2016年全国硕士研究生招生考试数学(三)试题解析

1、2016年全国硕士研究生招生考试数学(三)试题解析戴又发(1)设函数yf(x)在(,)连续，其导函数的图象如图所示，则(C)函数f (x)有3个极值点，曲线 y f (x)有1个拐点(D)函数f(x)有3个极值点，曲线 y f(x)有2个拐点解析：由导函数的图象得知导函数有3个不同零点，其中有一个是导函数图象与x轴的切点，不是函数f ( x)的极值点，所以函数 f (x)有2个极值点；又因为导函数有2个极值点，当然是曲线 y f(x)的拐点；另外，导函数的图象还有 1个间断点，导函数在该点左右两侧同号，而函数在该点处连续，所以该点也是曲线 y f (x)的1个拐点.故选(B)xe(2)已知函数

2、f (x, y) ,则x y(A)函数 fx fy0(B)函数 fx fy 0(C)函数 fx fyf(D)函数 fx fy fxx xx0 /、 e . (x y)e e 正 e解析：由 f(x, y) 得 fx 一；&一，fy x y(x y)(x y)x xx(x y)e e e f是 fx fy-272f，故选 (D)(x y) (x y)(3)设 Ji3/xTydxdy(ii,2,3)，其中 Di(x, y)0 xDii,x2D2(x, y)0 x i,0 y Vx , D3(x, y)|ox(A) JiJ2 J3(B) J3 Ji J2(C) J2 J3Ji(D) J2 Ji解析：

3、在平面坐标系中， D2, Di, D3所表示的区域分别为:O在区域DiDiD2上,D20,即 JiO., 是3 x yy x,于J3 ；在区域DiD3上,y x,于0,即 Ji所以J3Ji J2 ,故选(B)Word资料i ni(n解析：由n isin(n k)(k为常数)(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与k有关i)sin(n k)、n isin(n k)11因为 而Jn 1(Jn &_1)n/n1n nn1) njn所以由正项级数的比较判别法，知该级数绝对收敛.故选(A)(5)设A, B是可逆矩阵，且 A与B相似，则下列结论错误的是(A) AT与BT相似.11 I(B) A

4、与B相似(C) A AT与B BT相似11(D) A A与B B相似1 .解析：由A与B相似的定义，存在可逆矩阵 P ,使得P AP B .对于(A),因为(P 1AP)T BT得PTAT(PT)1 BT ,所以AT与BT相似;1 111 . 11. 11对于(B),因为(P AP) B得PAP B,所以A与B相似；对于(D),因为 P1(A A1)P P 1AP P1A1P B B 1 , 11所以A A与B B相似.故选(C)(6)设二次型 f(x1，X2,X3) a(x2 x2 x2) 2x1X2 2x2X3 2x1X3的正负惯性指数分另IJ为1,2,则(A) a 1(B) a 2(C)

5、 2 a 1(D)a 1 或a 2解析：考虑用特殊值法.当 a 0时，f(x1,X2,X3) 2x1X2 2x2X3 24,0 1 1其矩阵为1 0 1 ,由此求得特征值为 2, 1, 1,满足正惯性指数为1,负惯性指数1 1 0为2,即a 0成立.故选(C) 设A,B为两个随机事件，且0 P(A) 1,0 P(B) 1 ,如果P(AB)(A)p(b|a) 1(B) P(AB) 0(C) P(A B) 1(D)p(b|a) 1解析：由 P(AB) 1 知，P(AB) P(B), P(A B) P(A).pzom P(AB) P(A-B) 1 P(A B)P( B A)1P(A) 1 P(A)

6、1 P(A)故选(A)(8)设随机变量X与Y互相独立，且X N(1,2) , Y N(1,4),则D(XY)(A) 6(B) 8(C) 14(D) 15解析：由随机变量 X与Y互相独立，则D(XY) E(XY)2 E(XY)2 EX2 EY2 (EX EY)2DX (EX)2 DY (EY)2 (EX EY)2(2 12) (4 12) (1 1)2 14.故选(C)1 f(x)sin2x 1(9)已知函数 f(x)满足 lim3- 2,则 limf(x)x 0e 1x 0J f (x)sin 2x 1解析：因为hm3- 2,用等价的无穷小替换，x 0 e 131 ,、一当 x0时，e 13x

