2.2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-理数2含答案精品

1、2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-理数2第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分、选择题（共12题，每题5分,共60分）1 .设集合 A=x( x-1)(3- x) 0,集合 B=x|(尸,贝U AU B=3A.x| x1B.x| x3C.x|1 x0,2?+ ?2 &0,则z=x-2y的最小值为?+ 2 0,A.-4B.2C.-4D.24.直线 kx-y-2 k+2=0被圆(x-1)A.2 V14B.272+（y-1） 2=16所截得的弦长的最小值为C.2v2D.既不充分也不必 要条件C.2422A.227B.23i5,已知向重a=(-1,2),b=(1, m),则m2是

2、 为钝角的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 、,一一. 一.？,一6.已知等差数列an的公差dw0,前n项和为S,且a1,a4,a10成等比数列，则行的值是 ? 525D 7,则该几A.3B1T_ 14C.-3-D.-8 .如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图何体的体积为 一一 一， .一.2 兀 9 .先将函数f(X)的图象向右平移一个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原5来的4,得到g(x)= Asin(x +6 )( A0,| 6 |2 019,则正整数 m 的最小值为A.16B.17C.18D.194-8|?3,1 W 2,

3、12 .定义函数f(x)=1?则函数g(x)=xf(x)-6在区间1,2 n( nCN)内所万？?6),? 2,有零点的和为A.nB.2nC.3(2n-1)D.|(2n-1)第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分、填空题(共4题，每题5分，共20分)13 .已知角”的终边经过点(1, v3),若角a的终边绕原点 O逆时针旋转得到角(3的终4边,贝U sin 3 =.14 .在区间0,1内随机选取两个实数x, y,满足x2-2xwy-1 w-x的概率是.15 .若半径为1的球的内接正三棱柱的侧面为正方形 ，则该正三棱柱的表面积为.16 .已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为

4、F,准线与x轴的交点为Q双曲线?2 - ?2=1(a0, b0) 的一条渐近线被抛物线截得的弦为OPO为坐标原点.若4PQ助直角三角形，则该双曲线的离心率等于.评卷人得分三、解答题(共7题，每题12分，共84分)，1 一 ， ， .，一 , 一2217 .在ABC3，角 A B C所对的边分力1J是a,b,c,sinA+sinB=4sinAsin求角C的最大值；(2)若 b=2, B=1,求 ABC勺面积.Bcos C.18 .如图，在直三棱柱 ABCABC中，D为BC的中点，平面AADL平面 ABC.(1)证明：BG，平面AAD(2)若AC=2, BC=2v2,且二面角B- AD C的大小为

5、:，求AA的长.19.为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将举行数学建模竞赛生参加，他们成绩的频率分布直方图如图所示.已知该竞赛共有60名学(1)估计这60名参赛学生成绩的中位数(2)为了对数据进行分析,将60分以下的成绩定为不合格，60分以上(含60分)的成绩定为 合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会，记己为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求己的分布列与数学期望； (3)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩Z服从正态分布N( w，bl其中W可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替(同一组数据用该区间的中点值作代表).若成绩在4

6、6分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，估计此次竞赛受到奖励的人数(结果根据四舍五入保留整数).参考数据：P( - 6y w + ) =0.682 7, P( 2 Z +2(t)0.954 5, P(3(rZb0)的右焦点F2,并交椭圆于A,B两点，且| AB的最小值为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过AB的中点M且与直线l垂直的直线1i与y轴交于点N求 NAB1积的最大值. e?21 .已知函数 f(x)= ax+ln x. ?(1) a=1时，讨论f (x)的单调性；一 4 一 e21(2)若aC 1, 丁+ 2,求f(x)的最小值g(a)的取值范围.22 .在平面

7、直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为?=： : 股汽6为参数)，以?= 2sin?坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为p =2.(1)设点MN分别为曲线 C与曲线Q上的任意一点，求|MN的最大值；?= -1 + ?cos?(2)设直线l:”1 ”?：COS(t为参数)与曲线G交于P,Q两点，且|PQ=1,求直线l的 ?f= ?sin?方程.23 .已知函数 f(x)=| x+4|- m,R,且 f(x-2)wo 的解集为-4,0.(1)求m的值；(2)已知a, b, c都是正数，且a+2b+c=m求证：+ -2.?+?+?参考答案1.B【解析】本题考

