金融数学ppt课件6债券和股票

1、1债券和股票债券和股票bonds and stocks孟生旺中国人民大学统计学院2一、债券一、债券(bond)含义：含义：债的证明书。投资者和发行者之间债权债务关系的法律凭证和契约。基本要素：票面价值（面值）：我国一般为100元，美国一般为100或1000美元。价格：平价，溢价，折价偿还期限：长期（10年以上），中期（110），短期（1年以内）。票面利率。根据利息支付方式，可分为附息债券（coupon）和零息债券（zero-coupon）。3政府债券国债地方政府债券金融债券公司债券债券的种类：债券的种类：4债券定价的基本原理债券定价的基本原理p 债券的价格(bond price)i 债券的到期

2、收益率（yield-to-maturity rate), internal rate of return on the bond.f 债券的面值（par value，face amount, nominal value）r 债券的息票率（coupon rate per payment period）rf 息票收入(coupon)c 债券的偿还值（redemption payment），通常等于债券的面值，即c = f。例外：提前偿还时，偿还值不等于债券的面值。5g 修正息票率（modified coupon rate, coupon rate per payment period in ter

3、ms of the redemption amount），是息票 收入与偿还值c的比率，即g = rf/c。因此，gc = rf。n 息票的支付次数(number of coupon payments)。g 基价（base amount of a bond）。把基价按利率 i投资，每期产生的利息收入将等于息票收入，即ig = rf。息票收入等式：rf = gc = ig。6)rfgcig息票收入息票率（ ）面值(息票收入修正息票率（ ）偿还值(息票收入收益率（）基价(衡量息票收入的三个指标：衡量息票收入的三个指标：7债券价格的计算：四种方法。（1）基本公式）基本公式 债券的价格等于按市场利率

4、i 计算的未来息票收入的现值与偿还值的现值之和，即可见，债券的价格与市场利率成反比关系。1ntntprf vc vnnrfacvf 债券的面值c 债券的偿还值r 债券的息票率8对上式求关于 i 的一阶和二阶导数，可得一阶导数小于零，说明p 是i 的减函数。二阶导数大于零，说明 p 是i 的凸函数（下凸），如图所示。0)(111nnttcnvv trfdidp0) 1() 1(21222nnttvncnvttrfdipd9债券价格与市场利率关系债券价格与市场利率关系当市场利率下降时，债券价格将以加速度上升；当市场利率上升时，债券价格将以减速度下降。 10（2）溢价公式）溢价公式（premium/

5、discount formula） p = rf + cvn = rf + c(1 i ) = c+(rfic) = c + (gc ic) = c1 + (g i) 见下页解释|na|na|na|na|na|na11溢价公式的一种解释：溢价公式的一种解释：cicicicic cprf rfrfrf c()npcrfic a12当价格 p 超过偿还值 c 时，就称按溢价(premium)出售 溢价溢价 = p c = c (g i) 当溢价为零时，修正息票率g将等于收益率i。当债券的价格p小于其偿还值c，债券就按折价（discount）出售，即负的溢价。|na|1 ()npcgi a13债券的

6、账面值（债券的账面值（book value)：持有人在债券上的投资余额。based on the yield at which the bond is purchased (which is known as a book yield).1( ) npcgi a111( ) nbvcgi a1( ) tn tbvcgi a1( ) nn nbvcgi ac期初：第1期末：第 t 期末：第 n 期末：14相邻两个账面值之差就是各年的溢价补偿金额相邻两个账面值之差就是各年的溢价补偿金额(premium amortization amount)：111()2()()()nnn tc gi vc gi

7、 vtc gi vnc gi 第 年：第 年：.第 年：.第 年：上述溢价补偿金额之和为：上述溢价补偿金额之和为：|()nc gi a1( ) npcgi a15例：例：债券的面值为1000元，年息票率为6%，期限为3年， 到期按面值偿还。投资者所要求的收益率为5%，试 计算债券的价格以及投资者在各年末的帐面值。解解：f (面值) = c (偿还值)，故息票率 r = 修正息票率 g。已知：f = c = 1000，r = g = 6%，i = 5%，用溢价公式： 债券价格超过了偿还值，溢价金额为27.23元。 3 0.051 ()10001 (0.060.05)1027.23npcgi aa

8、16 下面分析溢价将在以后各期如何获得补偿。投资者在第一年应该得到的利息收入为1027.230.05 = 51.36（元）第一年实际得到的息票收入为10000.06 = 60（元）息票收入超过了利息收入，这个差额被称作溢价补偿溢价补偿金额金额(premium amortization amount)。第一年的溢价补偿金额为 60 51.36 = 8.64（元）17从第一年初的帐面值中减去第一年的溢价补偿金额即得第二年初的帐面值为1027.23 8.64 = 1018.59（元） 以后各年的帐面值和溢价补偿金额如下表所示。 年份年份息票收入息票收入coupon应得利息收入应得利息收入intere

