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文档简介

1、偏微分方程理论起源偏微分方程理论的历史相对较短 , 但作为数学和物理结合的产物 , 这门学科 的理论意义与应用价值都是难以估量的。本文在前人工作的根底上 , 利用历史分 析、比拟研究的手法 , 兼顾思想内容和具体方法 , 对偏微分方程理论的起源进行研 究, 主要研究成果如下。一、考察了偏微分方程初值问题解的存在性思想和证明方法的起源 , 指 出: 柯西问题解的存在性思想起源于柯西 1820 年代的常微分方程研究 ,而优函数 方法最早出现在 1831年, 是他在?分析教程? 中就有的幂级数收敛的比拟判别法 和复变函数研究中最新结果柯西不等式应用于偏微分方程的结果 , 这也解释 了为什么柯西第一个

2、提出并解决了解析解的存在性问题。 但是柯西的这些工作传 播滞后当时影响不大 , 达布和科瓦列夫斯卡娅 30 年后又做了局部重复研究。二、深入探究了科瓦列夫斯卡娅关于柯西 - 科瓦列夫斯卡娅定理的创新 内容及其影响 , 指出 : 科瓦列夫斯卡娅独立地证明了柯西问题解的存在唯一性定 理,无论与柯西的结果比拟 , 还是作为独立于魏尔斯特拉斯的标志 , 她给出的著名 反例都是至关重要的 , 她通过此例搞清楚了解析解存在性和唯一性的根本条件 , 并将雅可比与魏尔斯特拉斯的有关结论和方法创造性地应用于她的定理。柯西 - 科瓦列夫斯卡娅定理引发了大量的研究 , 因而成为偏微分方程理论开展的一个里 程碑。为了

3、说明科瓦列夫斯卡娅的思想来源 , 同时对魏尔斯特拉斯的相关工作做了 大量的比拟分析。 三、论述了阿达玛的适定性理论诞生过程 , 指出: 适定性概 念的创立是分四步完成的 :连续依赖性思想的萌芽 ; “适定术语的提出 ; 连续依 赖性概念的形成 ; 适定性概念确实立。解对条件连续依赖性的思想符合阿达玛注重物理背景的原那么 , 是对柯西 - 科 瓦列夫斯卡娅定理的一种修正。 四、对杜布瓦雷蒙的分型理论进行了详细的 阐述。对于两个变量的二阶线性偏微分方程 , 杜布瓦雷蒙根据特征方程将其分为三 大类型, 对于常系数情形又进一步划分成七种标准形式 , 从而穷尽了所有的可能。 并对彼得罗夫斯基对方程组的分类做了简要分析。杜布瓦雷蒙分类工作的目的在于对黎曼方法进行一般研究 ,与此同时 ,他寻 求将波动方程的达朗贝尔解的特性推广到一般双曲型 , 以及与特征有关的初值问 题解的存在性 , 并在一定程度上得到了结果。五、从边值问题解的存在性角度对狄利克雷原理的历史做了研究 , 认为黎曼属于旧风格的数学家 ,魏尔

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