8、查集合的并运算及不等式的求解，考查的核心素养是数学运算先化简集合 A B,再计算AU B即可.由(x-1)(3- x)0?1wxW3,于是 A=x|1wxW3.由(1)x-11? x-10? x1,贝U B=x| x1,那么 AU B= x| x2或k+Nw-2,当且仅当k2=1时等号成立，所以当k=-2时，弦长l取得最小值，最小 ?值为2高4.优解 易知直线kx-y-2k+2=0恒过点P(2,2),该点在圆(x-1) 2+( y-1) 2=16内.圆(x-1) 2+( y- 1)2=16的圆心为 qi,1),连接CP则当直线 CP与直线kx-y-2k+2=0垂直时，直线kx-y- 2k+2=

9、0被圆(x-1) 2+(y-1) 2=16所截得的弦长最短，此时k - kc=-1,解得k=-1,所以kx-y- 2k+2=0可化为x+y-4=0,则圆心C(1,1)到直线x+y-4=0的距离为v2,故最短的弦长为216-()2=24.【备注】无5.B【解析】本题主要考查向量的夹角、向量的坐标运算、充要关系的判断，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.1 .由题息得，a - b=-1+2 m右m-,则a - b0,但当m=-2时，a=- b,=7t,不是钝角，故充分性 211,不成立.右为钝角，则a b0,且aw入b(入e R),斛得mi且mt -2.故 miP 是 22“为钝角”的必要不充

10、分条件.【备注】【易错警示】很多考生对基础知识掌握不牢，认为“ a b为钝角”等价，从而错选C,其实当a, b反向共线时，a b0,但为平角，而不是钝角.6.D【解析】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式，等比数列的性质，考查的核心素养是数学运算.由等差数列的通项公式与题设条件，得到 an的首项与公差的关系式，再计算-5的值.?,an为等差数列,，其通项 an=a+(n-1) d(dw。),a4=a+3d, a10=a+9d.又 a1, a4, ao 成等比数列，?2=a1a1o,，( a+3d) 2=a1(a1+9d)( d*0),化简得 a1=3d, 1. an=a1+( n-1)

11、 d=( n+2) d, as=7d. P c ?(?+?)?(?+5)?25又 S=-? =. S5=25d, = .22?7【备注】无7 .A【解析】本题主要考查函数的图象、函数的奇偶性 ，考查的数学核心素养是直观想象、数学 运算.先根据函数的定义域及函数的奇偶性的定义得到函数f(x)为定义域上的奇函数，可排除B,D选项，再根据函数极值点的位置排除C选项，即可得到正确选项.易知函数f(x)的定义域为R,且f (-x)=e| x|sin(- x)=-e |x|sin x=-f(x)，所以函数f(x)为奇函 数，其图象关于原点对称，排除选项B,D;当x0时,f (x)=v2exsin( x),

12、当x=3;时，f(x)=0, f (x)取得极值，故排除C,选A.【备注】无8 .D【解析】本题考查三视图及三棱锥体积的求解，考查考生的空间想象能力和运算求解能力.先还原几何体，然后计算该几何体的体积.由三视图可以得到该几何体是如图所示的正方体中的三棱锥G DMF其中正方体的棱长为 4.M N分别为AE BC的中点,连接FN DNMNAF AC易知四边形 MFND;菱形,AC MN因为MN? 一一一 一一一 一1平面MFNDAC?平面MFN的以 AC/平面MFN的以V-DM=V-D亚又 V-dm=VF-amAX3 116162 2X4*4=3,所以 V-dm=-3.【备注】无9 .D【解析】本

13、题考查三角恒等变换，图象的变换，考查数形结合思想及运算求解能力.试题以考查三角函数的图象与性质为目标，选取正弦函数为材料，通过设置正弦函数图象在定区间上的图象特征及三角函数图象的平移、伸缩变换问题，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.先利用三角函数的图象得到g(x)=2sin(2 x-g)，再根据三角函数图象的平移、伸缩变换得一-1 n 一 一 . .-到f(x)=2sin( 2X-5),最后可求出f(x)的单调递减区间.由题图可知 A=2, ?= 氏-=-,T=2- =兀，. 3 =2,. g(x)=2sin(2 x+6 ).又 g(x)的图象 42054?.,.9冗9冗一 冗一一