7、, %：1 f(x)sin2x 1 - f (x)sin2x1，、5 f (x)sin2xf(x)于是有 lim- 2,即lim 2x 0 3xx 0 3所以lim f (x) 6 ,答案6 x 0.1 , . 1(10)极限 lim -r(sin- n n n2sin 2 n.n、 nsin) n.1 , . 12解析：由 lim 2 (sin 2sinn n nn- n、nsin )n1 1122nnlim -(-sin- -sin-sin)n n nnnnnn11x sin xdx xd cosx x cosx 0011cosxdx0 0cos1 sin 1 sin1 cos1,答案 s

8、in 1 cos122(11)设函数f(u,v)可微，z z(x)由方程(x 1)z y x f(x z,y)确定，则dz (0,1) 2222(12)设 D(x, y)|x|y 1, 1 x 1,则 x e y dxdy 解析：由(x 1)z y x f(x z, y)有 x 0, y 1时 z 1, 2(x 1)dz zdx 2ydy 2xf (x z, y) x fu(x z, y)(dx dz) x fv(x z,y)dy将 x 0,y 1, z 1 代入，得 dz dx 2dy .答案 dx 2dy2 y2x e dxdy120dy2e y2dx10y3 y2e dydey21 3y

9、2ey2ey2d( y2)11 y2 11111212、丁 7ec 丁 丁 二 二二-答案：二(1 一) 3e 30 3e 3e 3 3 3e 3 e00111 001(13)行列式4 321 00010解析：0014321102014223212 . 2432(2) 34234.43一 2一答案：432 234(14)设袋中有红、白、黑球各一个，从中有放回的取球，每次取一个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为解析： 若最后一次取到黑球后停止，则前三次只能取到红色球和白色球，且两种颜色都有.3次取球，无论2红1白还是2白1红，概率都是3 127 9于是最后一次取到黑球后停

10、止的概率为2 12一,9 3 27同理最后一次取到红球或白球后停止的概率都为27，2 Q 22所以取球次数恰好为 4的概率为3 W答案：- 2 7991(15)(本题满分10分)求极限lim(cos2x 2xsinxtx 0解析:14lim (cos2 x 2 xsinx)x lim ex 0x 0cos2x 2xsin x4xXe4x2 24y4x31 2x( x ) 1 o( x )24!3!4x1e3.(16)(本题满分10分)设某商品最大需求量为 1200件，该商品的需求函数 Q Q(p), p需求弹性 (0), p为单元价(万元)120 p(I)求需求函数的表达式；(n)求p 100

11、万元时的边际收益，并说明其经济意义.p dQ pdQ dp解析：(i)由弹性公式，可得 ,分离变量，得 -Q dp120pQp 120两边积分，得 lnQ ln( p 120) ln C ,即 Q C( p 120)因为最大需求量为1200件，所以Q(0) 1200,解得C 10故 Q 10( p 120) 1200 10P.2(n)收益R Qp 1200p 10p，边际收益为dR dR dp_ (1200 20p)( ) 2p 120dQ dp dQ10dRi一一 一p 100万元时的边际收益为 -p 100200 12080 .dQ其经济意义是：需求量每提高1件，能增加收益8 0万元.(1

12、7)(本题满分10分)设函数f(x)jt2 x2dt(x 0),求f (x)并求f(x)的最小值.一、 .22 .解析：对于 f(x) 0 t x dt , x|2 2122当 1 x 1 时，f(x) 0 (x t )dt |x| (t x )dt,4 j32 13x x 3,一12221当 |x| 1 时，f(x) 0 (x t )dt x - 3211x -, x 13f(x)为偶函数，f(x) 4 31-xx2 ，x 1332x,x 1所以f (x)4x2 2x, 1 x 04x2 2x,0 x 12x,x 1f(x)为偶函数，在0,)上，0 x 1, f(x) 0； x 1, f(x