9、st earned溢价补偿金额溢价补偿金额amortization of premium帐面值帐面值book value0 1027.2316051.368.641018.5926050.939.071009.5236050.489.521000合计合计180152.7727.23 注：溢价补偿金额的总和正好等于购买价超过到期偿还值的金额，即溢价溢价(premium)。18（3）基价公式）基价公式（base amount formula） 基价是投资者为了获得与息票rf相等的周期性收益所必须的投资额，即ig = rf。基价公式：|nnnnprfacvigacv解释（下页）(1)()nnngvc

10、vgcg v19解释解释：p = g + (c g) vn如将基价g按i投资，可获得周期性收益（ig = rf），到期获得g的偿还值。如购买债券，可获得周期性收入rf，到期获得c的偿还值。购买债券多获得(c g)的偿还值，其现值为(c g)vn，故购买债券应该多支付(c g)vn。20（4）makeham公式公式 息票收入rf = gc，故由基本公式得 k是偿还值 c 的现值， 是息票收入的现值。 如修正息票率 g与收益率 i 相等，则p 等于偿还值c。)(kcig1() ()nnnnnvpgcacvgccvigckkckiv21 分期偿还债券的价格（分期偿还债券的价格（makeham 公式的

11、一个应用）公式的一个应用）分期偿还债券分期偿还债券：在不同的时间分期进行偿还 。假设某债券的面值为1000元，年度息票率为5%，从第6年末开始，发行人每年末偿还205元，直至第10年末还清。这个分期偿还债券的系列付款如下表所示。 时期时期012345678910息票收入息票收入50505050505040302010偿还值偿还值20520520520520522如果市场利率为6%，则偿还值的现值为未来息票收入的现值为因此上述债券的价格为 645.28 + 308.71 = 953.99（元）555205205(1 0.06) (4.212)645.28v a5555010()308.71avd

12、a23应用应用makeham公式可以简化计算过程公式可以简化计算过程：应用该公式，只需要：偿还值及其现值，修正息票率g，利率 i。将上述债券分解为5种面值均为200元，偿还值均为205元，偿还期分别为6，7，10的债券。()gpckki时期时期012345678910面值面值1000偿还值偿还值20520520520520524如果分解后的每种债券具有相同的修正息票率g， 第s（s = 1，2，3，4，5）个债券的价格可表示为则原债券的价格为()sssgpckki555111()ssssssgpckki25在上例中，每个债券的修正息票率均为 g = 2005%205 = 0.048785种债券

13、的偿还值之和为5种债券的偿还值的现值之和为所以原债券的价格为51205 51025ssc 5551205 645.28sskv a555111()953.99ssssssgpckki26 ()1 ()()()nnnnnprfacvcrfic acgi agcg vgckki债券价格的计算公式（小结）：债券价格的计算公式（小结）：基本公式基本公式溢价公式溢价公式基价公式基价公式makeham公式公式27债券在任意时点上的价格和帐面值债券在任意时点上的价格和帐面值任意时点上债券的价格任意时点上债券的价格（假设利率不变，为（假设利率不变，为 i ）设：债券在上一个息票支付日期的价格为p0下一个息票支

14、付日期的价格为p1用 pt 表示在两个息票支付日期之间的价格（0 t 1）0t1p0ptp1时间时间价格价格28债券在时间 t 的价格可用两种方法计算： pt = (1 + i)t p0 （过去法） pt = (rf + p1) (1 + i) (1 t) （将来法）这两式是等价的，证明如下：证明如下：p0和p1存在下述关系： p1 = p0(1 + i) rf 或 rf +p1 = p0(1 + i) 代入将来法公式，即证。注： pt中包含在时间1到期的部分息票收入，p1不包含。29任意时点上债券的帐面值任意时点上债券的帐面值（假设利率不变，为（假设利率不变，为 i ）账面值账面值：实际投资

15、余额。在息票支付日，账面值等于债券价格，在其他时点，要从价格中扣除应计息票收入。假设在时间0的价格（等于帐面值）为p0按复利计算，在时间 t（0 t 0，偿还期 n 越短，债券价格越低 按折价发行，即rf- ic 0，偿还期 n 越长，债券价格越低44含义含义：息票收入将根据通货膨胀率进行调整。 价格高于其他没有通货膨胀调整的同类债券。例例：假设债券的面值为1000元，期限为10年，到期偿还值为1100元。第一年末的息票率为5%，以后每年末比上一年增长2%。如果投资者要求的收益率为8%，试计算债券的价格应为多少？（4）通胀调整）通胀调整45未来息票收入形成复递增年金：未来息票收入的现值为到期偿