14、2冗一冗过点(20,2), + =2k兀2-, kC Z, 6 =2kjt - -, ke Z, 1 6 | ,6 =-g, . g(x)=2sin(2 x-9).将函数g(x)=2sin(2 x-3)的图象上的所有点的横坐标变为原来的 4倍，得到y=2sin(，-篙)的图象，再将y=2sin(吴)的图象向左平移 三个单位长度，得到 f(x)=2sin -(x+-)-=2sin( -x-)的图象，令一+2k兀 w-x-W2 k兀 +, kCZ,贝U 2552522527+4kTt x4kTt + , kez.，f (x)的单调递减区间是K+4kTt ,4 kTt+, kez.故选 d. 555

15、5【备注】无10 .C【解析】本题考查计数原理的有关知识，考查考生的逻辑思维能力.试题以春节买机票为背景，引导考生利用数学方法去解决实际问题，建立与实际生活的联系，考查了数学建模、逻辑推理等核心素养.当有1个人选择天津航空时，购票方案共有C1( C1 c3a2 + c1c3A2)=108(种)；当有2个人 选择天津航空时，购票方案共有c2A3+ c|A3=54(种)；当有3个人选择天津航空时，购票方 案共有C1A3=18(种).故四个航空公司均有人选的购票方案共有108+54+18=180(种).【备注】无11 .B【解析】本题主要考查数列的递推关系式、等比数列的前n项和公式，考查考生的逻辑思

16、维能力和数学运算能力.先通过递推关系式，得到数列a21+3是等比数列，然后分奇、偶项分析，从而求解.因为 a2n=&n-1+1,a2n+1=2a2n+1,所以 a2n+1=2(a2n-1+1)+1=2a2n-1+3, a2n+1+3=2( a4-1+3),又 a1+3=4，所 以数列a2n-1 +3是以4为首项,2为公比的等比数列，所以a2n-1 =4 2 n-1-3, a2n=4 2 n-1 -2,所以S奇=ai+ab+ a2n-i =-3 n=2 -4-3 n, S偶=a2+a4+a2n=2 -4-2 n,所以 S2n=S偶 +S奇=2 -81 -25n.当 n=8时，&6=28+3-8-

17、 5X 8=2 0002 019.故正整数m的最小值为17.【备注】无12.D【解析】本题主要考查分段函数，函数图象的应用，函数的零点等知识，考查数形结合在解题中的应用，考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力试题以分段函数为依托，将函数的零点问题转化为两函数图象的交点问题，体现了对数学抽象、直观想象等核心素养的考查，要求考生有一定的彳t归与转化能力.首先将函数g(x)的零点问题转化为函数 y=f(x)和函数y=6尸象交点的问题，利用数形结合 的方法求解，在同一坐标系中画出两函数的图象，结合图象得到两函数图象交点的横坐标，最后得到结果.一6 一 6由函数g(x)=xf (x)-6=0

18、44,f(x)=?故函数g(x)的零点即函数y=f(x)和函数y=?13象交点的横坐标.分析函数f (x)的解析式知，可将f(x)的定义区间分段为1,2,(2,22,(22,23,(2n-1,2n,并且 f(x)在(2 n-1,2n(n2, nN*)上的图象是将f(x)在(2 n-2,2 n-1上的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的后得到的.2先作出函数y=f(x)在区间1,2上的图象，再依次作出在区间(2,4,(4,8,(2 n-1,2n上的图象，并作出函数y=6(x1)的图象，如图，结合图象可得两图象交点的横坐标是函数y=f(x)的极大值点，由此可得函数g(x)在区间

19、(2 n 1,2 n上的零点为22+2=3 2 n2,则函数g(x)在区一33?)32间1,2 n( nCN)内所有零点的和为2= -X(2 n-1).故选D.1-22【备注】无.c v6+ v213.4【解析】本题考查三角函数的定义、三角恒等变换，考查考生的运算求解能力与分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想.先根据题意求出角a的正、余弦值，再根据两角和的正弦公式进行求解.由角a的终边经过点(1, v3),得sin a =_,COS a =.因为角的终边是由角a的终边逆时针旋转 ；得至U,所以 sin 3 =sin( a +)=sina cos:+cos a sin j = : &.【备注

20、】无114.-6【解析】 能力.本题考查几何概型的应用、定积分的应用和计算,考查化归与转化思想和运算求解将在区间0,1内随机选取的两个实数x, y,转化为在边长为1的正方形内随机取点，利用定积分计算阴影部分面积.在区间0,1内随机选取两个实数 x,y,相当于在如图所示的边长为1的正方形中随机取点：若满足X2-2xWy-1W-X,则点落在阴影区域内，S阴影=/1 0(1-x-x2+2x-1)d x=1,故所求的概率 6?阴影1P=-.1X1 636+615.一【备注】无 . .7【解析】本题考查正三棱柱的外接球，考查空间想象能力和运算求解能力.利用几何图形的特征，找到正三棱柱的底面边长与球半径之

