高数第一章：映射与函数

1、 第一节第一节 映射与函数映射与函数1集合与映射集合与映射2函数的概念函数的概念3函数的几种特性函数的几种特性4反函数与复合函数反函数与复合函数5初等函数初等函数6建立函数关系举例建立函数关系举例 一、一、集合与映射集合与映射1.1.集合集合集合集合：具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体. .组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素. .,21naaaA Ax x 所具有的特征所具有的特征有限集有限集无限集无限集,aA ,aA 如如,AB 且且B中有不在中有不在A的元素，的元素，BA的真子集，记为的真子集，记为则称则称是是A.B若若,Ax 则必则

2、必Bx 就说就说A是是B的子集，的子集， 记作记作.BA 数集分类数集分类: :N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系: :+NN,NZ, ZQ, QR.,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.AC 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集. .)(记作记作例如例如, ,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集. .+N-正整数集正整数集如果如果,BA 且且,AB 则称集合则称集合A和和B相等，相等，)(BA 2.2.实数集实数集定义定义1 1设设R,A 如果存在数如果存在数R,L 使得

3、对一切使得对一切,xA 都有都有( ) ,xL 则称则称A有上有上( (下下) )界界, ,定义定义2 2 设设A是一个非空数集是一个非空数集, ,若存在一个上若存在一个上( (下下) )界界, s使得对使得对A的一切上的一切上( (下下) )界界,L都有都有( ) ,sL 则称则称s是是A的的上上( (下下) )确界确界, ,定理定理1 1 任何一个非空的实数集任何一个非空的实数集,A如果有上如果有上( (下下) )界界, ,则必有上则必有上( (下下) )确界确界. .如果数集如果数集A既有上界又有下界既有上界又有下界, ,则称则称是是有界有界的的, ,AL为为A的的一个一个上上( (下下

4、) )界界. .称称是是无界无界的的. .A否则称否则称sup(inf).AA记为记为 区间区间是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数. .这两个这两个实数叫做区间的实数叫做区间的端点端点. .,.a bRab 且且bxax 称为开区间称为开区间, ,( , )a b记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间, , , a b记作记作oxaboxab bxax bxax 称为半开区间称为半开区间, ,称为半开区间称为半开区间, , , )a b记作记作( , a b记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定

5、义: :两端点间的距离两端点间的距离( (线段的长度线段的长度) )称为区间的长度称为区间的长度. . 0( ).Ua 记记作作. )( axaxaUxa a a ,a 点 的去心的 邻域点 的去心的 邻域. 0)(0 axxaU. 叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径0,|axxaaa 设 与 是两个实数，且数集设 与 是两个实数，且数集称为点 的，点 叫做这邻称为点 的，点 叫做这邻邻域邻域域的中心.域的中心. 3.3.常量与变量常量与变量: : 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量, ,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的. .而数

6、值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量. .常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：通常用字母通常用字母, ,a b c等表示常量等表示常量, ,用字母用字母, ,x y t等表示等表示变变量量. . 4.4.映射映射定义定义3 3设设,A B是两个非空集合是两个非空集合, ,若对每个若对每个,xA 按照某个确定的法则按照某个确定的法则,f有唯一确定的有唯一确定的yB 与它对应与它对应, ,则称则称f是是A到到B的一个的一个映射映射, ,记作记作:,fAB或或:( ),.fxyf xxA y其中其中称为称为x在映射在映射f下的下的像像，x称为称为yf在映射在映射下下的一个的一个原像原像(

7、 (或或逆像逆像),),A称为映射称为映射f的的定义域定义域, , 记为记为()D f或或,fDA所有元素所有元素x的像的像y的全体所构成的集的全体所构成的集合称为合称为f的的值域值域, ,记为记为fR或或(),f A即即( )( ),fRf Ay yf xxA 映射的两个基本要素：定义域与对应法则映射的两个基本要素：定义域与对应法则设设:,fAB如果如果,fRB 则称则称f是一个是一个满映射满映射，如果对如果对A中的任意两个不同元素中的任意两个不同元素12,xx 有有12()()f xf x 则称则称f是一个是一个单射单射， 如果一个映射既是满射，又是单射如果一个映射既是满射，又是单射则称则

8、称f是个是个一一映射一一映射. .如果如果f是个一一映射，则对每个是个一一映射，则对每个,yB 有唯一的一有唯一的一个个,xA 适合适合( ),f xy 规定规定( ),g yx 则则g就是就是B到到A上的一个映射，称为上的一个映射，称为f的的逆映射逆映射，记为，记为1:fBA 其定义域其定义域1,ffDRB 值域值域1.ffRDA 此时也此时也称称f是是可逆映射可逆映射. .11()ff 设设:,:,fAB g BC则对每个则对每个,xA 对应唯一对应唯一的一个的一个( ),yf xB 从而对应唯一的一个从而对应唯一的一个( ),zg yC 这样就确定了一个从集合这样就确定了一个从集合A到集