16、还值的现值为1100(1 + 0.08)10 = 509.51所以债券的价格为362.81 + 509.51 = 872.32如果不包含通胀调整，其价格为845.02元。 年份：年份：012310息票收入：息票收入：5050(1.02)50(1.02)250(1.02)910110.080.025050362.810.05882110.02110.02n jjiraajrr，46（5）免税待遇）免税待遇享受免税待遇的债券，其价格一般略高于没有免税待遇的债券。（6）流动性）流动性流动性流动性：债券的变现速度。债券的流动性与债券的价格呈正向变化关系。47（7）违约风险（）违约风险（default

17、risk）违约风险违约风险：债券发行人未履行契约规定的可能性。一般而言，债券的违约风险越大，投资者所要求的风险补偿就越多，债券的价格就越低。48二、股票二、股票优先股：优先股：与债券类似，以固定的比例进行回报。优先股和永久债券的定价优先股和永久债券的定价：价格完全由息票收入或分红决定，现值为普通股：普通股：清偿所有债务，且优先股的分红完成之后，才能参与分红。红利水平是不确定的，所以价格也是多变的。frpi49普通股的价格：普通股的价格：（1）股票上市时的价格）股票上市时的价格也称也称“理论价理论价”（theoretical price）。由今后可能的分红与收益率决定有时称之为分红贴现模型（di

18、vidend discount model）。（2）股票市场价）股票市场价 随着股票进入市场后的买卖情况，随时波动。1tttpv d50普通股的理论定价模型：普通股的理论定价模型：1零增长模型（零增长模型（level dividend) 假设股息的增长率为零，即每期的股息均为d，即 dt = d（t = 1，2，） 则普通股的价格与优先股类似，也可以表示为dpi512常数增长模型常数增长模型(constant dividend growth) 假设股息的增长率是一个常数 r。如果第一年末的股息为d1，股票的理论价格为 21111230(1)(1)1.1(1)(1)11ttddrdrdrpiii

19、ii111111ridi1111ddii irir（假设 r i，否则不收敛）52例例（略）（略）：某公司的利润以年5的比例增长，而且计划将利润的50%进行分红。假定该公司的股票在第一年末每股分红2元。如果市场利率为10%，请计算股票的理论价格。解解：每年的股利将以5%的比例增加，所有分红的现值为 股票的理论价格为40元 2400.100.05533. 通过市盈率（通过市盈率（price-to-earnings ratio）计算股价）计算股价 注注：如果公司的收益接近于零或为负，市盈率没有意义。 根据上式，股价可以如下计算： 股价市盈率每股收益例例：a公司没有上市，去年一年的收益为25万元。

20、b公司与a公司很相似，是一个上市公司。 假设b公司去年一年的收益为100万元，股价为30元，股票数量为10万。请计算a公司的市场价值(market capitalization)。stock price per sharep/e ratioearnings per share股价市盈率，每股收益54根据b公司计算市盈率为可以假设a公司的市盈率与此类似。假设a公司的股票数量为k，则其股价为 股价市盈率每股收益325/k75/k故a公司的市场价值为75万元。303100/1055卖空卖空(short sale)：出售某项当前并非属于其所有的资产。 gain on short sale: 卖空的所得

21、(gain) = 份数（出售价格购买价格） short sale gain = (# shares)*(sale price-purchase price) 注注：未考虑交易成本 例：例：假设某投资者以每股30元的价格卖空 x 股票100股，一年后在清算时以每股20元的价格购入100股偿还给经纪人，试计算其所得（不考虑交易成本）。解解：该投资者的所得（gain）为：100(3020)1000卖空（卖空（short sale）56卖空利润 = 份数（出售价格 购买价格） + 交易保证金利息 红利 卖空收益率 = 卖空利润 / 交易保证金 例：例：某投资者以每股5元的价格卖空x 股票1000股，并

22、且一年后在清算时以每股4.5元的价格购入1000股 x 股票偿还给交易商。交易商要求的交易保证金为30%，交易保证金帐户的年实际利率为6%，假设每股x股票在每年的红利为0.2元，试计算该投资者的交易保证金，卖空利润和卖空收益率。57解解：投资者需要缴纳的交易保证金为：投资者进行此项卖空操作的所得（gain）为：投资者的卖空利润为：投资者在此项卖空操作期间的收益率为：0.3 1000 51500 1000 (54.5)5005000.06 15000.2 1000390390/150026%58资本资产定价模型资本资产定价模型（略）（略）含义：含义：分析证券收益率的一种模型。证券风险证券风险：指证券的实际收益率偏离其