21、间的关系，进一步得出结论.如图，记正三棱柱为三棱柱 ABCDEFO为外接球的球心，G为底面 DEF的重心，连接OG则设正三棱柱的底面边长为a,则由题意知2s。劭6即(,x|)2+(2a)2=1,得a2号，故正21 2 V336+6 v3三棱柱的表面积为【备注】无3a +2x -a x =16 .法或述+2【解析】本题考查抛物线的几何性质、双曲线的几何性质，考查两点间的距离公式和直线斜率公式的应用，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.试题以抛物线和双曲线的简单几何性质为依托，要求考生能画出草图，理清有关点、线的位置关系，体现了直观想象、数学运算等核心素养.设出双曲线的渐近线方程，将抛物线方程与

22、渐近线方程联立，可得P点坐标，然后分/ PF090。? = 2?,由 ?片?可得?,?e=-=?和/ QP=90两种情况讨论，建立关于a, b的关系式，从而求得该双曲线的离心率.P(孝笋若/PFR90。，则等=2?得a于是该双曲线的离心率解法一不妨设该双曲线的渐近线方程为y=?(，易知F(?0), Q-?0).人 ?“1 +?2=5;若/ QPI=90,设直线PQ PF的斜率分别为kPQkPF,则kPQ-kP=-1,即2?2?_fFT.442, 2 ? 2?2 ?/22?2? , 2?2 ?=-1,整理付 b =16a +16a b ,所以（?7）-16 , ?-16=0,所以?=8+4v5,

23、于该 ?2T+ 2TL2?7= -双曲线的离心率e=?=，1 +浮=v9 + 4v5 = V5+2.综上，该双曲线的离心率为 v5或A/5+2.解法二不妨设该双曲线的渐近线方程为y=?2, sin? sin?sin? sin? ,当且仅当吧_ =吧_时取等号. sin? sin?所以 cos C 1,所以 0CX-. 23所以角C的最大值为3,此时 AB以正三角形.(2)由 sin A+sin B=4sin Asin Bcos C及正、余弦定理可得，a2+b2=4ab . ?+?-?,所以 2c2=a2+b2 .2?又 b=2, B=；，所以 4=a2+c2-2 accos 2.由和得a=c=

24、2.所以 ABC勺面积为-acsin - = v3. 23【解析】本题考查正弦定理、余弦定理 ，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学 运算、逻辑推理.(1)由sin A+sin B=4sin Asin Bcos C推出cos C,然后借助基本不等式得出cos C的最小值，进一步彳#出角 C的最大值；(2)将已知条件转化为2c2=a2+b2,4= a2+c2-2 accosf，然后得出 31a=c=2,取后由公式 S=-acsin B求出面积.2【备注】无18 .解:(1)如图，过点A作AQL AD于点Q平面 AAD，平面 ABCi,平面AADA平面ABC=ADAiOL平面ABC. B1

25、C1?平面 ABCi, . AO BCi.又在直三棱柱 ABCABC 中，AiA BiCi, AOn AiA=Ai, BiGL平面 AAD.(2)由(i)得，BCAD D为 BiCi 的中点，AiBi=AG=AG2,又BC=BiCi=2v2,Bi?+Ai?=Bi?,，CiAiBi=1.令AA=a,以A为坐标原点，AB AC AA所在直线分别为x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐 标系，则A(0Q0),B(2,0,0), qo,2,0),口i,i, a), ?,0,0), ?,i, a), ?020).得yi=0,令设平面 ADCm去向量为 m=(xi,yi,zi),则?二?=?0,即产+

26、?；? 0?,2?二0,zi=i，得m=(- a,0,i)为平面ADC勺一个法向量.0,得 X2 = 0,令?=?r ? + ? + ?2设平面BAD勺法向量为n=(X2,y2, Z2),则一 ？即? ?八？?？ ？?=? 2?= 0,Z2=i，得n=(0,- a,i)为平面BA而一个法向量.依题意，得|cos|二?一?=|= L得a=i,即AA的长为i.|?|?|i+?22【解析】本题主要考查空间中的线面位置关系、二面角等知识 ，考查空间想象能力、推理论 证能力和运算求解能力.(i)作辅助线构造线面垂直，利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直；(2)利用勾股