9、合到集合C的映射的映射, , 这个映这个映射称为射称为f和和g所确定的所确定的复合映射复合映射, ,记为记为,gf 即即:gfAC ()( )( ( ),gfxg f xxA 任意两个映射任意两个映射, ,f g则则gf 当且仅当当且仅当.fgRD 5.5.绝对值绝对值: : 00aaaaa)0( a运算性质运算性质: :;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或绝对值不等式绝对值不等式: : 二、函数概念二、函数概念例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长nnrSn sin2, 5 , 4 , 3 n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n

10、 n 边形边形O Or rn ) )1 1 函数的定义函数的定义 因变量因变量自变量自变量000,().xDf xx 当时 称为函数在点处的当时 称为函数在点处的函数值函数值定义定义4 4数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域 。(),yfxxD 记作记作则称映射则称映射:fDR为定义在为定义在D上的一个上的一个函数函数，D是一个给定的数集，是一个给定的数集，设设( ),Wy yf xxD函数值全体组成的数集称为函数值全体组成的数集称为函数的函数的值域值域. . ()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f f函数的两要素函数的两要素: : 定义域与对应法则定义

11、域与对应法则. .xyDW约定约定: : 定义域是自变量所能取的使算式有意定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值义的一切实数值. .21yx例如，例如， 1 , 1 : D211yx 例如，例如，)1 , 1(: D 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数又称为的函数值总是只有一个，这种函数又称为单值函数单值函数. .如果给定一个法则如果给定一个法则, ,按照这个法则按照这个法则, ,对每个对每个,xD 有多个确定的有多个确定的y与之对应与之对应, ,这样的一个法则称为这样的一个法则称为多值多值函数函数一个多值函数

12、可以分成几个单值函数来讨论一个多值函数可以分成几个单值函数来讨论例例1 1求函数求函数2arcsin1yx 的定义域的定义域. .解解函数的的定义域为满足不等式函数的的定义域为满足不等式2111x 例如例如,222Ryx 既满足既满足2011,x212,x因此因此1221xx 或或函数的定义域为函数的定义域为2, 11, 2 2 2 函数的图形函数的图形定义定义5 5( , )( ),( ).Cx y yf xxDyf x 在平面直角在平面直角坐标系下，点坐标系下，点称为函数的称为函数的图形图形集集oxy),(yxxy值域值域 定定义义域域 (1) (1) 符号函数符号函数10sgn0010

13、xyxxx 当当当当当当3 3 函数的表示法函数的表示法1-1x xy yo oxxx sgn函数常用的表示法有公式法函数常用的表示法有公式法, ,图示法图示法, ,表格法表格法. .几种常用的函数几种常用的函数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3x xy yo o阶梯曲线阶梯曲线(2) (2) 取整函数取整函数 yx x表示不超过表示不超过 x的最大整数的最大整数(3) (3) 绝对值函数绝对值函数0,=|0.xxyxx x xy11 1o (4) (4) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy y yx xo o

14、)(xf)(xgy yx xo o)(xf)(xg 221,0,( )1,0 xxf xxx 例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, ,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数, ,称为称为分段函数分段函数. . 例例2 2脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲, ,其波形如图其波形如图所示所示, ,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系的函数关系式式. .)0( tt解解0, ,2t 当当时时tEU2 ;2tE ,2(时时当当 t),(200 tEU)(2 tEU即即 ( ,),t 当时当时. 0 U( )

15、,UU t是一个分段函数是一个分段函数其表达式为其表达式为 ),(, 0,2(),(22, 0,2)(tttEttEtUUto)0 ,( E),2(E 2 单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压 例例3 3101( ),(3)212.xf xf xx 设求函数设求函数的定义域的定义域解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故 三三 函数的几种特性函数的几种特性1 1 函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数偶函数,DxD 设 关于原点对称对于有设 关于原点对称对于有)()(xfxf y yx x)( xf )(xfy ox-x)(xf( )f

16、 x则称函数为则称函数为偶函数偶函数. . )()(xfxf 奇函数奇函数)( xf y yx x)(xfo ox-x)(xfy ( )f x则称函数为则称函数为奇函数奇函数. .,DxD 设 关于原点对称对于有设 关于原点对称对于有 2 2 函数的单调性函数的单调性( ),f xDID 设函数的定义域为区间设函数的定义域为区间1212,Ixxxx 如果对于区间上任意两点及当时如果对于区间上任意两点及当时( );f xI则称函数在区间是则称函数在区间是 单调增加单调增加上的上的12(1)()(),f xf x 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfx xy yo oI )(xfy )(1xf