13、) 0；所以f(x)的最小值为f(1)(18)(本题满分10分)设函数f (x)连续，且满足 xx0 f (x t)dt 0(x t)f(t)dt ex 1,求 f(x).x0x解析： 令 u x t,则 0 f(x t)dt x f (u)d( u) 0 f (u)du2n 2x(19)(本题满分10分)求哥级数 2n 的收敛域及和函数.n 0 (n 1)(2n 1)解析：令S(x)2n 2 x0 (n 1)(2n 1)两边求导S(x) 2n 02n 1x2n 1 两边再求导S (x)2n xn 0两边积分，得S (x)in1，且 S(0)0,再两边积分 S(x) (1 x)ln(1 x)

14、(1 x)ln(1 x)易知，S(x)2n 2 xn 0 (n 1)(2n1)的收敛半径为1,又 x 1,x1时级数收敛,即其收敛域为1,1,所以S(x) (1x)ln(1 x)(1x)ln(1x),x1,1.(20)(本题满分11分)设矩阵1,且方程组2a 2Ax 无解.(i)求a的值；(n)求方程组 AT Ax AT 的通解.由a 0时,r(A)r(A,)而2 2时，r(A) r(A,),解析：(i)由方程组Ax 无解，知IA 0,所以 a 0.(n)当 a 0时，ata322222AT222于是(ATA,AT )01所以，方程组AT Ax AT的通解为x k 12 , k为任意实数.10

15、01 1（21）（本题满分11分）已知矩阵 A 2 1 1设P 2 1 2 ,可知a2 0 0 00002100.、(n)设 3 阶矩阵 B ( 1, 2, 3)满足 BBA,记 B ( 1, 2,3),将 1, 2, 3分别表示为 1, 2, 3的线性组合.解析：（I）由| E A 0求得矩阵A的特征值为10, 21, 32,0所以A12分别就10、299991P P 1,于是 A P P .1、32 ,求得矩阵A属于1、2、3特征向量分别为:1求矩阵P的逆矩阵P1221229912212399991 c所以A P P 222 2992210029921002982992(n)因为 B (

16、1, 2, 3),由 BBA,B100 ba99 ,可得 B3 B2A BAA BA2, B4 B2A2 BA3,所以，B100 ( 1, 2, 3)BA99 ( 1, 2, 3)A992 2993)2210002992100298299(2299) 12 2100)(1 299) 1(12100) 2；3(2 298) 1 (2 299) 2.（22）（本题满分11分）设二维随机变量（X,Y）在区域D (x,y)0 x 1,x2 y x上服从均匀分布，令 U1,X Y0,X Y（I）写出（X,Y）的概率密度;（n）问U与X是否相互独立？并说明理由;（出）求Z U X的分布函数F（z）.解析：

17、（i）先计算二维随机变量 （X,Y）所在区域的面积,13_31Vx,z f- 22 3 13s(D)0dx x2 dy0x x )dx (-x -x )33而（X,Y）在D上服从均匀分布，所以（X,Y）的概率密度为3, x y xf(x，y)l0淇他11(n)因为 PU 2,X 2所以U与X不相互独立.112，1111事实上 P U ,X P U 0,X P X Y,X 2222(出)由 F(z) PU X zPU X zU 0PU 0 PU X zU 1PU 1PX z,X Y P1 X z,X Y.其中 PX z,X Y|z20,z z3,0z 1;P1 X z, X Y32(z 1)20

18、, z 1-(z 1)2,12-,z 12z 2,0,z 03 23z z ,0 z 1Z的分布函数为F(z)21 3 3 oc2(z 1)2 3 1)2,1z 22 21,z 23X2 n .3 ,0 X,(23)(本题满分11分)设总体 X的概率密度为f(x，)3，其中0,其他(0,)为未知参数，X1，X2,X3为来自总体X的简单随机样本，令T maXX1,X2,X3).(I)求T的概率密度；(n)确定 a ,使 E(aT) .解析：(I)因为X1，X2, X3为来自总体 X的简单随机样本，显然互相独立,于是T的分布函数为Ft。)Pmax( X1，X2,X3) tPX1 t PX2 tPX3