on title(b)三角波序列 x(n);xlabel(n);ylabe

14、l(x(n);axis(0,32,0,20) k=0:1023;wk=2*k/1024;%subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk);title(a)FTx( n);xlabel(omega/pi);ylabel(|X(eAjAomega)|);axis(0,1,0,200) k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),.);box ontitle(c) 16 点频域采样);xlabel(k);ylabel(|X_1_6(k)|);axis(0,8,0,200) n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem( n1,x1

15、6 n,.);box ontitle(d) 16 点 IDFTX_1_6(k);xlabel(n);ylabel(x_1_6(n);axis(0,32,0,20) k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),.);box ontitle(e) 32 点频域采样);xlabel(k);ylabel(|X_3_2(k)|);axis(0,16,0,200) n1= 0:N-1;subplot(3,2,6);stem( n1,x32 n,.);box ontitle(f) 32 点 IDFTX_3_2(k);xlabel(n);ylabel(x_3_2(n);ax

16、is(0,32,0,20)实验图像(a)FTx(n)(b)三角波序列x(n)200100000.51-/二(c) 16点频域采样| 200 201000102030(6 100X10 I*102468n(d) 16 点 IDFTX 16 (k)20100n(f) 32 点 IDFTX 32 (k)(e) 32点频域采样200 100 丁0051015xI - TTTt0102030结果分析:该图验证了频域采样理论和频域采样定理。对信号x(n)的频谱函数X(ej co)(a)FTx(n)(b)三角波序列x(n)(a)FTx(n)(b)三角波序列x(n)在0,2n上等间隔采样N=16时，N点IDF

17、TXN(k)得到的序列正是原序列x(n)以16为周期进行周期延拓后的主值区序列：Q0Xn(n) =IDFT XN(k)h 二 x(n iN)RN(n)i=DO由于NM频域采样定理， 所以不存在时域混叠失真，因此，xN(n)与x(n)相同。由实验内容2的结果可知， 对一个信号的频谱进行采样处理时， 必须严格遵守频域采样定理，否则，用采样 的离散频谱恢复原序列信号时，所得的时域离散序列是混叠失真，得不到原序列四、实验思考及解答如果序列x(n)的长度为M希望得到其频谱X(e)在0,2二上的N点等间隔 采样，当NM寸，如何用一次最少点数的DFT得到该频谱采样？答：由实验内容2的结果可得：对于求频域采样点数N小于原时域序列长度 M的N点离散频谱时，可先对原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后取主值区序 列0Xn(n)珂 x(n iN)RN(n)i=od再计算N点DFT则得到N点频域采样:XN(k) =DFT Xn(n)h=X(ej )k =0,1,2, N -1但是，所求的N点离散频谱对应的时域离散序列是原序列 x(n)以N为周期进行 周期延拓后取主值区序列，而不是原序列 x(n)五、实验小结通过此次实验，对时域采样和频域采样的理论、定理的理解更加深入。采样 是模/数中最重要的一步