17、)(2xfxyoI( );f xI则称函数在区间是则称函数在区间是 单调减少单调减少上的上的( ),f xDID 设函数的定义域为区间设函数的定义域为区间1212,Ixxxx 如果对于区间上任意两点及当时如果对于区间上任意两点及当时12(2)()(),f xf x 恒有恒有 3 3 函数的函数的周期性周期性（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）. .2l 2l23l 23l设函数设函数)(xf的定义域为的定义域为,D且且)()(xflxf 则称则称)(xf为为周期函数周期函数, ,l称为函数称为函数)(xfy 的的周期周期. .如果存在一个不为零的如果存

18、在一个不为零的数数, l使得对于任一使得对于任一DlxDx , M-Myxo oy=f(x)X有界有界无界无界M-Myxo oX0 x,0,( ),XDMxXf xM 若有成立若有成立4 4函数的有界性函数的有界性( ).f xX则则称称函函数数在在 上上界界 否否则则称称有有无无界界 四四 反函数与复合函数反函数与复合函数1 1 反函数反函数定义定义6 6设函数设函数:fDW是一一映射是一一映射, ,则其逆映射则其逆映射1:fWD 称为函数称为函数( )yf x 的的反函数反函数, ,记为记为1( ),.xfyyW 称函数称函数( )yf x 为为直接函数直接函数. .由定义可知由定义可知,

19、 ,若函数若函数( ),yf xxD 存在反函数存在反函数1( ),fxfyyR 则则(1) (1) 对于对于D的任意两个数的任意两个数121,(),xxx 定有定有12()().f xf x 0 x0y0 x0y(2)(2)( )f x与与1( )fy 互为反函数互为反函数, ,且且1ffDRD 1.ffDR (3)(3)1( ( ),ff xx xD 1( ),ff fyy yR xyD( )yf x 函数函数ofRxyD1( )xfy 反函数反函数ofR 习惯上用字母习惯上用字母x表示自变量表示自变量, ,y表示因变量表示因变量, , 函数函数( ),yf xxD的反函数经常表示成的反函

20、数经常表示成1( ),.fyfxxR 例例4 4 讨论函数讨论函数21yx的反函数的反函数. .解解函数的定义域函数的定义域 1,1, 值域值域0,1.由于对于由于对于01,y 有两个自变量值有两个自变量值221,1xyxy 都满足关系式都满足关系式21,yx 因此此函数不存在反函数因此此函数不存在反函数. .但如果将函数的定义域限制在但如果将函数的定义域限制在0,1 1,0, 或或则函数则函数21,0,1yxx 的反函数为的反函数为21,0,1yxx 21, 1,0yxx 的反函数为的反函数为21,0,1yxx 例例5 5求函数求函数01012ln1xexyxxexx 的反函数的反函数. .

21、解解当当0 x 时时, ,xye 得得ln ,01.xyy当当01x时时, ,1yx得得1,12.xyy当当1x 时时, ,2lnyex 得得2,2.yexye2ln011122xxxyxxeex 2 2 反函数的图形反函数的图形( )yf x 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP1( )yfx 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称. .xy xy 3 3 复合函数复合函数,yu 设设,1 , 112 xxu21xy 定义定义7 7,x 自变量自变量,u 中间变量中间变量,y 因变量因变量同复合映射一样，同复合映射一样， 函数函数fg与

22、与可以构成复合函数可以构成复合函数当且仅当当且仅当.fgRD 如果如果fgRD 时时, , 我们可以我们可以通过改变通过改变f的定义域来构造复合函数的定义域来构造复合函数. . 注意注意: :1.1.不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的; ;arcsin ,yu 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成构成. .cot,2xy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 例例6 622,0,1( ), ( ),1,0,1 ( ).xxxexf xxxxxxfx

23、设设求求解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx01( )1,x 当时当时0,x 或或, 12)( xx;20 x0,x 或或, 11)(2 xx; 1 x 02( )1,x 当当时时0,x 或或, 12)( xx;2 x0,x 或或, 11)(2 xx; 01 x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 五五 初等函数初等函数(2)(2)幂函数幂函数()yx 是常数是常数oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 1 1 基本初等函数基本初等函数(1)(1)常数函常数函数数,(,)yc x ( (其中其中c为已知常数为已知常数).).

24、 (3)(3)指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey (4)(4)对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (5)(5)三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数 正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 正割函数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数xycsc (6)(6)反三角函数反三角函数xyarcsin arcsinyx 反反正正弦弦函函数数 xyarccos arccosyx 反余弦函数反余弦函数 xyarctan arctanyx 反正切函数反正切函数 常数函数常数函数, ,幂函数幂函数, ,指数函数指数函数, ,对数函数对数函数, ,三角函数三角函数和反三角函数统称为和反三角函数统称