27、定理的逆定理得到线线垂直 ，建立空间直角坐标系，分别求 出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式列方程求解 .【备注】无i9.解:(i)设中位数为 X,则 0.005 X 20+0.0i5X20+( X-60) X 0.02=0.5,解得 x=65,所以这 60名参赛学生成绩的中位数为65.(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为(0.01+0.02) X 20X 10=6,不合格的人数为10-6=4.由题意可知E的可能取值为0,1,2,3,4._.C41则 R E=0)=W=高 R 己=1)=C4C38P E =2)=C2C2P( E =4)=CwC4, 3 R

28、 3)=C4C6=7 PH =3)=而1214一 ,3501234P114821374351210所以己的分布列为C40 = 2101所以E的数学期望E(己)=0 x 14156+ 1 X +2X -+3X +4X = 一21735210352 (T(3)由题意可得，=(30X0.005+50X0.015+70X0.02+90X0.01) X 20=64, =(30-64) X0.1+(50 -64) X0.3+(70 -64) X 0.4+(90 -64) X 0.2=324，则(r=18,由 Z服从正态分布 N( g)，得 P(64-18 Z64+18)= P(46Z82)= ：(1-0.

29、682 7)=0.158 65,P( Z46) = 0.682 7+0.158 65=0.841 35,所以此次竞赛受到奖励的人数为60X0.841 35 50.【解析】本题主要考查频率分布直方图、中位数、平均数、分层抽样、离散型随机变量的 分布列、正态分布等.本题结合学生实际，以中学数学建模竞赛为背景 ，通过频率分布直方图考查学生的识图能力 考生需要能够有效地提取图中数据，意在考查数据分析核心素养.以离散型随机变量为出发 点，以正态分布为载体，有助于对数学建模、数学运算核心素养进行考查(1)结合频率分布直方图即可求出该组数据的中位数;(2)首先明确抽取的10人中的合格人数和不合格人数，然后确

30、定E的可能取值，并进行一一计算其对应的概率值 ，即可得出其分 布列与数学期望;(3)利用正态分布进行求解.【备注】【解后反思】有关频率分布直方图的数学问题，重在审图、明晰数据，即根据图表获取数据，再根据题目信息对数据进行应用，即可一一求解?夕？夕20.解:(1)易知直线l过定点(1,0), 直线l: x=ty+1过椭圆？+ ?=1(ab0)的右焦点 ?F2,F2(1,0), c=1.由| AB|的最小值为3,易知-?-=3,2(?2-12)“ 一 一 1, ?=3,解得a=2或a=-2(舍去).b2=a2-c2=3, .椭圆的标准方程为 竺+竺=1. 43(2)当 t =0 时，易知 Sa n

31、a=x 1 x 3=. 22当 t wo 时，设 A(Xi, y1), B(x2, y2),?= ?+?1,由?夕？3得(3-+4)丫2+61丫-9=0.7+3= 1,显然 0,则 y1+y2=-6?-93?弓+4 , y2 3?弓+4 ,I AB= V1+ ?| yy2|= 12(?+1), 3?g+4AB的中点M，3?),，过点 3?办4 3?办4-3-).令 x=0,得 y=-, N。, 3? +4,3? +4 ,M且与直线?3? +4),41l垂直的直线3的万程为x-3?+4=-y点N到直线l的距离S；ana=- - I AB , d=- 2 r 2令 12 + 1=巾则 R1,Sa

32、na=12(?修+1) 3?g+4 3 24?2 (3?+1) 2.4?+T，=24 .3? +43 (?+1) 2 (3?修+4) 2. 3*24?2令 f(m=(3?(m1),.f ( n)=36 黑；?30 在 m (1,+00)上恒成立， . f ( n)在(1,+)上是减函数，f ( n)0),则 f (x)=e 2-1)-1 + 1= *(ex-x).令 h(x)=ex-x,则当 xC (0,+ 8)时,h (x)=ex-10,，在(0,+ ) , h(x) h(0)=1, 故在(0,1)上,f (x)0, f(x)单调递增.(2) f (xAe-la+x0),令 p(x)=f (xAe-a+x0),则 p,(x)=e?9：?+2Yx0).由(1)知，当 xe (0,+ 8)时，exx,ex(x2-2 x+2)- xx(x2-2x+2)- x=x(x-1) 20,，p (x)=?-2：?+2)-?0(x0),故 f (x)为定 ?义域上的增函数.又 f (1)=- a+10,，方程 f (x)=0 在(0,+8)上有唯一解.设 f (x)=0 的解为 xo,则在(0, xo)上，f (x)0,